高三数学一轮复习：直线与椭圆(二)专项训练

直线与椭圆(二)

1.已知椭圆C：a+篇=的禺心率为?，左、右顶点分别是Ai,A2)

上顶点为3(0,b),△445的面积等于2.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设点Q(l,0),尸(4,m),直线刑以2分别交椭圆C于点跖N,证明：M,

Q,N三点共线.

22

2.已知斜率为左的直线/与椭圆C：2+—=1交于A，3两点，线段AB的中

63

点、为M(n,m).

(1)若〃=1,m=—l,求人的值；

(2)若线段AB的垂直平分线交》轴于点尸(0,-1),且以为=4|PM，求直线/的

方程.

3.已知椭圆G：?+*l(a>b>0)的离心率为今且过点(3,1).

(1)求椭圆G的方程；

⑵斜率为1的直线/与椭圆G交于A,3两点，以A3为底边作等腰三角形，顶

点为P(—3,2),求△必3的面积.

22

4.已知椭圆C：^+^=l(a>b>0),过左焦点网一圾0)作倾斜角为a的直线

/交椭圆C于A,3两点.当直线/的倾斜角为三时，\AF\=7\BF].

6

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)点0为坐标原点，求△043面积的最大值，并求此时直线I的方程.

参考答案

[A组在基础中考查学科功底]

1.解：(1)由离心率为孚得,①

由△AuUB的面积为2得，ab=2.②

又。2=庐+°2,③

联立①②③解得，a=2,b=l,

・,・椭圆C的方程为"+y2=l.

(2)1己点N的坐标分别为M(xi,yi),N(xi,yi).

2

又Ai(—2,0),.•.直线Rh的方程为y=诙(x+2),与椭圆方程土+V=1联立并整

64

理得(川+9)x2+4m2x+4m2—36=0,

由—2+x尸黑得x尸号著，

代入直线以1的方程得V=恐

即“5

同理可得N(若，含

因为。(1,0),所以丽=(三誓

Jm2+9/JVW+l'm2+l.

,9-3m2-2mm2-36m

由许•知，M,Q,N三点共线.

m2+lm2+lm2+9

直+欧=1,

2.解:(1)由题设623'作差可得

茎+也=1,

.63

以一好十/一羽(久幺+久3)(久4一式8)十(y/+yB)(y4—yB)一0

6363

^A-XB一2(以一功)

又XA+XB~2n—2,yA+yB=2m——2,故,,所以左=维但=±

33XA-XB2

(2)由题意，直线/斜率一定存在，直线/为y=k(x—ri)+m,

若k=0,直线/:y=加且M(0,m),-V3<m<V3,此时中垂线PM与y轴重

合，

与题设中，垂直平分线与y轴交于P(0,—J矛盾，不满足题意；

若原0,由(1)知：金32=—2皿…),则左=维但=—2,

33x^—Xp2TH

则中垂线PM为y+]=M，6rwc-3ny~n=0,又M(〃，刈)在该直线上，

所以3机〃一〃=0,得〃=0或机=工，当〃=0时％=0,不满足题意，故加=工，

33

2

故k=~~~9即I：y=]一|九(九一〃)，与椭圆方程联立得—|n(x—n)j=6,

整理得

9(2+9/)f—18〃(2+9层)%+81/+36层一104=0,

81n4+36n2-104

所以XA-\-XB=2n,XAXB

9(2+9n2)

2

则|A5|=A/T+k2•+xB)—4XAXB

104-18?!2

=，4+9几2•------而PM=

18+81n2

由网=4|PM,得(4+9安：北9哈=8〃2+弓,

解得九=±|,所以/:y=l±x.

综上，直线/的方程为y=±x+l.

124

(2)设直线/的方程为y=x+m,

y=x+m,

联立方程，

—+—=1,

124

消去y得4%2+6胆+3/-12=0,①

J=36m2-16(3m2-12)>0,即一4VmV4.

3m2-12

XAXBXAXB=

.\+=——2-4-，

3mi八m

**yA~\~yB=XA~\~XB~\~2m■——+2m=—.

22

设〃为A3的中点，则〃(一誓，9，A3的中垂线的斜率上=—1,

：.AB的中垂线的方程为y—q=—(%+等)，即x+y+y=O,

将P(—3,2)代入得m=2,

・•・直线I的方程为y=x+2,即x~y+2=0,

此时方程①为《炉+葭元=。，解得X4=—3,XB=O,

yA=-1,ys=2,

・・・A(—3,-1),B(0,2),

A|AB|=3V2,

又•.•点P到直线/的距离6/='~3^+2|=—,

V22

.•.△出3的面积为：X|AB|Xd忖X3奁x

4.解：（1）当直线/的倾斜角为E时，^=tan—,

663

又直线/过网一百，0）,则直线/的方程为y=?（x+b）,x=V3v-V3,

联立Fl¥消去X,得（/+3。2»2—6/y+3〃一/。2=0,

+q'yN=殷廿，

则/=36/—4（3〃+层）©〃—〃2》2）=4〃2人2（屋+3Z?2—3）,

1人2o1,2_〃262

设A（xi,yi）,Bg,p）,可得下第=3匕，，

因为以用=7|5年,所以yi=-7”，

将其代入y+y2=———V2=--——VI=————

八〃।叩3b2+a29丁）3b2+a29尸3b2+a29

-b27b23b2-a2b2

3b2+a23b2+a23b2+a2

整理得16〃+3〃2—3〃2。2—〃4=0,

又b2=a2—c2=a2—3,

所以16（层-3）+3层一3〃（Q2—3）—〃4=o.

整理得o4一74+12=0,解得〃=4或次=3（舍去），

第2

所以官=次一3=4—3=1,故椭圆C的标准方程为丁+>2=1.

（2）由题意，显然直线/不平行于x轴，设直线/的方程为x=/>一百,

联立]""皆，消去x,得（/2+4）y2_2g/y_]=°，

I%2+4y2=4,

而/=12尸+4（尸+4）=16（尸+1）＞0,

又A（xi,yi）,3（x2,竺），则y1+"=普，yiy2=-^,

则M一”|=J