2024年中考数学常见几何模型复习：最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型

最值模型之瓜豆模型O理）圆弧轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压

轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基

本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点

轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2.如图，MPQ是直角三角形，4AQ=90°且AP=kAQ，当P在圆。运动时，Q点轨迹是？

如图，连结AO，作AM±AO,AOAM=k:l；任意时刻均有&P0S&QM，且相似比为k。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型3.定义型:若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，4PB=90。,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，4PB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：』定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之

和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差的性质求解。

m1（2023山东泰安统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt&OB的一条直角边0B在x轴上，点

A的坐标为（-6,4）；RtNOD中，AJ0D=90°,0D=44，ND=30°,连接BC，点M是BC中点，连接

AM.将RtNOD以点0为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

血］2（2023四川广元统考一模）如图，线段AB为。0的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点

P是。。上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt&CD，且使"CP=60°,连接0口，则

谢3（2023四川宜宾统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP,

线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为

应）4（2023湖南统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=0,动点P在矩形的边上沿B-C-

D-A运动.当点P不与点A、B重合时，将用BP沿AP对折，得到&BP,连接CB，则在点P的运动

过程中，线段CB的最小值为.

域5（2023山东统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，4BC=4AD=90°AB=5,AD=4,AD<

BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，4DF=ZBAE，则线段BF的最小值为.

国6（2023浙江金华九年级校考期中）如图，点A,C,N的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,（4,3）,以点。为圆

心、2为半径画。C,点P在。C上运动，连接AP，交。C于点Q,点M为线段QP的中点，连接MN，则

线段MN的最小值为.

函7（2023上江苏连云港九年级校考阶段练习）已知矩形ABCD,AB=6,BC=4.P为矩形ABCD内一点,

且4PC=135°,若点P绕点A逆时针旋转90。到点Q，则PQ的最小值为.

3

刖8（2023下陕西西安九年级校考阶段练习）问题提出：

⑴如图①，在&BC中，AB=AC,ZBAC=120°,BC=^.WJAB的长为；

问题探究：⑵如图②，已知矩形ABCD,AB=4,BC=5,点P是矩形ABCD内一点，且满足4PB=

90。,连接CP，求线段CP的最小值；

问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD//BC,AD=

40m,BC=60m，点E为CD边上一点，且CEDE=1:2,"EB=60°,为了美化环境，要求四边形

ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值.

图1图3

课后专项训练

题.1（2023安徽合肥校考一模）如图，在MBC中，4=45°,AC=2,以AC为边作等腰直角&CD,

连BD，则BD的最大值是（）

C.2eD.yru+

量且J2.（2023春广东九年级专题练习）已知:如图，在&BC中，4AC=30°,BC=4,&BC面积的最

大值是（）.

A

A.8+4火B.8Q+4C.D.8+8内

题目［3'（2022秋江苏扬州九年级校考阶段练习）如图，A是。B上任意一点，点C在。B外，已知AB=2,

BC=4,MCD是等边三角形，则西CD的面积的最大值为（）

4（2023山东济南一模）正方形ABCD中，AB=4,点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足

DE=CF,DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角mHG使得4HG=90°,连接

BH.则BH的最小值为（）

A.2V-2B.2%/5,+2C.^/TU-D.^/TU+1Vzz

【题目|5.（2023上江苏连云港九年级统考期中）如图,在矩形ABCD中，已知AB=3.BC="|^是设边

上一动点（点P不与点B,C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值

为.

〔题目〔6〕（2023春广东深圳九年级专题练习）如图，点G是&BC内的一点，且/BGC=120°,西CF是等

边三角形，若BC=3,则FG的最大值为

题目|7（2023江苏泰州九年级专题练习）如图,在矩形ABCD中，AD=10,AB=16,P为CD的中点，连

接BP.在矩形ABCD外部找一点E,使得4EC+ZBPC=180。,则线段DE的最大值为.

目|8：（2023陕西渭南三模）如图,在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,点£在直上，且CE4BE，点M

为矩形内一动点，使得4ME=45°,连接AM，则线段AM的最小值为

迎目19（2023江苏扬州三模）如图,在等边MBC和等边小:DE中，AB=6,CD=4,以AB、AD为邻边

作平行四边形ABFD，连接AF.若将NDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是.

氯百|1。（2023秋湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，&BC为等腰直角三角形，4AC=90°,AB=

AC=2JZ,点D为&BC所在平面内一点，4DC=90。,以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的

最小值为

A

Ei

响11（2023福建泉州统考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点（含边界），且AD=

EB=8,点F在BE上，BF=2,则以下结论:①CF的最小值为6；②DE的最小值为80-8；③CE=

CF；@DE+CF的最小值为10；正确的是.

「随目|以（2021广东中考真题）在9BC中，4BC=90°A3=2,BC=3.点D为平面上一个动点，

ZADB-=45。,则线段CD长度的最小值为.

（JSS|13（2023广东深圳市二模）如图,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为边BC上一动点，F为AE

中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为.

遢目J14（2023秋广东汕头九年级校考期中）如下图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是以BC为直径的

圆上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90。,得到线段DF，连接CF,则线段CF的最大值与最

小值的和.

［国目|15（2023陕西渭南统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,Q是矩形ABCD左侧一点,

连接AQ、BQ，且4QB=90°,连接DQ,E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为

-

16（2023安徽亳州统考模拟预测）等腰直角&BC中，BAC=90°,AB5,点D是平面内一点，AD

=2,连接BD，将BD绕D点逆时针旋转90°得到DE，连接AE，当DAB=（填度数）度时，AE可以

取最大值，最大值等于

厘皂|17（2023河北廊坊统考二模）已知如图，Z^BC是腰长为4的等腰直角三角形，4BC=90°,以A为

圆心，2为半径作半圆A,交BA所在直线于点M,N.点E是半圆A上仟意一点.连接BE，把BE绕点B

顺时针旋转90。到BD的位置，连接AE,CD.

⑴求证：小BA四初BC；⑵当BE与半圆A相切时，求弧EM的长；⑶直接写出&CD面积的最大

值.

[gg|18（2022北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a,b）,N.对于点P给出如下定义:将点

P向右320）或向左（a<0）平移a个单位长度,再向上（b20）或向下（b〈0）平移b个单位长度，得到

点P',点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点

⑴如图，点M（1,1）,点N在线段0M的延长线上，若点P（-2,0）,点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T.求证：NT=30M；

（2）00的半径为1,M是。0上一点，点N在线段0M上，且ON=tt<1,若p为。0外一点，点

Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。0上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差佣含t的

式子表示）

国目（2023下广东广州九年级校考阶段练习）如图，&BC为等边三角形，点P是线段AC上一动点

（点P不与A,C重合），连接BP,过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转

60°得到线段AE，连接DE,CE.⑴求证：BD=CE；⑵连接CD，延长ED交BC于点F,若&BC的边

长为2；

①求CD的最小值;②求EF的最大值.

♦目|20（2023江苏常州统考二模）如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=-^X2+bx-3的图像与x轴

交于点A和点B9,0，与y轴交于点C.⑴求二次函数的表达式；⑵若点P是抛物线上一点，满足

ZPCB+4CB=ZBC0，求点P的坐标；⑶若点Q在第四象限内，且cosdQB=在y轴正半

0

备用图

最值模型之瓜豆模型O理）圆弧轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压

轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基

本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点

轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2.如图，MPQ是直角三角形，4AQ=90°且AP=kAQ，当P在圆。运动时，Q点轨迹是？

如图，连结AO，作AM±AO,AOAM=k:l；任意时刻均有&P0S&QM，且相似比为k。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型3.定义型:若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，4PB=90。,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，4PB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：』定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之

和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差的性质求解。

EJ1（2023山东泰安统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt&OB的一条直角边0B在x轴上，点

A的坐标为（-6,4）；RtNOD中，AJ0D=90°,0D=44，ND=30°,连接BC，点M是BC中点，连接

AM.将RtNOD以点0为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

B.6/2-4C.2g-2

【答案】A

【分析】如图所示，延长BA到E,使得AE=AB，连接0E,CE，根据点A的坐标为（-6,4）得到BE=8,

再证明AM是Z^CE的中位线，得到AM=gcE；解RtNOD得到0C=4,进一步求出点C在以。为

圆心,半径为4的圆上运动,则当点M在线段0E上时，CE有最小值,即此时AM有最小值，据此求出CE

的最小值，即可得到答案.

【详解】解:如图所示，延长BA到E,使得AE=AB，连接0E,CE,

VRtZ^OB的一条直角边0B在x轴上，点A的坐标为（-6,4）,彳

；.AB=4,OB=6,AAE=AB=4,；.BE=8,!\\

•\*y

:点M为BC中点，点A为BE中点，；.AM是西CE的中位线，

;.AM=±CE；VA/T

2\瓜\\

在RtAX）D中，40D=90°,0D=4^/3,ZD=30°,

；.0C=4OD=4,

•.•将RtROD以点0为旋转中心按顺时针方向旋转，

•••点C在以0为圆心，半径为4的圆上运动，

，当点M在线段0E上时，CE有最小值,即此时AM有最小值,

V0E=JBE2+0B2=10,ACE的最小值为10-4=6,AAM的最小值为3,故选A.

另解:取BO的中点为Q（-3,0）,根据中位线可确定MQ=<0C=2,

故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度

角的直角三角形的性质等等,正确作出辅助线是解题的关键.

血（2023四川广元统考一模）如图，线段AB为。0的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点

P是。。上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt&CD，且使zDCP=60°,连接0口，则

0D长的最大值为.

【分析】作&0E，使得ZCE0=90°,zECO=60°,则CO=2CE,OE=2y/3,A）CP=zECD，由

NOPsRED，推出啜-=%=2,即ED=；0P=1侬长），由点E是定点，DE是定长，点D在半

径为1的。E上，由此即可解决问题.

【详解】解:如图，作R0E，使得4E0=90°,4C0=60°,

则CO=2CE,0E=2^3,A)CP=ZECD,

VZCDP=90°,ZDCP=60°,ACP=2CD,

corp

・•・%二詈二2,AZ^OPs"ED,

CECD

.•.冷=需=2,即ED=-LOP=i侬长)，

:点E是定点，DE是定长，，点D在半径为1的。E上，

,."0DWOE+DE=22+1,

/.0D的最大值为24+1,故答案为：24+1.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题.

血（2023四川宜宾统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP,

线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为

【分析】连接BM，将BM以B中心，逆时针旋转90。,M点的对应点为E,由P的运动轨迹是以M为圆心,

1为半径的半圆，可得：Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点

的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短'，所以当M、Q、E三点共线时，MQ

的值最小，可求ME='2BM=从而可求解.

【详解】解，如图，连接BM，将BM以B中心，逆时针旋转90°,M点的对应点为E,

,.T的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，

AQ的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，

如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，

:四边形ABCD是正方形，

ACD=AB=BC=4,4=90°,

••,M是CM的中点,

/.CM=2,；.BM=V'CM2+BC2=^^^+4?=

由旋转得：BM=BE,=^/2BM=2^/10,

/.MQ=ME-EQ=2y/TU-1,

/•MQ的值最小为2/TO-1.故答案：2/TO-l.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理,动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质,

根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键.

勘）4（2023湖南统考中考真题）如图,在矩形ABCD中，AB=2,AD=。,动点P在矩形的边上沿B-C-

D-A运动.当点P不与点A、B重合时，将用BP沿AP对折，得到&BP,连接CB，则在点P的运动

过程中，线段CB的最小值为.

【答案】4T-2/-2+m

【分析】根据折叠的性质得出B在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点

P在DC上时，当P在AD上时，即可求解.

【详解】解：：在矩形ABCD中，AB=2,AD=77,

ABC=AD=AC=JBC2+AB2=«+4=^/TT,

如图所示，当点P在BC上时，YAB=AB=2AB在A为圆心，2为半径的弧上运动，

当点P在DC上时，如图所示，此时CB>JTT-2

当P在AD上时，如图所示，此时CB>，n-2

综上所述，CB的最小值为JTT-2,故答案为：JTT-2.

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的

关键.

」(2023山东统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，4BC=ZBAD=90°AB=5,AD=4,AD<

BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，4DF=ZBAE，则线段BF的最小值为

【答案】何-2/-2+图

【分析】设AD的中点为。，以AD为直径画圆，连接0B，设0B与。0的交点为点F,证明/)FA=90°,

可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到0B与。0的交点F时，线段BF有最小值，据此

求解即可.

【详解】解:设AD的中点为。，以AD为直径画圆，连接0B，设0B与。0的交点为点F,

•.ZBC=ZBAD=90°,AAD〃BC,，/)AE=4EB,

VZADF=ZBAE,.\ZDFA="BE=90°,

；•点F在以AD为直径的半圆上运动，

，当点F运动到0B与。0的交点F时，线段BF有最小值，

,ZAD=4,.*.AO=OF=.IAD=2,,

/.BO=J52+22=

BF的最小值为8-2,

故答案为：V29-2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识,根据题意分析得到点F的运动轨

迹是解题的关键.

」(2023浙江金华九年级校考期中)如图，点A,C,N的坐标分别为(-2,0),(2,0),(4,3),以点C为圆

心、2为半径画。C,点P在。C上运动，连接AP,交。C于点Q,点M为线段QP的中点，连接MN，则

线段MN的最小值为

【答案】3

【分析】本题考查了垂径定理，90。的圆周角所对的弦为直径，勾股定理.熟练掌握弦中点,连接圆心与中

点，明确点M的运动轨迹是解题的关键.

如图，连接CM，由垂径定理可得，4MA=90°,则M在以AC为直径的。。上运动，如图，连接ON交。

0于M，当0、M、N三点共线时，线段MN的值最小，由勾股定理得，ON=5,根据线段MN的最小值为

MN=ON-0M，计算求解即可.

【详解】解:如图，连接CM,

•••点M为线段QP的中点，

二由垂径定理可得，ZCMA=90°,

/.M在以AC为直径的。0上运动，

如图，连接ON交。。于M,

...当0、M、N三点共线时，线段MN的值最小，

AGO的半径为_^AC=2,

由勾股定理得，ON=J4-O2+3-02=5,

线段MN的最小值为MN=ON-0M=3,故答案为：3.

函7（2023上江苏连云港九年级校考阶段练习）已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点,

且ZBPC=135°,若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为

【答案】2/7-4

【分析】在矩形ABCD外，以边BC为斜边作等腰直角三角玻0C,40C=90。,再以点0为圆心，0C

为半径作。0,点P为矩形ABCD内一点，且4PC=135°,所以点P在。。的劣弧BC上运动，根据点

P绕点A逆时针旋转90°到点Q，所以AP=AQ,ZPAQ=90°,则PQ=JAPz+AQ?=,所以当

AP最小时，pQ最小，然后连接A0，交。。于P,此时，AP最小，则PQ也最小，最后过点。作0E±

BC于E,OF±AB交AB延长线于F,利用勾股定理求出OA,0P的长，从而求得AP，即可求解.

【详解】解:在矩形ABCD外，以边BC为斜边作等腰直角三角翔0C,ZBOC=90°,再以点0为圆心,

0C为半径作。0,如图，

:点P为矩形ABCD内一点，且4PC=135°,

.•.点P在。0的劣弧BC上运动，

..•点P绕点A逆时针旋转90。到点Q,

；.AP=AQ,zPAQ=90°,

；.pQ=JAP2+AQ2=/AP

...当AP最小时，pQ，连接AO，交。。于P,此时，AP最小，则PQ也最小，

在RtNOC中，；BC=4,0B=0C,

Z.OB=0C=2^,/.OP=OB=2JI,

过点0作0E±BC于E,OF±AB交AB延长线于F，,BE=CE=0E=

-1.BC=2,

VOE±BC,OF±AB,：.^DEB=zDFB=90°

:矩形ABCDAZABC=90°，ZEBF=90°.•.四边形OEBF正方形，

ABF=OF=0E=2,；.AF=AB+BF=6+2=8,

在Rt&FO中，由勾股定理，得0A=JAF2+OF2=#82+22=2«7,

Z.AP=OA-OP=2717-2yfZAPQ=72AP=°2^/17-=2网-4,故答案为：2臼-4.

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出AP取最

小值的点P位置是解题的关键.

域8（2023下陕西西安九年级校考阶段练习）问题提出：

⑴如图①，在AABC中，AB=AC,4AC=120°,BC=46,则AB的长为；

问题探究：⑵如图②，已知矩形ABCD,AB=4,BC=5,点P是矩形ABCD内一点，且满足4PB=

90°,连接CP,求线段CP的最小值；

问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD//BC,AD=

40m,BC=60m，点E为CD边上一点，且CEDE=1:2,4EB=60°,为了美化环境，要求四边形

ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值.

图1图2图3

【答案】⑴4；（2）^29-2；（3）2000^m2

【分析】⑴作AH±BC于点H，利用等腰三角形的性质可得ZB=30°,BH=2』,然后利用锐角三角函

数的知识可求得AB的长；（2）由题意可知，点P在以AB为直径，以AB的中点。为圆心的圆上运动，当

0,P,C共线时，线段CP的值最小，利用勾股定理求出0C的长即可求解；（3）延长AE、BC，相交于点

F.由△:EFS/^EA，求出CF=20m，作EG//AD交AB于点G，作AN±BC于点N，交EG于点M,

可得MNAM=1:2,设MN=x,AM=2x,求出S=丁S0.,所以当&EF的面积最大时，绿化区

梯形ABCD4/SEP

域ABCD的面积最大，求出BEF的面积即可求解.

【详解】⑴如图1,作AHXBC于点H.

图1图2

,ZAB=AC,zBAC=120°,BC=4代=30°,BH=；BC=2G.

VcosB=B-,,-.AB=空•=4.故答案为：4；

AB瓜

2

⑵如图2,：4PB=90°,.•.点P在以AB为直径，以AB的中点。为圆心的圆上运动，当0,P,C共线

时，线段CP的值最小.,ZAB=4,AOB=yAB=2,AOC=,52+2z=J29，

，段CP的值最小值=网-2；

⑶如图3,延长AE、BC，相交于点F.

cpCP

VAD〃BC,・・・"EFS/^DEA,土,

ADDE

VCEBE=1:2,AD=40m,ACF=20m,.\BF=60+20=80m.

作EG〃AD交AB于点G,作AN±BC于点N,交EG于点M,

「AD//BC,/.AD//EG〃BC,VCEDE=1:2,.,.MNAM=1:2,设MN=x,AM=2x,

1115

贝IJS=±X40+603x=150x,S=X80x=40x,.'.S=22_S

梯形ABCD2及EF2梯形ABCD4BEF

，当ZBEF的面积最大时，绿化区域ABCD的面积最大.

当E在BF的中点时，dBEF的面积最大.

连接BE,FE,0E,0E交BF于点H，则BH=FH=4BF=40m.

ZAEB=60°,.\ZBEF=zBEF=120°,AZEBH=30°.

Vtan30°=*，；.EH=卑X40=当巴n,

Dnoo

.1\z40</31600^/3.15e

・・SQ=—XVQ80nX—J：—=-------2—m2,...s二—QS=o2n0n0n0^m2.

BEF233梯形ABCD4Z^BEFv

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质,

勾股定理等知识，难度较大，属中考压轴题.

课后专项训练

I'[1（2023安徽合肥校考一模）如图，在9BC中，4=45。,AC=2,以AC为边作等腰直角MCD

连BD，则BD的最大值是（）

A.jio-yfxB.1yiu+C.2/1D.+JI

【答案】D

【分析】如图所示，以AC为斜边，在AC右侧作等腰直角加0C，过点。作0E1AD交DA延长线于E,

连接OD，则ZA0C=90°,0C=0A=疙，zdDAC=45°,先证明点B在以0为圆心，嫄为半径的圆周上

运动（AB右侧），故当点0在线段BD上时，BD最大,再求出0E,DE的长，进而利用勾股定理求出0D的

长即可得到答案.

【详解】解:如图所示，以AC为斜边，在AC右侧作等腰直角90C，过点。作0E±AD交DA延长线于

E，连接OD,Az^OC=90°,0C=0A=乎AC=国,⑷AC=45°,

V^BC=45°,.•.点B在以0为圆心，为半径的圆周上运动（AB右侧），

二当点0在线段BD上时，BD最大，：&CD是以AC为边的等腰直角三角形，

，4AD=90°,AD=AC=2,...ZDAE=45°,A^AOE是等腰直角三角形，

Z.AE=0E=与0卜=1,；.DE=AE+AD=3,在RtA）OE中，由勾股定理得OD=JOE2+DE2=

g

ABD的最大值=DO+B0=JTO+故选D.

【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理,等腰直角三角形的性质与判

定,正确作出辅助线确定，序的轨迹是解题的关键.

（2023春广东九年级专题练习已知:如图，在MBC中，4AC=30。,BC=4,9BC面积的最

大值是（）.

A

B.8Q+4C.88D.8+8y/3

【答案】A

【分析】作&BC的外接圆。0,连接OB,0C，当&BC的BC边上的高经过点。时，&BC面积的最

大，此时&BC是等边三角形，进而即可求解.

【详解】解:作&BC的外接圆。0,连接OB,0C，当&BC的BC边上的高经过点0时，&VBC面积的

最大，如图，过点。作0DXBC，并延长D0交。0于点A,连接AB，AC，

VZBAC=30°,/.ZBOC=60°,VOB=0C,Z.ZDBC是等边三角形，

ZBOD=30°,0B=0A=BC=4,.\0D=2串,AS=X4X4+2率=8+4—,故选A.

△ABC2

【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，找出&BC面积的最大时点A的

位置时关键.

［题目|3（2022秋江苏扬州九年级校考阶段练习）如图，A是。B上任意一点，点C在。B外，已知AB=2,

BC=4,MCD是等边三角形，则西CD的面积的最大值为（）

C.4囚+8D.6

【答案】A

【分析】以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，证明凶1CM四&CB得到DM=AB=2,分析出

点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，在求出点D到线段BC的最大距离,即可求出面积

的最大值.

【详解】解:如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM

,/zd)CA=zMCB=60°,/.ZDCA-ZACM=zMCB-z^CM，即zDCM=ZACB,

DC=AC

在&CM和&CB中，4CM=4CB，，加CMgMCBSAS,Z.DM=AB=2,

MC=BC

.•.点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，要使NCD的面积最大，则求出点D到线段BC

的最大距离，：西CM是边长为4的等边三角形，.•.点M到BC的距离为2g,

.•.点D到BC的最大距离为2JI+2,；.&CD的面积最大值是9><4义2/J+2=4—+4,故选A.

【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题,解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再

求出圆上一点到定线段距离的最大值.

〔题目|4；（2023山东济南一模）正方形ABCD中，AB=4,点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足

DE=CF,DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角&HG使得4HG=90°,连接

BH.则BH的最小值为（）

-r

A.25/5"-2B.2^/5,+2C.%/TU1LD.%/TU+yfZ

【答案】c

【分析】首先证明4GD=90°,从而0G=AAD=2,再根据/DAG=ZHAM，可求MH=可知点H

的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值.

【详解】解:如图，取AD中点0,连接0G，以A0为斜边作等腰直角三角形A0M,

则AM二乎AO=。，在AADE和/^CF中，

AD二CD

4DE=ZDCF,・・.AADE2勾CF（SAS）,AZDAG=ZCDF,

DE二CF

VZADG+zCDF=90°,AZADG+ZDAG=90°,AZAGD=90°,

&DG是直角三角形，・・・0G=^AD=2,・・・&HG为等腰直角三角形，

zDAG+4AM=zHAM+4AM,AzDAG=ZHAM,

又丁祟二S-二彩,S&OG，，去二殍，「.MH=V2,

AbUA乙UU乙

点H的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，

如图，连接BM，交圆M于H，过点M作MP±AB于点P,

,/ZDAE+ZBAH=45°,zDAG=©AH,

.♦.々AM=41AH+ZBAH=45°,A^APM为等腰直角三角形，

,/AM=平,；.AP=MP=亭X>/7=1,.,.BP=4-1=3,

在RtZBPM中，BM=、/BP2+PM2=J10,；.BH=BM-MH=%/10-平.

/.BH的最小值为JIU-平.故选：C.

【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线,利用三角形相似以及点和圆的知识解决.

【题目|5.（2023上江苏连云港九年级统考期中）如图,在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4〃>^^是风边

上一动点（点P不与点B,C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值

为.

【答案】2

【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质,矩形的性质.连接AM，得到AM=AB=3,

进而得到点M在以点A为圆心，3为半径的圆上，当A,M,C三点共线时，线段CM的长度最小,求出此

时CM的长度即可.解题的关键是确定点M的运动轨迹.

【详解】解:连接AM，:点B和M关于AP对称，，AB=AM=3,

在以A圆心，3为半径的圆上，，当A,M,C三点共线时，CM最短，

,/AC=y/3^=5,AM=AB=3,ACM=5-3=2,故答案为：2.

IE目6（2023春广东深圳九年级专题练习）如图，点G是&BC内的一点，且/BGC120°,9CF是等

边三角形，若BC=3,则FG的最大值为

【答案】2遮

【分析】如图，作西FC的外接圆。0,连接0G,OF,0C，过点。作OHJLCF于点H.说明B,F,C,G

四点共圆，求出OF，利用三角形三边关系可得结论.

【详解】解:如图，作西FC的外接圆。0,连接0G,OF,0C，过点。作OH±CF于点H.

V^CF是等边三角形，

ZBFC=ZFBC=60",CB=CF=3,

,/ZBGC=120°,

.•.点G在NCF的外接圆上，

.".0G=OF=0C,

V0H±CF,.・・FH=CH二

VZF0C=2ZFBC=120°,

ZDFC=A)CF=30°,

VFGW0F+0G=2/L/.FG的最大值为20.故答案为：2四・

【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形,圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，构造辅助圆解决问题,属于中考常考题型.

题目|7（2023江苏泰州九年级专题练习）如图,在矩形ABCD中，AD=10,AB=16,P为CD的中点，连

接BP.在矩形ABCD外部找一点E,使得/BEC+/BPC=180。,则线段DE的最大值为.

13

【分析】以BP的中点0为圆心，OB为半径画圆,可得所画圆是RtNCP的外接圆，弦BC右侧圆弧上任意

一点E与BC构成的ZBEC，使得四边形BPCE是圆内接四边形，，可得4EC+ZBPC=180°,连接DO

并延长与圆的交点即为DE的最长距离，作OH±DC于点H,OH是NBC的中位线，，根据勾股定理求

出0P和0