广东省广州市天河区2023-2024学年学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市天河区2023-2024学年学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，向量，，若，则（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗向量，，由，得，解得.故选：A.2.已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，是矩形的直观图，则，，，所以的高为，则直观图的面积为.故选：A.3.将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗将的图象向左平移个单位长度，得，其图象与的图象重合，则，解得，值不可能为1，3，4，可以为2.故选：B.4.已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，则下列推理正确的是（）A.， B.C.，， D.，〖答案〗C〖解析〗对于A，由，得，则在内存在直线垂直于直线，又，于是可以在内，A错误；对于B，，则与可以平行，也可以相交，B错误；对于C，由于，则存在过直线的平面分别与相交，令交线分别为，于是，，则，又，，因此，所以，C正确；对于D，，，则或，D错误.故选：C.5.抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（）A.与独立 B.与互斥C. D.〖答案〗D〖解析〗样本空间{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，事件{(正，正)，(正，反)}，事件{(正，反)，(反，反)}，事件{(正，正)}，事件{(正，反)，(反，正)，(反，反)}，对于A，，而，，与不独立，A错误；对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误；对于C，，C错误；对于D，{(正，正)，(正，反)，(反，反)}，，D正确.故选：D.6.已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗令样本数据的平均数为，则，而，因此，又样本数据均为正数，所以.故选：C.7.的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理，得，则，由于有唯一解，则或，解得或，所以整数构成的集合为.故选：C.8.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（）A.B.秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2C.当时，若小球有且只有三次到达最高点，则D.当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则〖答案〗B〖解析〗由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，当时，，即，，所以，则，故A错误；因为，，所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确；若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，所以，解得，即，故C错误；因为，令，，则，，满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，此时，故D错误.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知一组数据6，13，14，15，18，13，则特征量为13的是（）A.极差 B.众数 C.中位数 D.第40百分位数〖答案〗BD〖解析〗将数据从小到大排列为、、、、、，所以极差为，众数为，中位数为，故A、C错误，B正确；又，所以第40百分位数为，故D正确.故选：BD.10.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.的虚部为B.若是复数，满足，则在复平面内对应的点位于第一象限C.若、是非零复数，且，则D.若、是非零复数，且，则〖答案〗AD〖解析〗对于A，依题意，，的虚部为，A正确；对于B，，在复平面内对应点位于第二象限，B错误；对于C，取，，满足，而，，C错误；对于D，由，得，而，则，D正确.故选：AD.11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（）A.若点为的中点，则平面B.连接，则直线与平面成角正弦值为C.若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为D.若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形，，由点、分别为、的中点，得，平面，平面，因此平面，A正确；对于B，连接，则，由平面，平面，得，又平面，则平面，过作交于，连接，于是平面，是直线与平面所成的角，，，，B错误；对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧，连接，则的最小值为，C正确；对于D，延长与的延长线交于，由，得为平行四边形，，取中点，连接交于，连接，由，得四边形是平行四边形，，为的中点，由平面，平面，得，又，平面，则平面，而平面，则，同理，因此，而，平面，于是平面，又，则平面，又平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，而，所以点的轨迹长度为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复数范围内方程的一个根为，则______.〖答案〗〖解析〗在复数范围内方程的一个根为，所以，则.故〖答案〗为：.13.在中，已知，则向量在向量上的投影向量为______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为______.〖答案〗〖解析〗圆台轴截面等腰梯形的两腰延长线交于点，等腰即为圆台母线延长线交点为顶点，圆台下底面为底的圆锥的轴截面，由，而，解得，则，即为正三角形，正的高为，正的高为，因此等腰梯形的高为，正的内切圆半径，显然，因此等腰梯形内的最大圆为正的内切圆，此圆即为圆台内部放置的半径最大的球被平面所截的大圆，则在圆台内部放置半径最大的球的半径为，表面积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘.笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题；面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立.（1）李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率；（2）求李明被录用的概率.解：（1）样本空间，有6个样本点，李明通过笔试关的事件，共3个样本点，所以李明通过笔试关的概率.（2）依题意，李明通过面试关的事件为，则，李明被录用的事件为，，所以李明被录用的概率为.16.已知的内角A，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，为线段的中点，且，求的面积.解：（1）因为，且，则，即，又因为，则，因为，所以.（2）因为为线段的中点，所以，则，即，解得或(舍)，因为，且，则，所以.17.为推动新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；（2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间；（3）若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差.解：（1）由频率分布直方图，得，所以；阅读时间达标的频率为，估计该校阅读时间达标的人数为.（2）一周的课外阅读时间在内的频率依次为：，，所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为68分钟.（3）样本数据在与内的平均数分别为，则样本数据在内的平均数为，所以样本数据在内的方差.18.如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）求点到面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.解：（1）在三棱台中，平面平面，，而平面平面，平面，所以平面.（2）由棱台性质知：延长交于一点，由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则，于是，由平面，得为点到平面的距离，又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形，设，则，，解得，，由平面，得，，，设点到平面的距离为，由，得，解得：.即点到平面的距离为.（3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接，在正中，，而平面平面，则平面，而平面，则，又平面，则平面平面，作于，平面平面，则平面，，而平面，则，作于，连接，，平面，则平面，而平面，于是，即二面角的平面角，设，由（2）知：，，由，得，，由，得，若存在使得二面角的大小为，则，解得，，所以存在满足题意的点，.19.如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.（1）求的值，并