高等数学复习题资料(附答案)

高等数学复习题

一、选择题

1、已知函数/(%)=万金+arctan(x—2),则函数/(x)的定义域为()

①(—1,2),②(—1,3],③[1,2],④(―*2].

2、已知函数/(x)的定义域为[0,1],则函数二I)的定义域为(

①(—8,2],②(1,2),③[0,1],④[1,2].

3、己知函数/(x)=arcsin|x—l|,则函数/(x)的定义域为()

①[-1,1],②(-1,1],③(0,2),@[0,2].

7T

4、limxsin—=()

8%

①1②万③不存在④0

5、下列函数中为奇函数的是

+e~x

①logfl(龙+，尤2+1),②------，③cosx,④2”.

2

6、下列函数中是相同函数的是()

X

①/(X)=二,g(x)=1②/(%)=%X，-X3,g(x)=间x-l

X

③f(x)=x,g(x)=«)2④/(x)=lgx2,g(x)=21gx

sin3x

7、lim------=(

10X

①1②2③3@co

8、lim(i+2x》=

x->0

①e*②e?,③亚，④+8.

9、Jimarcsinx=

、x

①0,②1,③2,④不存在.

(2V

10、liml+~=

X—>00\X)

①2,②ez,③四,(4)+oo.

Iklim2x—4

)

%-gx+3%+10

①0,②1,③2,④不存在.

(2+/

12、lim

X->001X)

①/2,②e2,③四,④+co.

13、

X—>00X)

①0,②1,③2,④不存在.

14、lim。+2x):)

%—0

1

①e一2,②e③四,@+00.

15、当尤―0时，下列函数为无穷小量的是()

„sinx②春"@-ln(x+l)

©---@1+—

xXX龙

16、当％―0时，与tan2x等价的无穷小量是)

①-x,②x,③2x,@x2.

17、下列函数在指定变化趋势下是无穷小量的是)

①1,②Inx,xfCT,③co,④—+co.

18、下列函数在指定变化趋势下不是无穷小量的是)

①lnx,xf1,②cosx,尤.0,③sin《，xfoo,④,Xf+CO.

19、当x-0时，与sin2x等价的无穷小量是)

①一x,②x,③2x,④一.

x,x<0

20、点x=0是函数/(%)=<的()

ex-l,x>0

①连续点②可去间断点

③第二类间断点④第一类间断点，但不是可去间断点

X=6ZCOSZ,八

21、函数y=/(x)由参数方程＜.”0,则能=()

y=asmt

①一sin，②tant③一cot%④sec/

22、设y=e>,则t=(

①&Cdx,②—dx,③④

i4x

23、设y=e则设=

--1-1-

@exdx,②一7e*dx,③一7e*dx,@--e^dx

xxx

24、设〉=$m2羽则dy=

①2sinxcosx②2cosxdx2sinxdx@sin2%6Zx

25、设函数f(x)=|x|则在x=0点处)

①不连续，②连续但左右导数均不存在，③连续且可导，④连续但不可导.

26、设函数/(x)=cos|x|则在x=0点处(

①不连续，②连续但左右导数均不存在，③连续且可导，④连续但不可导.

27、设函数/(x)=W，则/(x)在点x=0处()

①可导②不连续

③连续，但不可导④可微

尤2+［V<*1

28、设/(%)='则/(x)在产1处.........................()

3x-l,x>l

①既可导又连续②可导但不连续③不连续也不可导④连续但不可导

29>函数y=sin%,则=()

①cos%②一cosx③sinx④一sin%

30、曲线y=2/+3x—26在点(3,1)处的切线的斜率左=()

①3②1③15④0

31、设/(X。)存在，则lim"Xo+2")—/@)=..................()

力-oh

①/'(%)②③2/'(x°j)④2/(%)

32.设函数/(x)=d,则在尤=0是函数的()

①驻点与极值点；②不是驻点与极值点；③极值点；④驻点.

33、设函数〃光)区间［0,1］满足罗尔定理的是()

2xx<0.5

①/(x)=|x-0.5|.②/(%)=«③/(x)=sin(笈)，④/(x)=x

2x-2x>0.5?

34、设函数“力在％的则/(%)在/()

①一定取极大值②一定取极小值③一定不取极值④极值情况不确定

35、设函数/(%)在/处具有二阶导数，且((%)=0,/"(%0)<0,则/(%)为

①最小值②极小值③最大值④极大值

36、d[^F\x)dx\=

①方'(x)dx,②方(%),③/⑴公，(4).Fr(x)

37、设sinx是/(%)的一个原函数，则］</(%)小=()

①sinx+C②cosx+C

③sinx+cosx+C@xsinx+C

)

2

©arcsinx+C,②Ji——+c,③-26一胃2+C,@—arcsinx+C

2

r2x

39、J1+x2dx=()

②'arctan/+。，③/+。，(4)ln(l+x2)+C

@arctanx+C,

2

40、下列函数中，为)=2(/%—/2%)的原函数的是....................()

①e2x-g-2x②g(e2,—e-2，)③@|(e2x+^)

41、0---------

Jix(l+lnx)dx=()

①ln2+l②In2+C③2④M2

42、备J：/(x)dx=()

①于出)~/(«)②-于(a)③f(b)@0

43、%(xsinxdx=()

①xsinx②0③2④3

44、今]：f(x)dx=()

①于出)一于(a),②的，③—/(。)，④0.

二、填空题

1、若/'(x)的定义域为(-8,0),则/'(Inx)的定义域为；

2、)知函数/(%)=/1，则函数/(%)的定义域为___________________0

V9-x2

3、若/。心(⑴了则〃x)=;

XX

4、已知函数/(%-1)=/—2%，则函数/(%)=

5、已知函数/(cos%)=sin?%+2,贝U函数/(%)=。

7、曲线)=2犬2+3%—26在点(3,1)处的切线的斜率左=L

8、设/(x)=x(x+l)(x+2)，则/'(—1)=1

9、设y=/(cos%),/(〃)可导，则办二-------------------------------------

［2

10、设y=esmx,求筌L

11、设/(%)=<e*""一°，在尤=0处可导，则a=_________;

sinax,x>0

⑵设则严［_ro

13、曲线y="+2%在40处的切线方程为o

lim/(*。-3»/(/)_

14、式X)在点X0处可导且/(%)=!，贝|〜。"~O

15、用微分作近似计算时，A/1.003«o

16、函数/(x)=/+2x—3在［—1,2］上满足拉格朗日中值定理的hL

17、函数y=x+Vl-x的极大值为-

19、lim*____________________________________________________________。

X—>400X，

20>已知函数/(%)=Qsinx+sin2x在X=手处取得极值，贝!1〃=

21、若jf(x)dx=xex+c,贝妤(x)=__________________________________________

22>若J/(九)公="+C，贝叶(%)=__________________________________________

25、jinxdx=_______________________________________

r2x+3

26、­--------ax=__________________________________o

Jx2+3x+l

“、审%3；

r+0°1,

28、I—-dx—；

Ji%2

29、I(x)=£sintdt,贝亚'(%)=1

30、在［0,2»］上曲线y=sin%与x轴所围成的图形的面积为L

31、j(|x|+arcsinx)dx=_________________________________

32、若&f=sin(%2),贝旷(x)=.

33、已知某物体作直线运动速度为v(t)=3t2,则物体在t=0到t=2时间段内的平均速度

v=

(1x2sinxcosx+Vx,

----------dx

t1+x2

35、lim

%fo

三、计算题

X—COS?TC

2、求曲线4上对应f=一点处的切线方程和法线方程.

y=sin/4

3、设y=xA(x>0),求dy

2-i-r\

4、设/(%)=%—x其中为常数°,b,/''(2)存在，求a,b,/''(2)的值

ax+bx<2

5、设方程<':‘in'，确定函数丁=丁⑴,求半冗.

y—ecostdx仁彳

6、已知函数y=ike+%山％+以九万求y'。

7、已知函数y=(1+x2)arctanx-xlnx求y。

8、已知函数y=}xy/l-x2+1arcsinx求y'。

9、计算由方程/=x2-2y+1确定的隐函数y=y(x)的二阶导数。

10、确定函数/(%)=2X3-9X2+12%—3的单调区间与极值。

n、求函数y=x2e-x的极值.

12、

13、

求积分f(T=+W^)dx

14、

Jy/l-e2xsecx+1

-1V2

15、求积分------+——-)dx

JVx(l+x)1+X2

16、幻%2+arcsinx)dx

17、

X+2

18、求定积分［4-.dx.

JoJ2x+1

35

19、求定积分fVsinx-sinxdx.

Jo

冗________

20、求定积分V1-sin2xcbc.

求定积分工ln(/+l)dx

21、

22、求定积分cos?xdx

23、求定积分10号入

四、应用题与证明题

1、由曲线y=Inx,x=e与y=0所围成的平面图形的面积A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的

体积V.

2、求由曲线y=x2与直线x=l,x=2,y=0所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

3、抛物线y=/及直线y=x+2所围图形的面积.

4、求由曲线/="与直线y=》-2所围成的平面图形的面积

5、计算曲线y=/与直线％=1,y=0所围成的平面图形绕因轴旋转而成的立体体积。

6、计算曲线y=/与直线y=1所围成的平面图形绕y轴旋转而成的立体体积。

7、求曲线丁=’和直线y=4x,x=Ly=0围成的平面图形(曲线下方)的面积。

X

8、求由y=sinx,x=O及x=»所围图形的面积以及该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体

积。

9、铁皮做成一个容积为匕的有盖圆柱形匣子,怎样做才能使所用铁皮最少

10、某工厂生产某产品x个单位的总成本为C(x)=5x+200(元)，总收入为7?(%)=15%-(LOL?。

问生产多少单位产品才能获得最大利润？其最大利润为多少？。

Y

11、证明：----<ln(l+%)<x,(x>0)

1+x

12、

求证：J。V(sin%)公=—JQ/(sinx)Jx.。

求/(x)=x-2arctanx的极值，并讨论方程九-2arctan%=。的实根个数。

14、证明方程—1=0在［0,1］内至少有一个实根。

高等数学复习题参考答案

一、选择题

1-10、④④④②①②③②②②11-20、③②①②②③①②③①

21-30、③③③④④③③④③③31-40、④④③④④①①③④③

41-45、④②②②①

二、填空题

1、(0,1)2、园＜33、(1+%)24、Pi5、3-炉6、17、158、-19、

-f'(cos%)siiu必：10、(cos2x-sinr)esinx11、2,-112、(-2)nn!13、y=3%+l

14、-115、1.00116、1/217、5/418、119、020、-孚21、

er(x+l)22、ex23、-xe~x-e~x+C24、arctanx+C25、xlnx-x+C

26、ln|x2+3x+l|+C27、1/328、129、sinx30、431、1

32、ZxcosC%2)33、434、035、*

三、计算题

1、设了=/-：,、=工产+lnf,求包

t2dxdf

解：包X,工E

dxdx21+t2

x=costn

2、求曲线4上对应，二一点处的切线方程和法线方程.

y=sin%4

解.V2.V2dycosr,

用午•x=cosr万=——,y=sinr万=——＞—,=-----订二-1，

F2F2dx/=-sinfF

从而得切线方程为：k变)或＞=—X+J5,法线方程为：/_5=(工_4)或丁=北

3、设y=x"(x＞。),求力

解：在方程y=%”两边同时取对数得

Iny=xlnx

同时对无求导得——=Inx+1,/.dy=xx\\nx+X\dx.

ydx

2-i-r\

4、设/(%)=%—x其中为常数°,b,/''(2)存在，求a,b,/''(2)的值

ax+bx<2

解：〃=4力=-5,/'(2)=4

5、设方程＜'确定函数丁=y(x),求半冗

y—ecostdx仁彳

dy_elcost—elsint

解:您3£，电=$痒2.

dxefsin%+dcostsm?+cosZdx<=f1+V3

6、已知函数=g3v-cosv+xlnX+COS71求y'。

解：y"=[e3v-cosx+xlnx+cos7r]r=(e3x~cosx)r+(xlnx)r

ixcosx

—e~(3%—cosx)'+x(lnX)'+x'Inx

=e3%-COST(3+sinx)+l+lnx

7、已知函数j=(1+x2)arctanx-xlnx求y'。

解：V=[(1+]?)arctanx—xlnx]r=[(1+x~)arctanx\-[xlnx]'

—(X+x1)'arctanx+(1+x2)(arctanx)'—In%—x(lnx)'

=2xarctanx-Inx

8、已知函数y=|Wl-x2+1arcsinA：求y'。

解：y'=GxJl-尤2+1arcsinx)'=(yx\1—x2)f+(4arcsinx)f

9、计算由方程V=必-2y+l确定的隐函数y=y(x)的二阶导数。

解.x/y，_]+y_y'x_(i+yy_2

y=Qy(1+y)3

10、确定函数/(x)=2——9/+12x—3的单调区间与极值。

解：函数的定义域为(—8,+◎，/'(x)=6——18x+12=6(x—2)(x—l),

令广。)=0,即解6(x—2)(x—1)=0,得出它的两个根玉=1,々=2.

(-8,1)1(1,2)2(2,+co)

+0—0+

/(X)/21/

即函数在(-00,1］和［2,内)上单调增加，在［1,2］上单调减少.x=l极大值点，极大值

/(1)=2；%=2为极小值点，极大值x=1,/(2)=1

11、求函数y=x2e-x的极值.

解：y'=xe~x(2-x),令y'=0nx=0,x=2,列表讨论：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+oo)

y'一+一

y\极小/极大\

x=0为极小值点，极小值为f(0)=0,x=2为极大值点，极大值为/(2)=4e-2

12、求积分jxsin3xdx。

解:[xsin3xJx=--[%<7cos3x=--cos3x+—[X1

JJcos3Azzx=——cos3x+—sm3x+c

J33339

13、求积分idx.

J7i+%

解：令Jx+1=1,贝卜=12-l,dx=2tdt,

x,3

•2tdt=2J(产—V)dt=2(——力+c=2(-A/1+x)+c

A/1+X3

x

14、求积分"esecxtanx

I:H---------5-------)dx

2x

yli-esecx+1

解：J(-e+secxtanxsecxtanx

)dx=J=dx+dx

l-e2xsec2x+1y/l—e,2xsec2x+1

dex"sec%=arcsinex+arctan(secx)+C

Ju+sec2x+1

1x1

15、)dx

+2

Vx(l+x)1+X

1x21x1

)dx=jdx+dx

+2

Vx(l+x)1+XVx(l+x)1+x2

=2——-——d4x+Xdx=2arctanVx+x-arctanx+C

(1+x)1+x2

I+arcsinx)dx

16、,%2

xX

'2+arcsin%)dx=[zdx+[arcsin^zZx

1+x2

解:

X7.

/.ox+xarcsinx—Jxt/arcsinx=xarcsinx+C

V1-x1

17、

解：令冗=行sin1,

於_______兀_________________________71

2

1--叵costdt=22COS^=f

求定积分厂等%c.

18、

JoJ2x+1

_____(2_]

解:令J2%+1=t,x=-----,dx=tdt.

2

「4X+2.1「32i22

—,~dx—11(1+3)力——

M岳ZT2J13

求定积分35xdx.

19、f7sinx-sin

Jo

35

解：[7sinx-sinxdx=sin2xcosxkZx

Jo

度3

=sin2x(i(sinx)-

Jo

2

71

20、求定积分-sin2xdx.

冗_______________________冗冗_

解：J：A/1—sin2xdx=Jj(cos—sinx)dx=(sinx+cosx)Q=—1.

21、求定积分(ln(%2+1)公

22

解:£ln(x+V)dx=xln(x

1

=In2—[2x-2arctanx]|=ln2-2+f

0

22>求定积分4xcos2Mx

解：j4xcos2xdx=£2x(1-cos2x)dx=£2xdx+£2xcos2xdx

=x2|Q+£x6?sin2x=1+xsin2x-£sin2xt/x

=0.5+sin2+0.5cos2

p4

23、求定积分J。际公

解：设/=五,

广21c广22t:2:21°

原式=J—dt2=J—dt=21力—2jdt=2/|--21n(l+0Ioo=4-21n3

°1It°1It°°1It

四、应用题与证明题

1、

2、由曲线y=Inx,x=e与y=0所围成的平面图形的面积A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的

体积V.

解:A=[lnxdx=xln=1；

V=1J：y2dx=乃『In2xdx=1[xln2一2『lnxdx]=—2]

3、

4、求由曲线y=N与直线％=1,%=2,y=。所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

解,V=若y2dx=;r^x4dx=g%

5、抛物线>=必及直线y=x+2所围图形的面积.

解：y=必及y=X+2得交点坐标(-1』),(2,4),

22

面积力=JJX+2-X)<4C=^^-+2JC-^-^|!1=-|.

6、求由曲线_/=X与直线y=尤-2所围成的平面图形的面积

解：解方程组[V=尤得，X]—1%2=4

^y=x-2=T丫2=2

取y为积分变量得积分区间为[-1,2]

-2

22

dA-(y+2-y)dy,A=J|(y+2-y)dy-y

7、计算曲线y=/与直线x=l,y=0所围成的平面图形绕由轴旋转而成的立体体积。

解：以x为积分变量,则体积微元dV=至4dx

积分区间为。1]v=['TlX^dx--

Jo5

8、计算曲线y=/与直线y=1所围成的平面图形绕y轴旋转而成的立体体积。

解：以y为积分变量,则体积微元dV=7iydy

积分区间为[0,1]V=J7iydy-

9、求曲线y和直线y=4x,x=l,y=0围成的平面图形(曲线下方)的面积。

X

解:解方程组：,=以得了=工，面积为：

(2

[y=4x

r—rl1

2

S=14xdx+\i—dx

2%

2iI1

=2x飞+111x11=-+ln2