甘肃省武威市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省武威市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知函数在点处的切线方程为，则（）A.2 B.1 C.-2 D.-5〖答案〗D〖解析〗因为函数在点处的切线方程为，所以，且，所以.故选：D.2.已知，，且，则（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗由，可得：，因，则，即：，解得：故选：B.3.2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，显然为相互独立事件，则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，所求概率．故选：A．4.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（）参考数据：若，则.A.13272 B.16372 C.16800 D.19518〖答案〗C〖解析〗依题意，故所求人数为.故选：C.5.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由散点图可知第1个图表示正相关，故；第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故，且，故，综合可得，即，故选：C6.统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B，由题意可知：，所以.故选：C.7.若随机变量的分布列如表，则的值为（）1234A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意可得，所以.故选：A.8.为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗C〖解析〗因为不重合，，对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确；对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确；对③，若，故③错误；对④，，故④正确.故选：C.二、多选题（每小题6分，满分18分，每小题给出的选项中有多个选项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．）9.在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（）A.该班级此次练习数学成绩的均分为118B.该班级此次练习数学成绩的方差为16.625C.利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生D.从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为〖答案〗BCD〖解析〗对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；对于B，该班级此次练习数学成绩的方差，故B正确；对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．故选BCD．10.为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（）A.游客中，青年人是老年人的2倍多B.老年人的满意人数是青年人的2倍C.到该地旅游游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%D.到该地旅游的游客满意人数超过一半〖答案〗ACD〖解析〗由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；其中满意的青年人占总人数的，满意的中年人占总人数，满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；总满意率为，故D正确.故选：.11.下列关于回归分析的说法中正确的是（）A.回归直线一定过样本中心B.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好C.甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好D.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适〖答案〗ABD〖解析〗对于A，回归直线一定过样本中心，A选项正确；对于B，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，B正确；对于C，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C错误；对于D，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，D正确.故选：ABD.三、填空题（每小题5分，满分15分）12.函数的导函数为______．〖答案〗〖解析〗因为，由复合函数的求导法则可得.故〖答案〗为：.13.如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示___________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：14.在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________.〖答案〗〖解析〗由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：故〖答案〗为：四、解答题（本题共5小题，满分87分，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程．）15.如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点.（1）求证：；（2）求二面角大小.解：（1）因为，且平面，所以平面.又平面，所以又因为正方形,则平面，所以平面.因为平面，所以.（2）如图，以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则..设平面的一个法向量为，则，令，则，故平面的法向量可取为.由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取，设二面角的大小为由图可知为钝角，则，因，则，即二面角的大小为.16.工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.（1）求取到次品的概率；（2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少?解：（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，则,，取到次品的概率为；（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：.17.2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎4080感染支原体肺炎40合计120200（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）列联表，如图所示：

有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎404080感染支原体肺炎8040120合计12080200假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.则，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，由已知得，，，所以随机变量的分布列为：0123所以,.18.已知函数在和处取得极值.（1）求的值：（2）求在区间上的最大值.解：（1）由已知可得和是的两个零点.所以，，解得，.经检验符合题意.（2）由（1）的结果知.则，由或，由；所以在和上递增，在上递减，又因为.所以在上的最大值是.19.某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试