【变量代换在数学探析中的应用探究4700字（论文）】

变量代换在数学分析中的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u11474变量代换在数学分析中的应用研究 1166961引言 1267102变量代换概述 282512.1变量代换法的定义 287712.2变量代换法的意义 2191242.3变量代换的分类 36923用变量代换计算极限 3204664用变量代换来计算积分 6115014.1变量代换在第一类换元积分中的应用 667974.4变量代换在不定积分中的应用 830495变量代换在多元函数微分中的应用 10290076总结 117197参考文献 12摘要：变量代换在很多数学问题中都有应用，涵盖了高数中的很多内容，例如变量代换可以应用在高等数学中的函数、微分、极限和积分等数学问题中，掌握这种数学方法是非常重要且必须的.在这篇文章中讨论了变量代换法在一些常见数学问题中的应用及一般计算方法，为更好的理解和学习变量代换法提供一些参考.关键词：极限；积分；变量代换；求导1引言变量代换法的核心部分就是将难以解决的问题转化成容易解决的问题.因其具有非常灵活及多样的特性，因此对于变量代换的应用可以简单也可以复杂，只要适合用这种解题方法就会大大提高计算的效率.其实变量代换也不是任意随便的替换掉式子中的内容，而是如果不代换掉没办法快速的解决问题，且代换的部分可以看做一个有机的整体，才将其进行代换掉，否则就没有代换掉的意义，也达不到代换掉的效果，一般是用一个简单的变量来代换掉某个复杂式子中的繁琐部分，在高中阶段其实已经有接触和使用变量代换法，高中阶段称为换元法，换元法即把某部分内容用其他数值代换，其实核心就是对于新元的构建和设置，即重新设置及构建一个变量，但是须注意的是代换必须是等量才可以代换，即使是不同的对象但是必须等量，即把复杂的代数式转化成简单的代数式，也可以理解为把问题从原本的繁琐对象转换成新的简单对象再进行计算.这样做的好处就是让复杂的问题变得简单容易处理，提高效率，把得到的代数式变得更加的标准化，如果不用变量代换是很难达到这样一个效果的.本篇文章将变量代换的基本原理，基础，运用方法，一般应用范围等多个方面进行阐述研究，将变量代换的核心思想理念及灵活应用方法技巧进行总结运用，为更多人学习理解变量代换法提供方向及学习技巧，带来整个思想上的启发，其次将变量代换法用于解决一些比较抽象难以理解的相关题目提高学生的思维广度，减轻学生学习高等数学的压力，不断提高其解题的速度及解题技巧能力，例如将变量代换的方法运用于计算极限和积分，也让学生学会将变量代换这种思维方法运用到数学以外的其他领域，提高个人的学习及解决问题的能力.2变量代换概述2.1变量代换法的定义变量代换顾名思义即把某些结构较为复杂的部分引入一些新的变量将其进行替换，一般运用于繁琐、复杂、抽象的数学相关问题，之所以进行替换是因为原来的结构太过于复杂不利于计算，只有经过替换才能将原来的复杂问题简单化，这样可以减轻解决问题的工作量及难度，其实变量代换的数学思想运用很广泛，只是应用在不同的数学领域有不同的定义【1】.2.2变量代换法的意义变量代换是一种十分受数学学习研究者欢迎和喜爱的数学解题方法，应用相当广泛，只要满足一定条件就可以使用，可以很明显的降低解题难度，提高解题效率，尤其是遇到一些复杂的不等式题目如果不用这种解题方法可能耗费大量时间也不一定解决好，但是要注意的是有必要使用变量代换的时候才用，否则就不能达到简化解题的目的，运用变量代换方法之后可以将题目中隐含的条件体现出来，能够提供更多的解题思路，提高解题准确度及解题速度，例如在解决不等式相关数学问题时，为了让复杂的三角函数问题更好理解及计算简单，一般采用增量代换及三角代换方法，又比如倒数代换这种方法是解决极限问题的最好帮手，能够让求解的过程变得容易许多，其次在一重、二重、三重积分中变量代换都是其题目解决的最常用方法，无论是稍微复杂的问题还是非常复杂的数学问题只要方法得当就可以大大提高其计算效率，变量代换这一重要数学方法在整个数学问题的解决中有着非常重要的地位【2】.2.3变量代换的分类按照变量代换的具体代换量大小多少以及整体局部的关系，一般可以分为局部部分代换法（常见的有整体中难以运算的一部分进行代换）、整体代换法（例如可以看做一个有机整体的函数进行全部代换）、分式代换（一般是将已经设置好的未知量代换掉原来复杂的分式，可以让题目简单化）、三角代换（把复杂式子中的三角函数用设定好的未知数进行快速代换）、增量代换法（把原来的增量式子用未知数进行代换），通常是有以上几种类型，不过在解决具体题目时还是需要灵活判断及应用，才能达到提高解题效率的最终目的【3】.3用变量代换计算极限3.1用变量代换来求函数的极限定义1假设，其中，.如果，，，，.有.证因为，，，时，则有，，，时，，，则令，，当，则有则，得证例1试计算：解令，，此时可得，.由于是定义在上的连续函数，则，，综上所述，定义2假设，令，.如果，.证因为，，时，则因为，，时，则，，，，则，，得证.例2试计算.解假设，，此时存在，由于函数在定义域内是连续的，因此综上所述，.例3试计算.解假设，而，此时可以得到：，结合上述假设可知，定义3假设，令，，如果：，，那么，当，的时候，.此时有：证因为，，，时，则，，，，则有，，，令，，则，，可得，即得证.例4请尝试计算解假设，，此时，，，由于函数在定义域内是连续的，当，时，由于，此时可得，.3.2用根式代换来求极限在解含根式的极限时，可以简单的运用根式来进行代换，然后再消去根号对其进行下一步的求解.例5试计算.解令，，当时，有，此时有例6试计算.解设，，时，则4用变量代换来计算积分4.1变量代换在第一类换元积分中的应用计算某些复杂函数积分的时候，可以把原函数先拆分成复合函数，然后利用变量代换进行下一步的求解.例7试计算.解假设，，因为，，因此可知：，此时将代入上述算式，可得：例8试计算.解，假设，此时当把代入上述式子时，可得：4.2变量代换在含有指数的积分中的应用当在积分中存在指数或等形式时，这时便可以利用简单的指数代换，用以消掉指数或等形式，之后便可进行下一步求解.例9试计算.解令，由于，此时有例10试计算.解令，因此，，此时，注意在对不定积分进行计算时，一定不能忘了要加上常数.4.3变量代换在定积分中的应用在对不定积分进行计算时，可以利用变量代换来求解.同样，在对定积分进行计算时，也是适用的.如果想要得到变量代换在定积分中的应用，那么则需要对变量代换在不定积分中的应用具有一定了解【3】.例11试计算.解令，因此，，此时，由此可知，例12试计算.解由于上式中存在着，这时，令，因此，由于，，因此，4.4变量代换在不定积分中的应用如果复杂，而可以看成是，则可以令=u，原式则可以转化为，如果容易计算，求出积分以后，再将u换回，则问题得到解决.例13求解.分析：首先仔细分析可以看出，则可以从这个方面入手进行计算.解首先可以令，原式则变成，此时则很容易计算出结果.原式==令，其中单调可导，连续，0，可得上式为，若t的积分易算出，求出后再将t换成x则可.例14求解.解为了消除两个根式，我们可以令，就可以达到这个目的，此时将原式化为：进行完这种转化以后，消除t，则积分过程变为常规积分过程，积分简单.例15求解.解这个题中含有如上所说的，所以可以令x=asint，原式可以转化为：得到这个式子以后就可以就变成常规的三角函数的积分.若式子中含有，还可以利用，则令x=acht化去根式；若式子中含有，令x=asht，变成简的单积分函数.例16求解.解根据上文中的分析，首先令，则原式可以转化为：若式子中含有或以及分母中含有x的幂，设消去根式得到关于t的有理式.例17求解.解可以令，则此时原式可以化为：此时只要围绕进行积分，便可以运用常规方法进行积分.对于三角函数有理式的积分，较为复杂，但是sinx，cosx与有关系，，，假设，则，，，原积分就可以化为关于t的有理函数的积分.例18求解.解可以令，原式可以化为，此时只需要围绕t+2进行积分即可，积分难度大大降低.有些题目没有上文中提到的所有方法的一般规律，不容易直接积分，可以按照第二换元法的思想选择作一变量代换，使被积函数形式关于新变量而言易于积分【4】.例19求解.解通过观察可以发现lnx的特点，可以令=t，原式可以变为：此时只需要针对t进行积分即可，问题顺利得到解决.5变量代换在多元函数微分中的应用 5.1变量代换求解多元函数的极限在对多元函数进行求解时，若存在这一形式，那么便可以利用极坐标代换的方法来把原式化简，再进行下一步的求解【5】.例20试计算.解令，，当时，可得因此，.例21试计算.解令，当，=时，可得5.2变量代换求多元复合函数的导数若为上二元函数，且在点处能够偏导，当在点可微时，存在以下求导公式：、对上述公式，我们称为链式法则.例22试计算的偏导.解令，，，此时有：例23试求的偏导.解令，，，此时可得：6总结通过上面多个变量代换思想方法在不同类型数学问题中的具体应用可以发现变量代换数学思想方法在数学的很多领域都有涉及及其应用，尤其是高等数学中的大多数数学问题的解决都离不开变量代换思想的应用，但是这一数学思想方法的应用核心是必须理解其在变化中求具体问题的解，这种方法可以激发人们寻找问题答案是思考角度、途径及具体可行方法，但是这种方法也不是万能的，必须要在某些特定的题目中满足特定条件才可以使用，且具体题目应用的变量代换也不是固定不变唯一的，最正确的做法是先确定所有可以使用的代换方法，然后在这些方法中选择最合适最高效的才去解决这个问题.如果要熟练掌握变量代换方法的技巧及特点，就必须做大量的题目且不断熟练总结，这样可以确保自己能够熟练高效的运用等量代换方法解决大多数的数学难题.不难发现变量代换思想在数学学习中的广度及深度，这些都是变量代换在数学中具有很高地位的原因，尤其是在高数学习中，这种数学方法必须学懂、学透、能够熟练灵活的应用，达到这样的效果对于提高数学的解题速度及解题准确度都是轻而易举的.变量代换思想在数学中之所以有很重要的地位及重要的意义是因为其应用的广泛性及大大提高学习者对于原本问题的理解及计算的效率，但是在运用等量代换时还是有很多细节需要注意，严格区分，等量代换也包括简单初步的学习理解及应用，也包括复杂抽象的理解及应用，只有将初步简单的原理及应用完全掌握才能更好的学习更多的关于变量代换的知识.其次必须多做相关题目勤加练习才能熟练掌握其精髓及技巧，也能够有效摆脱很多学生生搬硬套及难以灵活高效应用此方法的问题，应该达到看到题目快速判断出相应的解决方法的能力，其次需要注意，和做任何数学题目一样必须认真，严谨，才不会出现因为疏忽大意因小失大的问题，比如在对不定积分进行求解时，很多同学总会将常数C忽略.其次不能对等量代换方法进行误解及复杂理解，必须加深其基本原理的理解及灵活应用，其次在变量代换时一定要准确判断要代替的部分，多思考一会，考虑清楚不要出现代换错误让整个过程变得更加复杂的情况.参考文献[1]黄明清.重视变量代换方法[J].成都教育学院学报，2006，6：[2]蒋百华.浅谈变量代换法在高等数学中的应用[J].教育与教学学报，2012，10：[3]李金霞.变量代换法在高等数学中应用探讨[J].科技创新导报，2008，3：[4]刘显凤.变量代换法在高等数学中应用[J].科技信息报，2010，15：[5]林见松.高等数学中求函数极限的若干方法举例探析[J].科技创