2024中考数学复习训练：直角三角形过关检测(解析版)

18直曼三扇形赴美超瓠

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

。、选择题《本题共10小题，毒小题3分，共30分）8

1.在ZvlBC中，ZA=40°,NC=90°,则NB的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】8

【解答］解：在“BC中，ZC=90°,

则NA+/B=90°,

VZA=40°,

/.ZB=90°-40°=50°,

故选:B.

2.一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为（）

A.10B.13C.7D.14

【答案】A

【解答】解：由勾股定理可得，

斜边长为：V62+82=10,

故选：A.

,AC=5cm9BC=12cm9则斜边A5上的高为（

C.30cmD.

13

【答案】D

【解答】解：过C作CaJ_AB于/A

•.,ZC=90°,AC=5cm,BC=l2cm,

■-AB=yl-KC^中,2=13(cm),

,?AABC的面积=LAB・CH=-1AC・8C,

22

A13C7f=5X12,

：.CH=^-,

13

二斜边AB上的高为N.

13

故选：D.

C1------------------------------

4.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,CD为A5边上中线,过点。作Z)E_LAB,连接AE,BE,若AE=

10,CD=S,则0E的长为（）

E

A^B

C

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,CO为AB边上中线CD—8,

则AO=C£>=8,

'：DE±AB,AE=10,

•'•£>£，=VAE2-AD2=V102-82=6>

故选：o.

5.如图，在ZvlBC中，NA8C为直角，/A=30°,8Z）_LAC于O,若CD=2,则AC的长为（）

A

J

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解答】解：:△ABC中，ZABC=90°,ZA=30°,

；.ZBCD=6Q°,

「MLIC于。，

：.ZDBC=ZA^3Q°,

'：CD=2,

：.BC=4,

,'.AC—8,

故选：A.

6.如图，若要用“HL”证明RtAiABC咨RtZ\A8Z）,则还需补充条件（）

A.ZBAC=ZBADB.AC=A£>或

C./ABC=NABDD.以上都不正确

【答案】B

【解答】解：若要用“HZ/'证明RtZ\A2C/RtZiAB。，则还需补充条件AC=AO或BC=5D,

故选：B.

7.如图，ZA=ZD=90°,AC=DB,则的依据是（）

【答案】A

【解答】解：HL,

理由是:'：ZA=ZD=90°,

：.在RtAABC和RtAOCB中

fAC=BD

|BC=BC，

/.RtAABC^RtADCB〈HL),

故选:A.

8.下列各组数是勾股数的是()

A.1,V2,MB.0.6,0.8,1C.5,11,12D.8,15,17

【答案】D

【解答】解：A、I2+(V2)2=(V3)2'近,向不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；

B、0.62+0.82=12,0.6、0.8不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；

C、52+112/122因此不是勾股数，不符合题意；

。、82+152=172都是正整数，符合题意，因此是勾股数，符合题意.

故选：D.

9.如图，长为8cw的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和2,然后把中点C垂直向上拉升3c机到。点,

则橡皮筋被拉长了()

A.2cmB.3cmC.4cmD.1cm

【答案】A

【解答】解：：点C为线段AB的中点，

.'.AC=—AB=4cm,

2

在RtAACD中，CD=3cm；

根据勾股定理，得：

AD=&C2KM=5(cm)；

'：CD±AB,

：.ZDCA=ZDCB=9Q°,

在△A£>C和△BDC中，

'DC=DC

-ZACD=ZBCD,

AC=BC

：.AADC^/\BDC(SAS'),

.'.AD=BD=5cm,

S.AD+BD-AB=2AD-AB=10-S=2(cm)；

二橡皮筋被拉长了2cm.

故选：A.

10.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的

记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是

由图1放入长方形内得到的，NBAC=90°,A8=6,8c=10,点O,E,F,G,H,/都在长方形KLMJ

的边上，则长方形KLMJ的面积为（）

图1图2

A.420B.440C.430D.410

【答案】B

【解答】解：如图，延长交红于P,延长AC交加于0,

由题意得，ZBAC=ZBPF=ZFBC=90°,BC=BF,

：.ZABC+ZACB^9Q°=ZPBF+ZABC,

：.NACB=/PBF,

：.AABC^APFB(AAS),

同理可证△ABCg/kQCG(AAS),

.•.P2=AC=8,CQ=AB=6,

・・,图2是由图1放入长方形内得到，

「•"=8+6+8=22,6+8+6=20,

，长方形KLMJ的面积=22X20=440.

故选：B.

£填室题(本题我6%每小题2分，共12分).

11.直角三角形的一个锐角为25°,则它的另一个锐角为65度.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：1,直角三角形的一个锐角为25°,

二它的另一个锐角为90°-25°=65°.

故答案为：65.

12.如图，在Rt/\ACB中，NACB=90°,以AC为边向外作正方形AOEC,若图中阴影部分的面积为

【答案】5.

【解答】解：：正方形ADEC的面积为9,

：.AC2=9,

在Rt^ABC中，由勾股定理得，

AB=22

VAC+BC=V9+16=5(cm),

故答案为：5.

13.如图，CD是Rt^ABC的中线，ZACB=90°,NCD4=120°,则N8的度数为60°

【答案】60°.

【解答】解：：NACB=90°,CD是△ABC斜边AB的中线,

:.AD=CD=BD,

：.ZDCB=ZDBC.

'：ACDA是ACDB的一个外角,

ZCDA=120°,

：.ZDCB+ZDBC^nO°.

：.ZDBC=60°.

故答案为：60°.

14.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树

的树梢，问小鸟至少飞行10米.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，设大树高为48=10米，

小树高为CD=4米，

过C点作CE±AB于E,则EBDC是矩形，

连接AC,

:.EB=4m,EC=8〃z,AE=A8-£2=10-4=6（米）,

在RtZ^AEC中，AC=4AE2+EC2=1O（米），

故答案为：10.

15.如图，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点歹，若BF=

3.5,贝ijCF=7

A

E

BF\C

【答案】7.

【解答】解：连接A凡如图,

'：AB=AC,ZBAC=120°,

•'-ZB=ZC=yX(180*-120*)=30°，

垂直平分线段AB,8尸=3.5,

：.BF=AF=3.5,

：.ZB=ZBAF=30°,

?.ZFAC=ABAC-ZBAF=9Q°,

.•.在Rtz\APC中，NC=30°,有尸C=2AP=7,

故答案为：7.

16.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A,B是这个台阶上两个相

对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到2点最短路程是2.5

_米.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2,宽为(0.2+0.3)*3,

则蚂蚁沿台阶面爬行到8点最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到2点最短路程为x,

由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.52,

解得x=2.5.

京、解答题(本题共7题，共鹃分)e

17.(6分)如图，在RtZkABC中，NACB=90°,OE过点C且平行于AB,若NBCE=35°,求/A的度

数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解："DE//AB,

：.ZB=ZBCE=35°,

?.ZA=90°-35°=55°.

18.(8分)如图，在△ABC和△DC8中，/A=ND=90°,AC=BD,AC与8。相交于点O.

(1)求证：AABC冬ADCB；

(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1)在△ABC和△DCB中，ZA=ZD=90°,

在RtAABC和RtADCB中，

fAC=BD

1BC=BC5

.,.RtAABC^RtADCB(HL)；

(2)△03C是等腰三角形，

由(1)得：RtAABC^RtADCB,

?.NACB=/DBC,

：.OB=OC,

...△OBC是等腰三角形.

19.(8分)如图，RtZXABC中，NBAC=90°,/C=30°,4。_18(7于。，B尸平分/ABC,交AO于瓦

交AC于E

(1)求证：AAE厂是等边三角形；

(2)求证：BE=EF.

【答案】(1)证明见解答过程；

(2)证明见解答过程.

【解答】证明：(1)：/a4C=90°,ZC=30°,

ZABC=60°,

：BP平分/ABC,

/.ZABF=ZCBF=30°,

'：AD±BC,

：.ZAZ)B=90°,

:./AEF=/BED=90°-ZCBF=60°,

•/ZAFB=90°-ZABF=60°,

?.ZAFE=ZAEF=60°,

.♦.△AEF是等边三角形；

(2),/ZADB=90°,ZABC=6Q°,

/.ZBAE=ZABF=30°,

：.AE=BE,

由（1）知AAE/是等边三角形,

：.AE=EF,

：.BE=EF.

20.(8分)如图，在△ABC中，CD_LAB于点O,AC=6,BC=8,AB=10.求:

(1)△ABC的面积；

(2)线段CD的长.

【答案】（1）24；

（2）4.8.

【解答】解：（1）\'AC=6,2C=8,AB=10,

：.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

.♦.△ABC的面积=/ACXBC=、X6X8=24；

（2）"BC的面积=鼻乂8，="如'，口,

.,.6X8=10CD,

；.CD=4.8.

21.（8分）如图1,同学们想测量旗杆的高度〃（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出

了一段，但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：

图1

小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1;

②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2.

小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点。处（8O=8C）.

（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度九米；

（2）已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）如图2,设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为（x+1）米,

在RtZkABC中，由勾股定理得：*+42=（x+1）2,

解得：x=7.5,

故旗杆的高度为7.5米；

（2）由题可知，BD=BC=15米,r>E=4.5米.

在Rtz\BDE中，由勾股定理得：8£2+4.52=7.52,

解得：BE=6,

:.EC=BC-BE=75-6=L5（米），

：.DF=EC=1.5米.

故绳结离地面1.5米高.

22.（10分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形,

通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为c.图中大正

方形的面积可表示为（a+b）2,也可表示为c2+4X2ab,即（a+b）2=c2+4X—ab,所以02+b2=c2.

22

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一

个直角梯形BCDE,其中△BC4g△4£）£r,ZC=ZD=90°,根据拼图证明勾股定理.

【定理应用】在Rt^ABC中，NC=90°,NA、NB、NC所对的边长分别为a、b、c.

求证：。2c2+°262=f4-i>4.

【定理应用】见解析.

【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S=工(a+b)(6+a)=ab+^-(晨+房)，

22

利用分割法，梯形的面积为S=Snpab+—c-+—ab=ab+—c~,

△A/JC△An/1,AL)L2222

■.Clb-\——(02+匕2)=a6H-c2,

22

.,.a2+z?2=c2；

【定理应用】2c2+a2b2=02(c2+〃)，c4-M=(c2+%2)(C2-Z>2)=(c2+02)O2,

a2c2+a2b2=c4--4.

23.(10分)如图，在△ABC中，已知4B=AC,BC>AC,点P在线段BC上运动(P不与B、C重合),

连接AP,作NAPM=/B,PM交AC于点M.