河北省名校联盟2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省名校联盟2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，解得，所以，又，所以.故选：B2.已知命题，命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题〖答案〗B〖解析〗对于而言，取，则，故是假命题，是真命题.对于而言，令，，，由零点存在性定理可知，存在，使得，故是真命题，是假命题.综上，和都是真命题.故选：B3.已知函数的导函数为，且，则（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，令，则，得.故选：A4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以的定义域为.又在上单调递增，且在上单调递增，所以解得，即的取值范围是.故选：A5.已知，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，即.故选：D6.已知为正实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若，则，但是，故充分性不成立，因为为正实数，所以.当且仅当时取等，若，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确.故选：C7.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数之间的计算而发明了对数，利用对数运算可以求出大数的位数.已知，则是（）A.11位数 B.10位数 C.9位数 D.8位数〖答案〗C〖解析〗记，则，则，则，故是9位数.故选：C8.若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，由，得.设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，故.又，解得，所以直线过点，斜率为1，即直线的方程为.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为，水面对应四边形的面积为，容器内水的体积为，则下列说法正确的是（）A.是的函数 B.是的函数C.是的函数 D.是的函数〖答案〗AC〖解析〗对于A，当水面的高度确定时，水面对应四边形的面积也唯一确定，则是的函数，A正确；对于B，当水面对应四边形的面积确定时，水面高度可能出现两种可能，则不是的函数，B错误；对于C，随的增大而增大，是的函数，也是的函数，因此是的函数，C正确；对于D，当水面对应四边形的面积确定时，可能出现两个值，不是的函数，D错误.故选：AC10.定义在上的函数满足，则（）A. B.C.为偶函数 D.可能在上单调递增〖答案〗ABD〖解析〗令，则，故A正确；令，则，即，令，则，即，故B正确；令，则，即，所以为奇函数，故C错误；当时，由，可得，令，则，此时在上单调递增，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.的取值范围为〖答案〗CD〖解析〗结合函数的图象可知，，由，得不出，故A错误，令，此时，但是，故B错误.因为，所以，所以，则，又，所以，由二次函数性质得在上单调递增，故，所以C正确.因为，所以，故，令，由指数函数性质得在上单调递增，所以的取值范围为，故D正确.故选：CD12.已知是函数的极大值点，则__________.〖答案〗〖解析〗由题可知，令，则，解得，.当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故为极大值点.故〖答案〗为：.13.已知函数，则不等式的解集为__________.〖答案〗〖解析〗由题可知的定义域为，因为，所以是偶函数，当时，，所以，所以在上单调递增.由不等式，可得，，所以，解得，故不等式的解集为.故〖答案〗为：.14.若不等式对恒成立，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，则在上单调递增，所以，由对恒成立，所以，则，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为3.故〖答案〗为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知或.（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根.当时，方程无解，符合题意；当时，，解得.故实数的取值范围是.（2）由（1）知若命题是真命题，则或.因为命题是命题的必要不充分条件，所以或或，则解得，所以实数的取值范围是.16.已知幂函数为偶函数，且函数满足.（1）求函数和的〖解析〗式；（2）对任意实数恒成立，求的取值范围.解：（1）由为幂函数，得，解得或.因为为偶函数，所以，则.由，可得，令，则，所以.（2）由，可得，故，，令，则，当且仅当1，即时，等号成立，所以，即，所以的取值范围为.17.已知函数.（1）若，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形.解：（1）由，得，因为，所以在上恒成立，即等价于即可，因为，当且仅当时，等号成立，所以，故的最小值为.（2）由题可知所以曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形.18.已知函数.（1）讨论的导函数的单调性；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.解：（1）由题可知.设，则.①当时，上恒成立，所以在上单调递增.②当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，是上的增函数，当时，在上是减函数，在上是增函数.（2）①当时，在上单调递增，，则在上单调递增，故成立；②当时，，所以在上单调递增，，则单调递增，故成立；③当时，当时，在上单调递减，又，所以在上单调递减，则不成立.综上，的取值范围为.19.已知函数，若存在实数，使得，则称与为“互补函数”，为“互补数”.（1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由.（2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”.（i）是否存在，使得？说明理由.（ii）若，用的代数式表示的最大值.解：（1）因为，