2024年浙江省九年级开学摸底数学测评卷（解析版）

九年级开学摸底数学测评卷

（测试范围：八下全册，九上第1、2章）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x=0B.2%3—%=0C.xy-1=0D.或+x=2

【答案】A

【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个

未知数且未知数的最高次数是L

【详解】解：A.x2+x=0,符合一元二次方程的定义，故符合题意；

B.2/_%=0,方程最高次数是3,不符合一元二次方程定义，故不符合题意；

C.xy-1^0,含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意；

D.»x=2不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意•

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.

2.下列图标是轴对称图形的是（）

A.B."C.D.、

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义："将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重

合的图形是轴对称图形.”是解题的关键.

【详解】解：A.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；

B.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意;

C.符合轴对称图形定义，故此项符合题意；

D.不符合轴对称图形定义，故不此项符合题意;

故选：C.

3.下列函数中是二次函数的有()

①y=3一百/；②y=*③丫=久(3—5x)；@y=(1+2x)(1—2x)+4x2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式,

根据二次函数的定义判定即可解答.

【详解】①y=3—6x2,是二次函数；

②丫=堞，分母中含有字母，不是二次函数；

③y=x(3-5x)=—5x2+3x;是二次函数；

@y=(1+2x)(1-2x)+4x2=1-4x2+4x2=1,不是二次函数.

则二次函数共2个，

故选：B

4.淘气统计一组数据142,140,143,136,149,139,得到它们的方差为名.奇思将这组数据中的每一个

数都减去140,得到一组新数据2,0,3,-4,9,-1,计算得出这组新数据的方差为守.则需与名的关系

为()

A.SQ>SiB.SQ<SiC.SQ=sfD.SQ+sf=1

【答案】C

【分析】分别求出两组数据的方差进行比较即可.

142+140+143+136+149+139

【详解】解：142,140,143,136,149,139的平均数为:=141.5,

6

(142-141.5)2+(140-141.5)2+(143-141.5)2+(136-141.5)2+(149-141.5)2+(139-141.5)2

方差为：SQ=*11.208；

6

2,0,3,-4,9,—1的平均数为：2+0+3+(-4)+9+(-1)=1.5,

6

(2-1.5)2+(0-1.5)2+(3-1.5)2+(-4-1.5)2+(9-1.5)2+(-1-1.5)2

方差为:«11.208;

S36

；高=S3

故选：C.

【点睛】题目主要考查平均数及方差的求法，熟练掌握方差的计算方法是解题关键.

5.现有两根长度分别为3cm和5cm的小棒，再从5根长度分别为2cm,3cm,4cm,5cm,8cm小棒中随

机选择一根，以所选的三根小棒为边，能围成三角形的概率是()

【答案】c

【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案，

本题考查了，三角形三边关系，概率公式，解题的关键是：熟练掌握概率公式的应用.

【详解】解：..•两根小棒棒的长分别是3cm和5cm,

.,.第三根小棒的长度大于2cm，小于8cm,

能围成三角形的是：3cm,4cm,5cm的小棒，

能围成三角形的概率为，

故答案为：

6.如图，在高3米，宽5米的矩形墙面上有一块长方形装饰板(图中阴影部分)，装饰板的上面和左右两

边都留有宽度相同为x米的空白墙面.若矩形装饰板的面积为4.5平方米，则以下方程正确的是()

5

x

3

xx

A.(3-x)(5-%)=4.5B.(3-x)(5-2x)=4.5

C.(3-2x)(5-x)=4.5D.(3-2x)(5-2x)=4.5

【答案】B

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形装饰板的面积为4.5m2,列一元二次方程

即可，理解题意是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得(3—x)(5—2x)=4.5,

故选：B.

7.反比例函数y=:的图象上有两点4(无1，为)，B(x2,y2)>若久1>%2，比〉。，则yi-%的的值是()

A.正数B.0C.负数D.非负数

【答案】C

【分析】由X1X2>0可知点A,B在同一象限，然后根据反比例函数的图像和性质可得yi-y2的符号.

【详解】解：反比例函数y=|的图象位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

Vxrx2>0,

，Xi，X2同号,即点A,B在同一象限，

*.*xt>x2,

•'­y2>y「

yt—y2V0，

故选c.

【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，根据题意得到点A,B在同一象限是解题关键.

8.如图，AABC中，乙4=60。,4。>4B>2,点分别在边力B,力C上，且BD=CE=2,连接DE,点M

是DE的中点，点N是BC的中点，则MN的长为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】由“SAS”可证ADNB三AFNC,可得BD=CF=2,NB=NDFC,由等腰三角形的性质和直角三角形

的性质可求EF的长，由三角形中位线定理可求解.

【详解】解：如图，连接DN并延长至F,使得FN=DN,连接CF,EF,作CJ1EF于J.

・・・点N是BC的中点，

•••BN=CN,

FN=DN,ZBND=乙CNF,

DNB=△FNC(SAS),

•••BD=CF=2,ZB=ZDFC,

AB||CF,

•••NA+ZACF=180°,ZA=60°,

ZECF=120°,

•••CJ1EF,

ZCFE=ZCEF=30°,

CJ=|CE=1,EJ=JF=VCE2-CJ2=V3CJ=百EC,

•••EF=2EJ=2V3,

•••DM=ME,DN=NH,

MN=-EF=V3.

2

故选：c

【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

9.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）图像的一部分,对称轴为直线％=1,则下列结论中正确的是（

A.8a+c<0

B.abc>0

C.当—1<x<2时，y>0

D.若（一2,%），G，%），（3,%）在该函数图像上，则乃<为<为

【答案】B

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴x=1判定b=—2a>0；根据当x=-2时,

y<0,即y=4a-2b+c=8a+c<0,然后由函数图象对称性可得，当x=-l与x=3时，函数值相同,

根据图象即可判断CD.

【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得：

二•抛物线开口方向向下，交y轴于正半轴，

a<0,c>0,

又.••对称轴为直线x=1,即x=—?=1,

2a

/.b=-2a>0,

.'.abc<0,故B错误，不符合题意；

由函数图象可得，当x=-2时，y<0,即y=4a-2b+c=8a+cV0,故A正确，符合题意;

・•・由函数图象可得当当一1VXV2时，有可能y<0,C错误，不合题意；

由函数图象对称性可得，当x=—l与x=3时，函数值相同，

1

V-2<-1<-,

2

...由函数的增减性可得：yi<y3<y2,D错误，不合题意;

故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方

向，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定

对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴

右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0,c）.

10.在正方形4BCD中，点E为8c边的中点，点夕与点2关于力E对称，夕B与4E交于点凡连接4次，DB',

FC.下列结论：①4B'=4D；②AFCB'为直角三角形；③NADB'=75。；®^CB'D=135%其中正确的是

B.①②④C.③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据正方形的性质结合轴对称得性质可得AB，=AD,可判断①正确；可得EF为△BCB，的中位线，

即有EF||B'C,可得ZBB'C=NBFE=90。,可判断②正确；利用AAS可证明△ABF=△BCB',即可证明BF=B'C,

进而可得B'F=B'C,进而有NCFB'=ZFCB,=45°,可得NBFC=135°,再证明△BFCSACB'D,可得/CB'D=

ZBFC=135°,可判断④正确；根据周角的定义可得NFB'D=135°,由BE=|AB可得NAEB丰60。，根据等

腰三角形的性质及角的和差关系可得Z_AB，B=NAEB力60。，进而可得NAB①力75。，根据等腰三角形的性

质可得NADB，=NAB，D475。，可判断③错误；综上即可得答案.

【详解】解：:四边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=AD,

•.•点E为BC边的中点，点B，与点B关于AE对称，

.•.AB=AB',FB=FB',AF1BB',

；.AB'=AD,故①正确；

：FB=FB，，点E为BC边的中点，

；.EF为ABCB'的中位线，

/.EF||B'C,

.•.NBB'C=NBFE=90。，即△FCB，是直角三角形，故②正确;

•."B'BC+ZABF=90°,zBAF+zABF=90°,

."BAF=NB'BC,

ZAFB=NBB'C=90°

在△ABF和△BCB，中，NBAF=4B，BC，

AB=BC

/.△ABF=△BCB',

；.BF=BC

.•.B'F=B'C,即AFCB'是等腰直角三角形，

.".ZCFB,=Z.FCB,=45°,

AZBFC=135°,

Z.FBC+ZFCB=45°,ZFCB+ZDCB,=45°,

/.ZFBC=NDCB',

'BF=B'C

在△BFC和△CB'D中，zFBC=ZDCB7.

、BC=CD

ABFCSACB'D,

.'.NCB'D=NBFC=135°,故④正确，

."BB'D=360°-NFB'C-NCB'D=135°,即NAB'B+NAB'D=135°,

•.2BAE+NAEB=90。，NBAE+NABF=90。，

."ABF=NAEB,

•."ABF=NAB'B,

AzAEB=NAB'B,

VBE=-AB,

2

ZAEB*60°,

."AB'D*75°,

；AD=AB',

...NADB'=NAB'D片75°,故③错误；

综上所述：正确的结论有①②④，

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行线的性质，熟练

掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

第n卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.已知二次函数y=3/+2x,当-1SW0时，函数值y的取值范围是.

【答案】-gyWl

【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解.

【详解】’；y=3x2+2x=3（x+|）2-

.•.函数的对称轴为x=，，

,当-IWXWO时，函数有最小值当x=-1时，有最大值1,

：.y的取值范围是-^<y<l,

故答案为-^<y<l.

【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

12.某种树苗移植的成活情况记录如下：估计该树苗移植成活的概率为（结果精确到0.01）.

移植数量（棵）20401002004001000

移植成活的数量（棵）153378158321801

移植成活的频率0.7500.8250.7800.7900.8010.801

【答案】0.80

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，

并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近

似值就是这个事件的概率.利用频率估计概率求解即可.

【详解】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80,

故答案为：0.80.

13.当久=1时，二次根式V7-3久的值是.

【答案】2

【分析】将x=1代入原式即可求出答案.

【详解】解：当x=l时，

V7-3x

=V7-3x1

=V4

=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查求二次根式的值，二次根式的性质.解题的关键是掌握二次根式的性质.

14.在数据2,0,-1,4,6中插入一个数据尤，使这组数据的中位数为3,则x的值是.

【答案】x=4

【分析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数为3求解.

【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：-1、0、2、4、6,

中位数为3,

；.x在2和4之间，即-1、0、2、X、4、6,

则(2+x)+2=3,

解得：x=4.

故答案为4.

【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个

数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的

平均数就是这组数据的中位数.

15.已知二次函数y=a久2+已久+c(a>0),图象上有四点4(一1,%),8(3,%)，C(2,〉2)，。(一2,乃)，则%.，

了2,出的大小关系是-

【答案】y2<yi<y3

【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据解析式得到二次函数图象

开口向上，离对称轴越远，函数值越大，再由对称性求出对称轴为直线x=U^=l,据此求出A、C、D

三点到对称轴的距离即可得到答案.

【详解】解：•.,二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a>0),

•••二次函数图象开口向上，

・•・离对称轴越远，函数值越大，

•••A(-l,yi),B(3,%)都在二次函数图象上，

・•・对称轴为直线*=等=1,

A(-l,yi),B(3,yJ,C(2,y2),D(-2,y3)都在二次函数图象上，且1一(一2)>1-(一1)>2-1,

•••y2<yi<y3>

故答案为：y2<yi<y3.

16.如图，点4、C为反比例函数为=一:上的动点，点8、D为反比例函数%=(上的动点，若四边形4BCD为

菱形，则该菱形边长的最小值为.

【答案】4

【分析】连接AC、BD,则ACLBD.设A(a,-》，D(m,贝UB(-m,-根据两点的距离公式可

分别求出AD、AB、OA、OD的长.再根据菱形的性质即得出AD=AB,即可求出a和m的关系.最后在

及△AOD中，利用勾股定理即可求出AD的最小值.

【详解】如图，连接AC、BD,贝UAC1BD.

根据题意可设A(a,-：)，D(m,$,贝ljB(—m,-

[AD=J(m—a)2+『(一§『,AB=J(-m-a)2+[-^-(-;)]2，0A=Ja2+(-^)2,OD=

%+0.

VAD=AB,

•••J(m—a)2+1—(一?『=J(—m—a)2+[.—(一》『

整理得：a2m2=12,即a2=高

在Rt△AOD中，AD=VOA2+OD2,即AD=J(Ja2+(-|)2)2+(Jm2+

整理得：AD=k+/+m2+3,

7azmz

将M=奈代入上式得：AD=2Jin2+*=2~)2+4.

V2+4>4,

AAD>4.

...该菱形边长的最小值为4.

【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，菱形的性质，两点的距离公式以及勾股定理，数据处理难度大,

较难.作出辅助线是解答本题的关键.

三、解答题(本大题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：

(1)(-1)2021-2(TT+1)°+V27-|1-V2|

(2)(3+V2)2(l+V2)(l-V2).

【答案】(1)一迎+1；(2)-11-6V2.

【分析】(1)先计算乘方，零指数嘉，立方根，绝对值化简，再计算加减法即可；

(2)先利完全平方公式与平方差公式计算，合并化简即可.

[详解]解：(1)(_1)2°21_25+1)°+旧_|1_e|,

=-1—2x1+3——1),

=—1—2+3—V2+1,

--y/2+1；

(2)(3+V2)2(l+72)(1-V2),

=(9+6夜+2)(1-2),

=(11+6A/2)X(-1),

=-ll-6V2.

【点睛】本题主要考查实数混合运算以及二次根式计算，掌握基本知识是解题关键.

18.已知关于x的一元二次方程/-(fc+2)x+/c-1=0.

(1)求证：无论左取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)己知5是此方程——(k+2)x+k—1=0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根

【答案】(1)证明见解析

(2)k=方程的另一根为：

【分析】本题考查了根与系数的关系.一元二次方程ax?+bx+c=0(a力0)的根与系数的关系为：X1+x2-

-；,X1.x2也考查了根的判别式.

(1)根据根的判别式，即可得出乙=k2+8>0,由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；

(2)把x=5代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根.

【详解】(1)证明：la=l,b=-(k+2),c=k-1,

...△=b2—4ac=[—(k+2)]2—4x1x(k-1)=k2+8,

无论k取何值，k2>0,

则k2+8>0,

・・・不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)解：把x=5代入方程可得25-5(k+2)+k-1=0,

解得：k=g

当k=g时，原方程为X2-孩X+[=O,

解得X]=|,x2=5,

即方程的另一根为a

19.某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励.为确定一个适当的

成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：

收集数据77787672847591857879

82787679919176747585

75918077757587857677

整理、描述数据

成绩/分72747576777879808284858791

人数/人11a433b111314

分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表:

平均数众数中位数

80C78

解决问题

(1)表格中的口=；b=；c=；

(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标

应定为分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为分；

(3)学校要从91分的A,B,C,。四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训.请利用画树状图法

或列表法，求A,B两名队员恰好同时被选中的概率.

【答案】(1)5；2；75

(2)78；80

(3)A,B两名队员恰好同时被选中的概率为

6

【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义.

(1)根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值；

(2)根据中位数和平均数的意义即可求解；

(3)画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解.

【详解】(1)解：根据收集的数据知a=5；b=2；

出现最多的是75分，有5人，众数为75分，贝卜=75；

故答案为：5；2；75；

(2)解：•.•由统计图可知中位数为78分，

/.如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，

如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，

因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，

可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标.

故答案为：78；80；

(3)解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，

共有12种等可能结果，A,B两名队员恰好同时被选中的情况有2种，

:.A,B两名队员恰好同时被选中的概率为=g

126

答：两名队员恰好同时被选中的概率为

A,BO

20.如图，在平行四边形4BCD中，BE14C于点E,OF14C于点F,连结DE,BF.

(1)求证：4EBF=4EDF；

(2)若AB=13,BC=20,AC=21,求四边形BEDF的面积.

【答案】(1)见解析

(2)132

【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的

关键：

(1)证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论；

(2)设AE=x,则：CE=(21-x),勾股定理求出x的值，进而求出BE,EF的长，进而求出四边形BEDF的

面积即可.

【详解】(1)解：•.•平行四边形ABCD,

：.AB||CD,AB=CD,

."BAE=ZDCF,

；BE1AC于点E,DF1AC^^F,

ABE||DF,ZBEA=ZDFC=90°,

/.△AEB=△CFD,

ABE=DF,

VBE||DF,

，四边形BEDF是平行四边形，

AzEBF=ZEDF；

（2）由（1）知：AAEBSACFD,

/.AE=CF,

设AE=x,贝l|：CE=（21-x）,

由勾股定理，得：BE2=AB2-AE2=BC2-CE2,

A132-x2=202-（21-x）2,

解得：x=5,

；.AE=CF=5,

ABE=V132-52=12,EF=AC-AE-CF=11,

•*.SABEF=IX11x12=66,

"/四边形BEDF是平行四边形，

/.四边形BEDF的面积=2SABEF=132.

21.万达广场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不

得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，且销售价与销售

量的关系如下表：

销售价（久元）10151820

销售量（y件）30252220

求商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件

商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？

【答案】每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元.

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，熟练掌握二次函数的增减性

是解题的关键.设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k片0）,把（10,30）,（15,25）代入求出k和b的值即可

得出函数关系式，根据“总利润=每件的利润x销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可

得.

【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k不0）,

把（10,30）,（15,25）代入得：

C30=10k+b

125=15k+b'

解得:｛屋小

；.y与x之间的函数关系式为y=-x+40,

•••销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，

.".10<x<20；

根据题意可得：

w=(x-10)y

=(x-10)(-x+40)

=-x2+5Ox-400

=-(x-25尸+225

Va=-1<0,

二当x<25时，w随x的增大而增大，

V10<x<20,

.•.当x=20时，w取最大值，此时卬=一(20-25)2+225=200,

二每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元.

22.如图，顶点M(0,-1)的抛物线与直线y=x+l相交于A,2两点，且点A在无轴上，连接AM,BM.

(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)求点B的坐标.

【答案】(1)点A的坐标是(一1,0),y=x2-1

(2)点B的坐标为(2,3)

【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上

点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键.

(1)先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为(0,-1)的抛物线的解析式为y=ax2-l,把点A

的坐标代入求出a即可；

(2)解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标.

【详解】(1)由y=x+l,

得当y=0时，x=-1,

所以点A的坐标是(一1,0),

设顶点为(0,-1)的抛物线的解析式为y=ax2-1,

一点A(-1,0)在抛物线y=ax2-1上，.•.0=a-1,

解得：a=1,

.抛物线的解析式为y=x2—i；

⑵联立HU，

徂fxl=_](x2=2

侍Ty1=o=3，

一点A的坐标是(-1,0),

二点B的坐标为(2,3).

23.已知，等腰RtAZDM中，^AMD=90°,AM=MD,EMBCD的边8c经过点M,点E是线段DM上一动

点，连接

(1)如图1,若点E是。M的中点，乙48c=60。，AE=V10,求的长；

(2)如图2,连接CE,当4E1AB时，求证：CD+CE=AE；

(3)如图3,等腰RtAAEF中NB4E=90。，AF=AE,连接FM,若CM=2,AB=V10,当点E在运动过程

中，请直接写出AAFM周长的最小值.

【答案】⑴2+言

(2)见详解

(3)3&+3V10

【分析】(1)过点M作MN1AD于点N,过点A作AK1BC于点K,设AM=MD=2a,则AD=2应a,根据

等腰直角三角形的性质可得AN=DN=&a,MN=V2a,在RtAAME中，由勾股定理列式可解得2=夜，

易得AN=MN=V2a=2,再证明四边形AKMN为矩形，进而可得MK=AN=2,AK=MN=2,在RtAABK

中，由勾股定理可解得BK=言，即可获得答案；

(2)延长AM、DC,交于点F,分别证明△AME三△DMF,△CME三△CMF,结合全等三角形的性质，即可

证明结论；

(3)过点F作FR||AM,交DA的延长线于点R,过A作SA1AD交FR于点S,证明△FASSAEAD,可得FS=ED,

即点F在直线RS上运动，作点A关于RS的对称点Q,交RS于点0,连接QM,交RS于点N,连接QF,当点Q、F、M

在同一直线上时，AAFM周长取最小值，且CAAFM=AM+QM,过点C作CH1DM于点H,求得AM,QM的

值，即可获得答案.

【详解】(1)解：如下图，过点M作MN1AD于点N,过点A作AK1BC于点K,

B，KMC

AND

•等腰RtAADM中，/AMD=90。，AM=MD,

设AM--MD-2a,则AD=2近a,

.*.AN=DN=工AD=V2a,MN=工AD=V2a,

22

•.•点E是DM的中点，AE=V10,

.•.ME=|MD=a,

.•.在RtAAME中，可有AM?+ME2=AE2,

即(2a)2+a2=(V10),整理可得a?=2,

解得a=鱼或a=-V2(舍去)，

.*.AN=MN=V2a=2,

•・•四边形ABCD为平行四边形，

ABC||AD,

VMN1AD,AKIBC,

AZAKM=ZANM=90°,

AzKMN=180°-Z.ANM=90°,

・・・四边形AKMN为矩形，

AMK=AN=2,AK=MN=2,

VZ.ABC=60°,

AzBAK=90°-4ABC=30°,

AAB=2BK,

・••在RtzkABK中，可有AK2+BK2=AB2,

即22+BK2=(2BK)2,整理可得BK2=(

解得BK=当，

.•.BM=BK+KM=2+季

(2)延长AM、DC,交于点F,如下图,

•・•四边形ABCD为平行四边形，

AZ.BAD=ZBCD,BC||AD,AB=CD,

'."AMD=90。，AM=MD,

AzMDA=ZMAD=45°,

VAE1AB,

AZ.BAD=ZBCD=90°+zDAE,

AZ.MDC=180°-(90°+zDAE)-45°=45°-zDAE,

VzAMD=90°,即AMIDM,

AzF=90°-Z.MDC=45°+zDAE,

VZAEM=乙ADM+ZDAE=45°+zDAE,

AzF=ZAEM,

在△人乂£和4DMF中，

'ZF=ZAEM

ZFMD=ZEMA=90°,

MD=MA

・•・△AME=△DMF(AAS),

AAE=DF=DC+CF=AB+CF,ME=MF,

VBC||AD,ZMDA=45°,

:•△EMC=ZMDA=45°,

VAM1DM,

AzFMC=90°-ZEMC=45°=zEMC,

在ACME和ACMF中，

ME=MF

乙EMC=ZFMC,

、MC=MC

△CME=△CMF(SAS),

ACE=CF,

AAB+CE=CD+CF=DF=AE；

(3)如下图，过点F作FRIIAM,交DA的延长线于点R,过A作SA1AD交FR于点S,

VZ.AMD=90°,AM=MD,

AzASF=ZSAM=ZMAD=zMDA=45°,

VzFAE=90°,AF=AE,

AzFAS+ZSAE=ZEAD+zSAE=90°,

:•△FAS=READ,

在4FAS和4EAD中，

ZEAD=ZFAS

△EDA=ZFSA，

、AE=AF

.,.△FAS=AEAD(AAS),

AFS=ED,

，点F在直线RS上运动，

如图，作点A关于RS的对称点Q,交RS于点0,连接QM,交RS于点N,连接QF,

当点Q、F、M在同一直线上时，

则JAFM=AM+AF+MF=AM+QF+FM=AM+QM,此时△AFM周长取最小值,

过点C作CH1DM于点H,

VBC||AD,ZMDA=45°,

AZHMC=ZMDA=45°,

VCM=2,CD=AB=V10,

AHM=CH=^=V2,HD=VCD2-CH2=J(V10)2-(V2)2=2VL

.*.AM=DM=HM+HD=3VLAD=V2AM=6,

AAR=AS=AD=6,△ARO为等腰直角三角形，

A2OA2=AR2,即20A2=62,

解得OA=3VLAQ=2OA=6vL

VFR||AM,

AzQAM=90°,

.__________I22

AQM=JAQ2+AM2=J（6鱼）+（3/）=3vli5,

JAFM=AM+QM=3>/2+3A/10;

△AFM周长的最小值为3四+3V10.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直

角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正

确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键.

24.我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是8矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形8的完全N倍

体.

【概念辫析】

（1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形2是正方形A的