不同函数增长的差异课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数4.4

对数函数4.4.3

不同函数增长的差异

递增逐渐近似与Y轴平行逐渐近似与X轴平行复习导入三种常见函数模型性质匀速增长不同函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数

增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适

的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.复习导入话动1

以函数y=2*和y=2x

为例研究指数函数、

一次函数在区间(0,+¥)内增长方式的差异.新知探索0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386●

·●●新知探索观察函数y=2*和y=2x的图象及其增长方式，你能得出哪些结论?结论一：函数y=2*和y=2x的图象有两个交点(1,2),(2,4).结论二：在区间[0,1]上，函数y=2*的图象位于y=2x的图象之上，2*>2x,结论三：在区间(1,2)上，函数y=2*的图象位于y=2x的图象之下，2*<2x结论四：在区间(2,3)上，函数y=2*的图象位于y=2x的图象之上，2*>2x.综上：虽然函数y=2与函数y=2x

都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x

的增长速度不变，但是y=2

的增长速度改变，先慢后快。新知探索下面在更大的范围内，观察y=2*和y

=2x的增长情况.当自变量X

越来越大时，y=2*

的图象就像与

X

轴垂直

一样，2的值快速增长；而函数y=2x

的增长速度依然保持不变，与y=2

函数的增长速度相比几乎微不足道。0102444168664128256161010242012409624●●●●●●●●●新知探索总结一：虽然函数y=2*和y=2x在区间[0,+o]上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=2*的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定变化范围内，2*会小于2x,但由于y=2*的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x₀,

当x>x₀时，恒有2*>2x.新知探索总结二：一般地，指数函数y=a*(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似.即使k的值远远大于a

的

值

，y=a*(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)

的增长速度.注：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长.新知探索活

动

2

以函数y=lgx

和间(0,+¥)内增长的差异.新知探索x

为例研究对数函数与一次函数在区0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786●●●··●

·虽然它们在(0,+¥)都是单调递增，但是增长速度存在明显的差异新知探索总结

一：函

x的增长速度保持不变，而函数y=lgx

的增长速度在变化.随着x的增大，函数

x的图象离x轴越来越远，而函数

y=lgx

的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.新知探索例如lg10=1,lg100=2,lg1000=3,

g10000=4;而×10=

1,0.这说明，当x>10,Hy=1gx>1时新知探索,y=lgx

与y=

x相比增长就很慢了.10×1000=10090×10000=100010,新知探索话

动3

如果将1gx

放大1000倍，再对函数y=10001gx

和y=x的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗?总结二：

一般地，虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+输)上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，

一次函数y=kx(k>0)

保持固定的增长速度，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，

logax

可能会大于kx,

但由于logax

的增长最终会慢于kx的增长，因此总会存在一个x₀,

当x>x₀时，恒有logax<kx

.新知探索活动4

类比上述过程，(1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lgx

和指数函数y=2*的图象，并比较它们的增长差异；(2)试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；(3)讨论交流“直线上升”

“对数增长”

“指数爆炸”的含义.新知探索f(x)=2x50

150200250h(x)=logio(x)-1000新知探索g(x)=2r1.下列函数中，增长速度最慢的是

(C).A.y

=2022x

B.y

=x²022C.y=log₂o₂₂x

D.y=2022x学以致用2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程

f(x)i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是

f(x)=x²,f₂(x)=2x,f₃(x)=log,x,f₁(x)=2*,如果它们一直运

动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(D

)A.f(x)=x²B.f₂(x)=2xC.f₃(x)=log,xD.f₄(x)=2学以致用X45678910Y15171921232527A.一次函数模型

B.二次函数模型

C.指数函数模型

D.对数函数模型3.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断最可能的函数模型是(

A

)

学以致用4.物价上涨是当前的热门话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q。,

各种方案的运输总量Q

与时间t的函数关系