3.2.4离散型随机变量的方差课件高二下学期数学选择性

离散型随机变量的方差第3章概率湘教版

数学

选择性必修第二册课标要求1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念,会用方差解决一些实际问题.2.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1离散型随机变量的方差与标准差1.定义:设离散型随机变量X的分布列为

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则D(X)=

=

,称为随机变量X的方差;并称

为X的标准差.

有时也记作σ2有时也记作σE{[X-E(X)]2}[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn

2.方差的性质:若X与Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)=

.

3.方差的意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于数学期望的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量取值向数学期望集中得越好,方差或标准差越大,则随机变量的取值就越分散.波动越小,数据越集中

波动越大,数据越分散

a2D(X)名师点睛随机变量的方差和样本方差之间的关系(1)随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化;(2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的;(3)对于简单的随机抽样,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量取值越稳定.(

)(2)若a是常数,则D(a)=0.(

)(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.(

)2.已知随机变量X,X2的分布列,如何求D(X)?×√√提示

根据随机变量X,X2的分布列,分别计算E(X),E(X2),利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2求方差.知识点2两点分布及二项分布的方差1.若随机变量X服从参数为p的两点分布,则D(X)=

.

2.若随机变量X~B(n,p),则D(X)=

.

p(1-p)np(1-p)过关自诊1.若随机变量X服从两点分布,且成功概率p=0.6,则D(X)=

.

2.一批产品中,次品率为

,现连续抽取9次,其次品数记为X,则D(X)的值为

.

0.24解析

E(X)=0.6,D(X)=0.6×(1-0.6)=0.24.2重难探究·能力素养全提升探究点一常见分布列的方差与方差的性质【例1】

某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机选取此种盆栽植物n株.设X为其中成活的株数,若E(X)=2,D(X)=1.6,则n,p的值为(

)A.n=4,p=0.5 B.n=6,p=0.3C.n=8,p=0.25 D.n=10,p=0.2D解析

由题意知,随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),由E(X)=2,D(X)=1.6,可得np=2,np(1-p)=1.6,解得p=0.2,n=10,故选D.变式探究1若本例中的条件不变,求D[E(X)X+5]的值.解

由E(X)=2,D(X)=1.6,可知D[E(X)X+5]=D(2X+5)=22D(X)=4×1.6=6.4.变式探究2若本例中的条件不变,求E(X2)的值.解

由D(X)=E(X2)-[E(X)]2可知E(X2)=D(X)+[E(X)]2=1.6+22=5.6.规律方法

常见的分布列的方差的计算方法(1)若随机变量服从常见的两点分布与二项分布,可以直接利用方差公式求方差;(2)对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X).探究点二离散型随机变量的方差【例2】

有三张形状、大小、质地完全相同的卡片,在卡片上分别写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,将其上数字记作y,令X=xy.求X的方差.“X=2”是指两次取的卡片上一个数字为1,另一个数字为2,其概率

则X的分布列为

规律方法

求离散型随机变量X的方差的基本步骤

变式训练1某人共有三发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则方差D(X)=

.

探究点三方差在决策问题中的应用【例3】

实验中学从高二级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定回答1个相关问题作最后的评判,选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级6名选手,现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题.已知这6人中,甲班级有4人可以正确回答这道题目,而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为,甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的.分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数X,Y的数学期望E(X),E(Y)和方差D(X),D(Y),并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.由E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)可得,由甲班级代表学校参加大赛更好.规律方法

利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下哪个的平均水平高.(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下哪个的水平发挥相对稳定.(3)下结论.依据方差的几何意义作出结论.变式训练2甲、乙两台机床生产同一种零件,它们生产的产量相同,在1小时内生产出的次品数分别为X1,X2,其中:甲机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1乙机床次品数的分布列

X2012P0.30.50.2试从稳定性方面比较哪一台机床性能好.解

随机变量X1的均值E(X1)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,随机变量X2的均值E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9,随机变量X1的方差D(X1)=(0-1)2×0.4+(1-1)2×0.3+(2-1)2×0.2+(3-1)2×0.1=1,随机变量X2的方差D(X2)=(0-0.9)2×0.3+(1-0.9)2×0.5+(2-0.9)2×0.2=0.49,因为E(X1)与E(X2)几乎相等,但是D(X1)>D(X2)且方差相差较大,所以乙机床比较好.本节要点归纳1.知识清单:(1)离散型随机变量的方差、性质及计算公式;(2)常见的分布列的方差.2.方法归纳:利用分布列求方差需要先求数学期望再利用方差公式求方差;常见的分布列的方差可直接利用公式求解.3.特别提示:根据方差公式求方差时,不要出现计算失误;利用常见的分布列的方差公式要明确各量的含义;利用方差进行决策需要从期望与方差两方面分别比较.成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练1234567891011121314151.已知随机变量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2,则D(2ξ)=(

)A.3 B.6

C.12

D.24B解析

随机变量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2,1234567891011121314152.在n(n∈N*)次独立重复试验中,每次试验的结果只有A,B,C三种,且A,B,C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中,事件A,B发生的概率均为,则事件A,B,C发生次数的方差之比为(

)A.5∶5∶4 B.4∶4∶3 C.3∶3∶2 D.2∶2∶1C故事件A,B,C发生次数的方差之比为3∶3∶2,故选C.123456789101112131415A1234567891011121314154.已知随机变量X的分布列是

若E(X)=0,则D(X)=(

)C1234567891011121314155.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(

)A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=3C.D(4X+1)=3 D.D(X)=AC所以D(4X+1)=16D(X)=3.所以选项C正确.故选AC.1234567891011121314156.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=

.

1234567891011121314157.某地区投入共享电动车后,若该地区内的每位成员使用共享电动车的概率都为p,且各成员使用与否相互独立,设X为某群体的5位成员中使用共享电动车的人数,D(X)=1.2,P(X=2)<P(X=3),则p=

.

0.6解析

由题意可得,X~B(5,p),所以D(X)=5p(1-p)=1.2,即p(1-p)=0.24,解得p=0.4或0.6,因为P(X=2)<P(X=3),1234567891011121314158.甲口袋里有除颜色外其他都相同的2个黑球和3个白球,现从甲口袋中取出3个球,记黑球个数为ξ,若随机变量η满足η=3-ξ,求随机变量ξ的数学期望E(ξ)及η的方差D(η).则随机变量ξ的分布列如下表:123456789101112131415123456789101112131415B级关键能力提升练9.(多选题)投资甲、乙两种股票,每股收益的分布列分别如表1和表2所示.表1

股票甲收益的分布列收益X/元-102概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列

收益Y/元012概率0.30.40.3下列结论正确的是(

)A.投资股票甲的收益的数学期望较小B.投资股票乙的收益的数学期望较小C.投资股票甲比投资股票乙的风险高D.投资股票乙比投资股票甲的风险高BC123456789101112131415解析

投资股票甲收益的数学期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29;投资股票乙收益的期望E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,方差D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6.所以E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),则投资股票乙收益的数学期望较小,投资股票甲比投资股票乙的风险高.故选BC.123456789101112131415AB12345678910111213141511.已知随机变量X的分布列如下,则D(3X-1)的最大值为(

)X123Pab2b-aC12345678910111213141512.在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,0<p<1,事件A发生的次数为ξ,则方差D(ξ)的最大值为

.

解析

记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.分布列如下:ξ01P1-pp数学期望E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,由0<p<1,方差

12345678910111213141512345678910111213141513.盒中有4个球,其中1个红球、1个黄球、2个蓝球.从盒中随机取球,每次取1个,取后不放回,直到蓝球全部被取出为止,在这一过程中取球次数为ξ,则ξ的方差D(ξ)=

.

所以,随机变量ξ的分布列如下表所示:12345678910111213141512345678910111213141514.袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球.(1)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记X为摸出的白球个数,求X的方差;(2)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记Y为摸出的白球个数,求Y的方差.123456789101112131415123456789101112131415所以X的分布列为

123456789101112131415(2)由题意可知Y=0,1,2,所以X的分布列为

12345678910111213141515.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环,且甲击中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,甲、乙射击结果互不影响.记甲、乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ,η.