广东省潮洲市2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省潮洲市2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上断的〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.函数在处的切线斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，则，，所以函数在处的切线斜率为，故选：B.2.某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩，试卷满分150分，统计结果显示，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，所以，所以．故选：B3.已知随机变量的分布列为：123450.10.30.10.1则（）．A.0.4 B.1.2 C.1.6 D.2.8〖答案〗D〖解析〗依题意可得，所以．故选：D.4.的展开式中的系数为（）．A.60 B.120 C.15 D.30〖答案〗A〖解析〗二项式展开式的通项为：（且），故该展开式中的系数为．故选：A5.已知函数，若在上单调递减．则实数取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，得在上恒成立，令，易得在单调递增，所以，即，所以．故选：B.6.椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，因为为等边三角形，则，，因为，所以椭圆的离心率为．故选：A.7.近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表：123451215192430由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（）十万人A.36.5 B.37 C.35.2 D.35.6〖答案〗D〖解析〗由题意得，，代入，得，解得，所以关于的回归直线方程为，当时，．故选：D8.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（）A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64〖答案〗A〖解析〗设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.（二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.是的极小值，是的极大值B.是的极大值，是的极小值C.在上单调递增D.在上单调递减〖答案〗BD〖解析〗由图知，，，当时，；当时，；当时，；当时，.所以在，上单调递减，在，上单调递增，所以的极大值为，极小值为，．故选：BD10.某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（）A.被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为B.被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为C.如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法D.如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法〖答案〗AC〖解析〗被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为，A正确；被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为，B错误；如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有种；第二种情况，甲乙恰有1人入选，有种选法，则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，共有种选法，C正确，D错误．故选：AC11.如图、在长方体中，，，，，分别是，，的中点．则下列说法正确的是（）A.平面B.C.三棱锥的体积为D.若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为〖答案〗ABC〖解析〗对于A，连结，．，分别是，的中点．则，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面，∴A正确；对于B，由题意知四边形为正方形，则，又平面，平面，故，平面，∴平面．又∵平面，∴，故B选项正确；对于C，，∴C选项是正确的；对于D，因为平面，而平面平面，且点在平面内，则点的轨迹是平面与平面的交线，即直线，所以的最小值在时取到．此时在中，，，，上的高为，∵，∴，故D错误．故选：ABC二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有________种．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗2名老师都不站在两端，故有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法，故不同的站法共有种．故〖答案〗为：.13.已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗，∴，∵曲线存在与直线垂直的切线，∴有解，∴，故实数的取值范围是．故〖答案〗为：14.“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详析九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则________，数列的前项和________．〖答案〗①②〖解析〗由题意知，．故〖答案〗为：，.三、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在公差为3的等差数列中，，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和．解：（1）∵等差数列满足，公差为3，所以，所以，则，∴数列的通项公式为；（2）由（1）知，，∴所以⋯，所以16.已知函数在处取得极值．（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最小值．解：（1）由题意得的定义域，且因为函数在处取值得极值，所以解得此时，，令得或，令得，故函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，所以．（2）由（1）得，，令，得，所以函数单调递增，令，得，所以函数在单调递减，所以函数在处取极小值，所以当时，的最小值为17.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．成绩人数510152520205（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；优秀非优秀合计男10女35合计（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．参考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879解：（1）优秀非优秀合计男104050女153550合计2575100假设:此次竞赛成绩与性别无关.,所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；（2）p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列为：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）18.如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）在线段上取一点，使，连结、，在中，因为，，所以，所以且，因为，，且，所以，且，所以且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，因为底面是正三角形，，所以点，点，点，点，点，因为，所以点，则，，，设平面的一个法向量为．由，令，得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为⋅19.已知抛物线的焦点到点的距离为，，