1.1.2集合的基本关系课件高一上学期数学北师大版

第一章预备知识1.2集合的基本关系北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集.3.会判断两个集合间的基本关系.基础落实·必备知识一遍过知识点1

子集1.Venn图为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.2.子集

概念一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B.那么称集合A是集合B的子集

符号表示

,读作“A包含于B”(或“B包含A”)

图形表示

性质①任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.②

是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有⌀⊆A.

③对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C表示所有的意思

A⊆B(或B⊇A)空集

名师点睛1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.2.用Venn图表示集合的优点是能够直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.思考辨析1.子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”?

2.符号“⊆”与符号“∈”有什么区别?提示

不能.若集合A中存在某个元素,其不为集合B中的元素,则集合A不是集合B的子集.提示

符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号

“∈”表示元素与集合之间的从属关系.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)1⊆{1,2,3}.(

)(2)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C.(

)(3)任何一个集合都有子集.(

)(4){0,1,2}⊆{2,0,1}.(

)×√√√2.已知集合A={-2,3,6m-6},{6}⊆A,则m=

,集合A的子集有

个.

3.[人教A版教材习题]写出集合{a,b,c}的所有子集.28解析

∵{6}⊆A,∴6m-6=6,∴m=2.集合A的子集有23=8个.解

⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.知识点2

集合相等

概念对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等符号表示若A⊆B,且B⊆A,则

图形表示

名师点睛1.因为A⊆B,所以集合A中的元素都是集合B中的元素;又因为B⊆A,所以集合B中的元素也都是集合A中的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B中的元素是完全相同的.2.证明或判断两个集合相等,只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可.A=B思考辨析除了教材中集合相等的定义,你还能找出定义两个集合相等的描述吗?提示

只要组成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)相等集合中的元素一定是有限的.(

)(2){0}=⌀.(

)(3)若集合A=B,则A⊆B且B⊆A.(

)××√2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a=

,b=

.

解析

由两个集合相等可知b=0,a=-1.-10知识点3

真子集

概念对于两个集合A与B,如果

,且

,那么称集合A是集合B的真子集

符号表示A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图形表示

A⊆B

A≠B名师点睛1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A⊆B;②存在元素x,满足x∈B,且x∉A.2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,集合B一定不是集合A的子集.3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.思考辨析1.任何集合都有子集和真子集吗?

2.{0},⌀,{⌀}之间有什么区别?

提示

空集只有子集没有真子集.提示

{0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,而{⌀}是含有一个元素⌀的集合.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空集是任何集合的真子集.(

)(2)任何集合的真子集个数至少有1个.(

)(3)若一个集合只有一个真子集,则这个集合是空集.(

)×××2.[人教A版教材习题]指出下列各集合之间的关系,并用Venn图表示:A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.解

(1)A⫋B.(2)B⫋A.(3)A=B.重难探究·能力素养速提升探究点一写出给定集合的子集【例1】

(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;解

集合{a,b,c,d}所有的子集为:不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d};含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.(2)填写下表,并回答问题:集合集合的子集子集的个数⌀

{a}

{a,b}

{a,b,c}

由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?⌀1⌀,{a}2⌀,{a},{b},{a,b}4⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.规律方法

1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.★变式训练1(1)[人教B版教材例题]写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.解

集合A的所有子集是⌀,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集.(2)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},试求符合条件的集合M.解

根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}.探究点二集合之间关系的判断【例2】

(1)已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(

)A.A⫋B

B.A=B

C.B⫋A

D.B⊆AA解析

由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B.A⫋B规律方法

集合间基本关系判定的两种方法和一个关键

★变式训练2(1)已知集合A={x∈N|x2-2<0},则以下关系正确的是(

)A.2∈A

B.0∉AC.{0,1}⊆A D.{-1,1}=AC解析

由题意得集合A={0,1}.2∉A,故A不正确;0∈A,故B不正确;{0,1}⊆A,故C正确;{-1,1}≠A,故D不正确,故选C.A⫋B=C∵当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;当b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;当c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,∴A⫋B=C.探究点三集合相等关系的应用【例3】

已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.变式探究

若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.解

∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.又|x|≠y,∴x<0,|x|=-x,∴A={x,x2,0},B={0,-x,x},∴x2=-x,解得x=-1或x=0(舍去),∴x=y=-1.规律方法

集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.探究点四由集合间的关系求参数的范围【例4】

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.解

(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B⫋A.(2)当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.又因为a<1,所以实数a的取值范围为[-1,1).综上,实数a的取值范围为[-1,+∞).变式探究1例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.解

不存在.因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集.变式探究2若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且B⊆A,求实数a的取值范围.解①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知B⊆A,则2a-3≥2,或a-2≤-5,解得

,或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.综上,实数a的取值范围为{a|a≥1,或a≤-3}.规律方法

由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圈表示.(2)涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起重视.本节要点归纳1.知识清单:(1)子集、集合相等、真子集的概念;(2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题;(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:易忽略对集合是否为空集的讨论;求参数范围时,端点值能否取到容易出现误判.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213A级必备知识基础练1.[探究点二]已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(

)A.A⊆B

B.C⊆B C.D⊆C

D.A⊆DB解析

正方形是邻边相等的矩形.123456789101112132.[探究点一]已知集合N={1,3,5},则集合N的真子集个数为(

)A.5 B.6 C.7 D.8C解析

集合N中有3个元素,故集合N的真子集个数为23-1=7.故选C.123456789101112133.[探究点四]设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的实数a的值是(

)A.-1 B.0 C.1 D.-1或1A解析

由集合元素的互异性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1.又B⊆A,∴a=-1,a2=1.123456789101112134.[探究点三]集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=(

)A.2 B.-1C.2或-1 D.4C解析

∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.经检验,2或-1满足题意.故选C.123456789101112135.[探究点一](多选题)

满足{0,2,4}⊆A⫋{0,1,2,3,4}的集合A可以为(

)A.{0,2,4} B.{0,1,3,4}C.{0,1,2,4} D.{0,1,2,3,4}AC解析

根据集合间的包含关系可知,A可以为{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,2,4}.123456789101112136.[探究点四]已知集合A={x|=a},当A为非空集合时,实数a的取值范围是

.

[0,+∞)解析

要使集合A为非空集合,则方程

=a有解,故只须a≥0.123456789101112137.[探究点一]集合{x∈N+|1<x<6}的非空真子集的个数为

.

14解析

因为{x∈N+|1<x<6}={2,3,4,5},有4个元素,所以其非空真子集的个数为24-2=14.12345678910111213B级关键能力提升练8.(多选题)已知集合A={x|ax≤2},B={2,},若B⊆A,则实数a的值可能是(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2ABC123456789101112139.已知集合M={x|-<x<,x∈Z},则下列集合是集合M的子集的是(

)A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2}C.T={y|-π<y<-1,y∈Z} D.S={x||x|≤,x∈Z}D解析

集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合T中的元素-3∉M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S⊆M.1234567891011121310.已知集合A={x|x2-x=0},则集合A=

;若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=

.

{0,1}{0