四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考试数学试题

泸州高2022级高二上期小结练习（一）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算可得.【详解】因为，，所以.故选：A2.把红､蓝､黑､白4张纸牌随机分给甲､乙､丙､丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立事件 B.必然事件C.互斥但不对立事件 D.不可能事件【答案】C【解析】【分析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，也可能都不发生【详解】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件故选：C【点睛】两个事件互斥指是不能同时发生，两个事件对立指的是不能同时发生，但必有一个发生.3.设x，，向量，，且，，则（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量，，且由得，由，得解得，所以向量，，所以，所以故选：C4.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法列出m，n的所有情况，根据古典概型的概率公式计算.【详解】根据题意，m，n的情况如下：共16种情况，其中m，n满足的情况如下：共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是.故选：D.5.已知，若共面，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的共面定理，存在实数使得成立，列出方程组，即可求解.【详解】由向量，因为共面，则存在实数使得成立，即成立，可得，解得，则.故选：C.6.如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知，所以，所以，即.故选：B.7.如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式即可得到答案.【详解】以为坐标原点，分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系，则,，设平面的法向量为，则，令得：，所以，则点到平面的距离为，故选：C.8.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（

）．A. B.C. D.4a【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及，两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果.【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，∴，设，则，∵，∴，可得；当时，，当时，，取，，，，连结，，，，则，，∴四边形为矩形，则，，即，，又和为平面中的两条相交直线，∴平面，又，，∴为的中点，则平面，为使，必有点平面，又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，又，，∴，则点的轨迹不是正方形，则矩形的周长为．故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】在正方体中可找到ABD的反例，结合平行与垂直的关系可得结果.【详解】对于A，若为，为平面，为平面，则，，但，A错误；对于B，若为，为平面，为平面，则，，但，B错误；对于C，若两平面平行，则垂直于一个平面直线必垂直于另一个平面，C正确；对于D，若，为平面，为平面，则，，但，D错误.故选：ABD.10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.乙发生的概率为 B.丙发生的概率为C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件【答案】ACD【解析】【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，，故A正确.，，故B错误.而，故C正确.两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：ACD.11.已知空间向量，，下列结论正确的是（）A.B.，夹角的余弦值为C.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数D.在上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.【详解】对于A，，，故A错误；对于B，因为，，所以，，，设与的夹角为，则，故B正确；对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选:BCD．12.疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（）A. B.事件与互斥C. D.事件与对立【答案】BC【解析】【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：共36种，若，此时取或所以，故A错误；若，则恒成立，所以与互斥，故B正确；，故C正确；当时，，此时事件与均未发生，所以事件与不对立，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.【答案】##0.25【解析】【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137、271、436共3组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，故答案为：.14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】【解析】【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.15.已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．【答案】【解析】【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.【详解】，,，，设点A到直线的距离为，则.故答案为：.16.如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是_____．①若保持，则点在底面内运动路径的长度为②三棱锥体积的最大值为③若，则二面角的余弦值的最大值为④若则与所成角的余弦值的最大值为【答案】①②④【解析】【分析】对于①，易知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的四分之一圆，即可知①正确；对于②，的面积为定值，建立空间直角坐标系求得到平面的距离最大值为，可得②正确；对于③，若，由空间向量可得二面角的余弦值的最大值为，即③错误；异面直线与所成角的余弦值的最大值为，即④正确.【详解】对于①，根据题意可知平面，所以为直角三角形，即，且若保持，可知，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆，因此点在底面内的运动路径长度为，即①正确；对于②，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：易知，则，设平面的一个法向量为，可得，令，可得，即；可设，则，所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为；又在中，易知，所以边上的高为；其面积为定值，即；所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为，即②正确；对于③，根据正方体性质可知平面，又是棱的中点，，所以可得点在平面，又点在底面内，平面平面，所以；根据B中的坐标系可知，所以可得，；则，设平面的一个法向量为，可得，令，则，即；易知平面的一个法向量为，所以，易知当时，，当时，，令，可得在上恒成立，即在上单调递增；此时时，最大，当，，易知在上单调递减，所以时，，又由图可知，当时，点与重合，综上二面角的余弦值的取值范围为，故③错误；对于④，根据选项C易知，可得，当时，，当时，，易知当时，取到最大值为，综上可知，与所成角的余弦值的最大值为，即④正确；故答案：①②④【点睛】关键点点睛：在求解二面角以及线面角最值问题时，一般需要借助空间向量得出空间角余弦值的表达式，再利用基本不等式或函数单调性求出最值即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知甲､乙､丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．（1）求甲､乙､丙都通过测试的概率；（2）求甲､乙､丙至少有一人通过测试的概率；（3）求甲､乙､丙恰有有两人通过测试的概率．【答案】（1）0.432（2）0.992（3）0.444【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求解；（2）根据独立事件的乘法公式、对立事件概率计算公式可得答案；（3）根据互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式计算.【小问1详解】甲、乙、丙都通过测试的概率为.【小问2详解】甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为．【小问3详解】甲､乙､丙恰有两人通过测试的概率为：.18.四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．（1）设向量，，，用、、表示向量、；（2）求证：、、三点共线．【答案】（1），．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；（2）借助向量共线定理证明即可得.【小问1详解】因为，则，所以，又因为，则，所以；【小问2详解】因为，且，所以，即、、三点共线．19.9月19日，2023年中国地理标志博览会主会场启动仪式在泸州市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，泸州市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自同个一组的概率．【答案】（1）77.5（2）【解析】【分析】（1）根据题意列式求的值，进而结合平均数和百分位数的定义运算求解.（2）根据分层抽样求分层人数，利用列举法结合古典概型运算求解.【小问1详解】由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为，因为，且，设第百分位数为，则，解得，第百分位数为.【小问2详解】根据分层抽样和的频率比为，故在和中分别选取人和人，分别设为，，，和，则这人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，，，，，，，，，共个，即，记事件“两人来自同一个组”，则事件包含的样本点有，，，，，，共个，即，所以20.一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格：《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》同学A√√√同学B√√同学C√√同学D√√√同学E√√（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．【答案】（1）样本空间和事件A所包含的所有结果见解析；事件A的概率为（2）【解析】【分析】（1）根据题干中表格写出样本空间和事件A所包含的所有结果，利用古典概型的概率公式计算即可；（2）利用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式即可求解.【小问1详解】设五位同学分别为a，b，c，d，e样本空间事件，则.【小问2详解】设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件A，B，C，D，则一位同学恰好读过其中三本的概率为.故一位同学恰好读过其中三本书的概率为.21.如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点的三等分点．（1）证明：平面；（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由可得平面；（2）延长，交于点，则直线就是平面与平面的交线，以点A为原点建立空间直角坐标系，求出及面的法向量，求与平面所成角的正弦值．【小问1详解】连接交于点，连接，因为，所以，又因是棱上靠近点的三等分点，所以，所以，又平面平面，所以平面；【小问2详解】延长，交于点，所以为平面与平面的公共点，所以直线就是平面与平面的交线；因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，则，则，设平面的法向量为，则有，可取，则，即与平面所成角的正弦值为22.如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．（1）求四棱