2024年广东汕头市高考数学二模模拟试卷试题（含答案）

汕头市2024届普通高考第二次模拟考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.抛物线炉=-16y的准线方程是（）

A.y=4B.y=8C.y=-8D.y=-4

2.（3+2%）"展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则〃的值为（）

A.8B.7C.6D.5

3.设xeR,贝卜x<0”是“In（x+l）<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

4.若实数。，〃满足且。+人=1,则下列四个数中最大的是（）

A.—B.aC.2abD.a?+

2

5.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小

球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1、2、3、4分别代

表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个

随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数

341332341144221132243331112

342241244342142431233214344

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（）

1125

A.一B.-C.—D.—

69918

6.已知两个等差数列2,6,10,202及2,8,14,....200,将这两个等差数列的公共

项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）

A.1678B.1666C.1472D.1460

7.己知三棱锥P—ABC的四个顶点都在球。的表面上，上4,平面ABC,AB±BC,且

PA=8,AC=6,则球。的表面积为（）

A.lCbrB.25TTC.50TTD.lOCbr

8.己知函数/（九）=加=hu-在区间（1,3）上单调递减，则实数a的最大值为（

1111

A.-B.——♦D

e3ev

二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某校高三年级选考生物科的学生共1000名,现将他们该科的一次考试分数转换为等级分,

已知等级分X的分数转换区间为［30,100］,若等级分X〜N（80,25）,则（）

参考数据：P（〃—cr<X<〃+cr）=0.6827；P（〃—2cr<XW〃+2cr）=0.9545；

P（/7-3cr<X<〃+3cr）=0.9973.

A.这次考试等级分的标准差为25

B.这次考试等级分超过80分的约有450人

C.这次考试等级分在［65,95］内的人数约为997

D.P（70<X<75）=0.1359

10.如图，函数/（X）=6tan（2x+[），9]<、的部分图象与坐标轴分别交于点。、E、

7T

F,且△。跖的面积为一，则（）

4

A.点。的纵坐标为1

B./（x）在］4总上单调递增

C.点是/（%）图象的一个对称中心

D./（力的图象可由y="anx的图象上各点的横坐标变为

（第10题图）

171

原来的一（纵坐标不变），再将图象向左平移一个单位得到

26

11.用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到

不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为2a时，若截面与轴

所成的角为夕，则截口曲线的离心率6=上叱.例如，当。=，时，e=l,由此知截口

cosa

曲线是抛物线.如图，圆锥SO中，M.N分别为S。、SO的中点，AB.为底面

的两条直径，且ABLCD、AB=4,SO=2.现用平面/截该圆锥，贝!I（）

屋若MNuy,则截口曲线为圆

（第11题图）

B.若7与SO所成的角为60。，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分

C.若M、A、Bey,则截口曲线为抛物线的一部分

D.若截口曲线是离心率为0的双曲线的一部分，则Oe7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分.

12.写出一个满足(l+i).zeR,且忖>2的复数z,z=.

13.己知直线x+y=a与圆x2+/=4交于A/B两点，且—,(。为

坐标原点)，则实数。的值为.

14.已知数列G：0,2,0,2,0,现按规则/：每个0都变为“2,0,2”，每个2都变为“0,

2,0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列G+1=/(5),左eN*,贝|J数列G

的项数为,设Q的所有项的和为S”，则邑“=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.

(I)^FSinAsinB+sirLBsinC+cos2B=l,C=——，求一的值;

4b

a2-b1_sin(A-B)

(2)求证:

c2sinC

16.(本小题满分15分)

设"是由满足下列条件的函数〃尤)构成的集合：①方程/(%)-%=0有实根;

②/(%)在定义域区间。上可导，且/'(%)满足0</'(x)<1.

⑴判断g(x)=]—竽+3,无e(l,+8)是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2)设函数/(%)为集合/中的任意一个元素，证明：对其定义域区间。中的任意a、

夕，都有卜㈤-〃⑶闫a-风

17.(本小题满分15分)

2023年，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%,中国成为世界第一大汽车出口

国.某汽车城统计新能源汽车从某天开始连续的营业天数》与销售总量y(单位：辆)，采集

了一组共20对数据，并计算得到回归方程y=0.67x+54.90,且这组数据中，连续的营业

天数x的方差s；=200,销售总量y的方差£=90.

(1)求样本相关系数厂，并刻画y与x的相关程度；

(2)在这组数据中，若连续的营业天数x满足2.2x104,试推算销售总量y的

平均数y.

附：经验回归方程y=其中人=,a=y-bx.

El-x

样本相关系数r=际标2.236.

18.（本小题满分17分）

如图，矩形48。£>中，|/回=4,忸。|=2.

A、耳、人、不分别是矩形四条边的中点，设

OR=AOA1,4^=（1-^）AC（O<2<1）.

（1）证明：直线gR与52T的交点M在椭

圆K：-----Hy2=l上；

4-

（2）已知PQ为过椭圆K的右焦点R的弦，直线M0与椭圆K的另一交点为N,若

MN//PQ,试判断归。|、|舷小同阕是否成等比数列，请说明理由.

19.（本小题满分17分）

日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为

美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）

所示，并配上花结.

(A)（B）

（第19题图）

图（A）中，正四棱柱A3CO—4501。的底面ABCD是正方形，且AB=3,A&=L

（1）若AH=AE=B]E]=B[F]=CF=CG=DC[=[Hi=1,记点H关于平面

F/GGi的对称点为6,点H关于直线4G1的对称点为P2.

（i）求线段期的长；

（ii）求直线《鸟与平面ABC。所成角的正弦值.

（2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更

节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，止匕时AH、AE,与片、B£、CF、

CG、Dg、2Hl这8条线段可能长短不一）

数学参考答案

题号1234567891011

答案ACBDDBDCCDABCBCD

1•【解析】

抛物线焦点在y轴负半轴，且^=4,故准线方程为y=4.

2•【解析】

由二项展开式性质知，〃为偶数，且,+1=4,故〃=6.

2

3•【解析】

ln(x+l)<OoO<x+l<lo—1<尤<0,故光<0是ln(x+l)<0的必要不充分条件.

4.【解析】

1(II)]

9：Q<a<b,.\l=a+b>2a,即a</；2ab<2x]——I,

/+/2=口,当且仅当a=b时,取等号，故/+〃最大.

22

5•【解析】

18组数据中，只有221、132、112、241、142表示恰好抽取三次就停止，故概率为名•

18

6.【解析】

第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,故公共项按从小到大的顺序组成一个等差

数列，且首项为2,公差是4和6的最小公倍数12,其通项公式为12w-10.

-11-11去

令12〃—10W200,得〃W17,从而=17x2+xl2=1666.

2

7.【解析】

依题意，三棱锥P-A5C为“鳖膈”，从而其最长的棱PC为外接球直径，进而由尸。=10

得：球0的表面积为S=万・PC3=I。。万.

8.【解析】

依题意，r(x)=ae'—在区间(1,3)上恒成立，即

xxex

令g(x)=A，则且，(1)=若"『，

又xe(l,3),所以g'(x)<0,从而g(x)=」一在(1,3)为减函数，(也可由丫=工、y=—

xexxex

在(1,3)上都递减，且函数值均为正，得8(%)=’在(1,3)上递减)

xex

进而g(x)>g⑶=Jy，所以

3e3e

9•【解析】

由题设，均值〃=80,方差。2=25,所以标准差为5,故A错误;

产(X>80)=0.5,所以1000x0.5=500人，故B错误；

P(65<X<95)=P(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973,贝U1000x0.9973笈997人，故C

正确；

P(〃-2cr<X<〃+2cr)-P(〃-<7<X<〃+cr)

P(70<XW75)==0.1359，故

2

D正确.

10.【解析】

由T=W得|ER|=W，又SADEF=g|Eb|"OD|=£」OD|=£，从而|8|=1，故A正

确；

令x=0得tan°=又|夕|〈三，从而夕=工.故/(x)=J^tan(2x+工]

J26<6J

当时，2x+ge[-而y=tanx[-上递增，故B正确；

由=J^tan%=0知，C正确；

依题意，y=Ktanx的图象上各点的横坐标变为原来的工(纵坐标不变)，得到曲线

-2

y=6tan2x,再将图象向左平移看个单位，得到曲线y=J^tan2、+胃]，故D错误.

1L【解析】

对于A：过的平面与底面不一定平行，故A错误；

JT|

对于B：易知NOSD=—,所以e=7<l,故B正确;

4V2

对于C：易知ABL平面S。，所以SQLAB,又SDLOM,从而平面跖W,

JT

进而了与S。所成的角为NSOM=j所以e=l,故C正确；

对于D：由小2=拒得cos,=1,尸=0,所以y〃OS.故D正确.

cosa

第n卷

题号121314

答案2-2i（答案不唯一）±2

53-、5-32"-1+1

12•【解析】

由（1—，）（1+，）=2,|1—，|=后知：可取z=a—出（4>血）

13.【解析】

由|万4+31|0A-0B|.知ZAOB=90°,故圆心0到直线x+y=a的距离d=卓厂，

即量=后,从而。=+2.

14•【解析】

因为G共5项，在/作用下，每个项都变为3个项，所以C“的项数是首项为5,公比为3

的等比数列，所以C“的项数为5・3"T；

根据变换规则，因为G中2比。少1个，所以。2中2比。多1个，以此类推，数列中

2比0多1个，所以S2,=(5-32"T—1)+2=5-32"-1+1.

15.【答案】

(1),/sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,/.sinB(sinA+sinC)=2sin2B(1分)

,/BG(0,7i),sinB^O,(2分)

/.sinA+sinC=2sinB,(3分)

故在AA5c中，由正弦定理得：a+c=2b,(4分)

在AABC中，由余弦定理得：c2=a1+b2-labcosC,(5分)

(2Z?—a)?=a?+Z??+（6分）

整理得：3b2=（4+叵）ab,（7分）

a_3_12-3V2

（8分）

b-4+V2-14

sin(A—3)sinAcosB-cosAsinB

⑵法一:（9分）

sinCsinC

a1+c2-b1_b1+c2-a2

------------------b..........---------

（11分）

2a2-lb1_cr-b1

（分）

-2^=—~•13

a2-b2a2-(a2+c2-2accosB)2acosB-c

（9分）

2sinAcosB-sinC_2sinAcosB-sin(A+B)

（11分）

sinCsinC

sinAcosB-cosAsinB_sin(A-B)

（13分）

sinCsinC

a2—b。sin2A-sin2B

法二:（9分）

si,n2C

c.A+BA-BA+B.A-B

(sinA+sin3)(sinA-sin8)zsin—cos---2cos—sin

2222(11分)

si,n2Csin2C

sin(A+B)sin(A-B)_sinCsin(A—B)_sin(A—B)

(13分)

sin-Csin2CsinC

16.【答案】

，/、111乙,八、

(l)vg(%)=---=-1一一,(1刀)

22x21x)

.•.当xe(l,+oo)时，g'(x)e[0,£|u(0,l),满足条件②；(3分)

XInx

令_F(九)=且(九)一]=—5———+3,xG(l,+oo),(4分)

5e2

则歹(e)=—万e+万〉。，F(eo2)=-^-+2<0,(6分)

厂（x）在［e,e2］上存在零点,

即方程g（x）—x=0有实数根，满足条件①,（7分）

综上可知，g（x）^M;（8分）

(2)不妨设£</7,

•.­故＞0,/（%）在D上单调递增,（10分）

.-./(«)</(/?)-即/(，)—/(*0.①（11分）

令h{x}=/(x)-x,（12分）

则〃（X）=/'（%）—1<0,/z（x）在£）上单调递减，（13分）

:即/（尸）一/（0）«力一。，②（14分）

由①②得：I/（a）-/（/?）\<\a-/3\.（15分）

说明：利用拉格朗日中值定理证明，不能给满分.

不妨设（9分）

由拉格朗日中值定理知：3^e（«,/7）,/，©/⑷-（色分）

a-p

•/VXGD,0</'（X）<1,0<<1,0<f（a）—"夕）<1,（11分）

a-p

9<1,即"…如

<1（12分）

a-P\a-[5\

^l/（«）-/（/?）l<l«-Z？l.（13分）

17.【答案】

20__20_

Za—x)(x—y)b-^C^-x)2

i=li=l

Z20Z（2分）

20_2202

Wa.-以£(%-y)2J£(X,.-X)J(X-^)

i=li=li=li=l

（4分）

=0.67x呼=0-67；2亚-0.9987,（6分）

V903

可以推断连续的营业天数与销售总量这两个变量正线性相关,（7分）

且相关程度很强.（8分）

120_120__2

⑵•••S：=京2区一x)2=­+x)（9分）

2Ui=i2x),=i

i/20_2020.

-2

X(10分)

；；

ZU1\/=1i==1l7i==1l

120_

1292

（11分）

=看7

=1100-?=200,（12分）

x=30,

而3=y-bx,从而y=bx+a=0.67x30+54.90=75.（15分）

18.【答案】

(1)设M(x,y),依题意，7?(22,0),7(2,1-2),4(0,—1),§2（0,1），则（2分）

直线与R的方程为y+l=^x,①

（3分）

24

直线82T的方程为y—1=—（九，②（4分）

1y

①X②得：y2—1=—即__+y2=1,（6分）

丫2

故直线B】R与B2T的交点M在椭圆K:亍+y2=1上；（7分）

（2）依题意，直线PQ、的斜率均不为零，故设直线PO的方程为％=阳+百，直线

的方程为x=2y,（9分）

匚2=1

由4y一得：（m2+4）y2+l^tny-1=0,

x=my+V3

2-V3m1

•,•%+%=——2~~7，%>2=-（11分）

〃r+4m2+4

2«m、4(1)_4(m2+1)

.'.IPQ\=Vl+m2I必-%1=&+病

、m2+4^(m2+4ym2+4

'-22

由JH+V=1得、=±^^,（14分）

Tm2+4

x-my

（15分）

IA41=4,,-.\MN\2=\PQ\\A4I.（16分）

即IPQ、I政vi、1441成等比数列.（17分）

19•【答案】

（1）⑴如图，以为原点，直线RA、QG，。。分别为X、y、Z轴，建立空间直角坐标系,

则”(2,0,1),Gt(0,1,0),耳(2,3,0),G(0,2,l),（1分）

HG=(-2,2,0),丽=(0,1,