2023-2024学年四川省成都市武侯区西川中学八年级（下）期末数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都市武侯区西川中学八年级（下）期末数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列因式分解正确的是(

)A.a3+a2+a=a(a2+a) 3.若分式4−x2x−2的值为0，则x的值是A.−2 B.0 C.2 D.44.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(

)A.2 B.3 C.2 5.不等式组x−3⩽−1,2(1−x)<4的解集在数轴上表示为(

)A. B.

C. D.6.已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为(

)A.45° B.150° C.120° D.135°7.甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为(

)A.1201.2x−120x=30 B.120x8.当2≤x≤5时，一次函数y=(−m2−1)x+2有最大值−8，则实数m的值为A.1 B.1或−1 C.2 D.2或−2二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。9.因式分解：x2y+2xy=______．10.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b<3的解集为______．11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若DE=3，则BF=______．12.定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定a※b=1b−2a，如3※2=12−213.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，CD是AB边上的高，分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，连接EF，分别交CB，CD，CA于点G，M，N，连接AG交CD于点Q，若AD=3，CM=5，则GN的长为______．

三、解答题：本题共13小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.（12分）(1)解不等式组2x−5<3(x−1)①43x+1≤3−2x3②

15.（8分）先化简：(xx−2−xx+2)÷x2+xx2−4，再从−2，16.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，C(3,3).(1)画出将△ABC向下平移5个单位后得到的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1；

(2)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，点A，B，C对应点分别为点A217.（10分）已知，如图，AD，BE分别是△ABC的BC和AC边上的中线，过C作CF/​/AB，交BE的延长线于点F，连接AF．

(1)求证：四边形ABCF是平行四边形；

(2)连接DE，若DE=EC=3，∠AFC=45°，求线段BF的长．18.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与直线y=kx−2k+1相交于点B；直线y=kx−2k+1与x轴交于点C．

(1)当k=32时，求△ABC的面积；

(2)若∠ABC=45°，求k的值；

(3)若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求k19.（4分）当1a−1b=220.（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若B

21.（4分）若关于x的方程axx−2=3x−2+122.（4分）定义：若x，y满足x2=4y+k，y2=4x+k(k为常数)且x≠y，则称点M(x,y)为“妙点”，比如点(5,−9).若函数y=2x+b的图象上的“妙点”在第三象限，则23.（4分）如图，在Rt△ABC中，AB=6，∠ACB=30°，E为BC的中点，将△ABC沿AC边翻折得到△AFC，M、N是AC边上的两个动点，且MN=2，则四边形BENM周长的最小值为______．

24.（8分）某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍．

(1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价．

(2)购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？25.（10分）【阅读理解】

定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点M，N，P，连接PM，PN，设

线段PM，PN的夹角为α，PMPN=w，则我们把(α,w)称为∠MPN的“度比坐标”，把(α,1w)

称为∠NPM的“度比坐标”．

【迁移应用】

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

(1)求点A的坐标，并写出∠AOB的“度比坐标”(用含k的代数式表示)；

(2)C，D为直线AB上的动点(点C在点D左侧)，且∠COD的“度比坐标”为(90°,1)．

ⅰ)若k=12，求CD的长；

ⅱ)在ⅰ)的条件下，平面内是否存在点E，使得∠DOE的“度比坐标”与∠OCB的“度比坐标”相等？若存在，请求出点26.（12分）在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°．

(1)如图1，求证：∠ABE+∠AEB=∠DAC；

(2)如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接DG，CE.若∠BAC=120°，BC=4，当AD⊥BE时，求CE的长．

参考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.C

6.A

7.D

8.D

9.xy(x+2)

10.x>−1

11.3

12.−6

13.314.解：(1)解不等式①得x>−2，

解不等式②得x≤1，

故原不等式组的解集为−2<x≤1；

(2)原方程去分母得：x2=x2−4−3(x+2)，

整理得：−4−3x−6=0，

解得：x=−103，

检验：当x=−1015.解：原式=x(x+2)−x(x−2)(x−2)(x+2)·(x+2)(x−2)x(x+1)

=x2+2x−x2+2x(x+2)(x−2)·(x+2)(x−2)x(x+1)

=4x(x+2)(x−2)·(x+2)(x−2)x(x+1)

=4x+1，

∵x−2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠016.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)如图2所示，点P即为所求；

A1P+17.(1)证明：∵CF//AB，

∴∠ABE=∠CFE，∠BAE=∠FCE，

∵BE是△ABC的AC边上的中线，

∴AE=CE，

在△ABE和△CFE中，

∠ABE=∠CFE∠BAE=∠FCEAE=CE，

∴△ABE≌△CFE(AAS)，

∴BE=FE，

又∵AE=CE，

∴四边形ABCF是平行四边形；

(2)解：如图，

∵四边形ABCF是平行四边形，

∴∠ABC=∠AFC=45°，BE=EF=12BF，

∵AE=CE，AD是△ABC的BC边上的中线，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=12AB，DE/​/AB，

∴∠EDC=∠ABC=45°，

∵DE=EC=AE=3，

∴∠EDC=∠ECD=45°，AC=AB=6，

∴∠BAC=180°−45°−45°=90°，18.解：(1)当k=32时，y=32x−2，

当12x+2=32x−2时，解得x=4，

∴B(4,4)，

当y=0时，x=43，

∴C(43,0)，

当y=0时，x=−4，

∴A(−4,0)，

∴S△ABC=12×(43+4)×4=323；

(2)过点A作AG⊥AB交BC于点G，过点A作MN⊥x轴，过点B作MB⊥MN交于M点，过点G作GN⊥MN交于N点，

∵∠ABC=45°，

∴AB=AG，

∵∠MAB+∠NAG=90°，∠MAB+∠MBA=90°，

∴∠NAG=∠MBA，

∴△ABM≌△GAN(AAS)，

∴BM=AN，AM=NG，

当kx−2k+1=12x+2时，解得x=4k+22k−1，

∴B(4k+22k−1,6k−12k−1)，

当y=0时，x=2k−1k，

∴C(2k−1k,0)，

∴BM=4k+22k−1+4，AM=6k−12k−1，

∴G(3−2k2k−1,2−12k2k−1)，19.解：当1a−1b=2时，

3a+5ab−3ba−3ab−b=3(a−b)+5ab)20.解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，

∴∠C1AB1=∠CAB=100°，AB1=AB，∠CAC1=∠BAB1，

∵BB121.解：去分母得：ax=3+x−2，

整理得：(a−1)x=1，

∵关于x的方程axx−2=3x−2+1无解，

∴2×(a−1)=1，

解得：22.解：由“妙点”定义可得：x2=4y+k，y2=4x+k，

∴x2−y2=4y−4x，

∵x≠y

∴x+y=−4，

∴x=−b−43，y=b−83，

∵函数y=2x+b的图象上的“妙点”在第三象限，23.解：在Rt△ABC中，AB=6，∠ACB=30°，E为BC的中点，

∴AC=12，

∴BC=AC2−AB2=122−62=63，

∴BE=12BC=33，

∴四边形BENM周长=BM+MN+NE+BE=2+BM+NE+33，

要使四边形BENM周长最小，则要BM+NE最小，

将△ABC沿AC边翻折得到△AFC，M、N是AC边上的两个动点，取AF的中点G，CF的中点E1，连接GE1，在GE1上截取E1E2=2，连接E1N，E2M，如图，

则GE1是△ACF的中位线，

∴GE1//AC，GE1=12AC=6，AF=AB=6，

由题意得：点E1、E关于直线AC对称，

∴E1N=EN，MN=E1E2=2，

∴四边形MNE1E2为平行四边形，E2M=E1N=EN，

∴EN+BM=E2M+BM，

∴当M在BE2的连线上时，周长最小，

连接BF，交GE1于P，交AC于Q，连接BE2，

由折叠的性质可知：AB=AF，∠BAC=∠FAC=60°，

∵AQ=AQ，

∴△ABQ≌△AFQ(SAS)，

24.解：(1)设钢笔的单价为x元，则笔记本的单价为(x−12)元，

根据题意得：960x−12=1200x×2，

解得：x=20，

经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意，

∴x−12=20−12=8，

答：钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元；

(2)设购买钢笔m支，则购买笔记本(200−m)本，

根据题意得：20×0.8m+8×0.8(200−m)≥185620×0.8m+8×0.8(200−m)≤1880，

解得：60≤m≤62.5，

∵m为正整数，

∴m=60，61，62，

∴购买钢笔、笔记本两种奖品有3种方案：

①购买钢笔60支，笔记本140本；

②购买钢笔61支，笔记本139本；

③25.解：(1)由y=kx+4得：A(−4k,0)，B(0,4)，

∴OAOB=4k÷4=1k，

∴∠AOB的“度比坐标”为(90°,1k).

(2)①∵k=12，

∴直线解析式为y=12x+4．

过C作CM⊥x轴，过D作DN⊥x轴．

设D(m,12m+4)．

∵∠COD=90°，

∴∠COM+∠DON=90°，

∵∠COM+∠MCO=90°，

∴∠DON=∠MCO，

在△DON和△OCM中，

∠OMC=∠OND∠OCM=∠DONOC=OD，

∴△DON≌△OCM(AAS)，

∴MC=ON=m，

OM=DN=12m+4．

∴C(−12m−4,m)．

代入直线y=12x+4得：

m=12(−12m−4)+4，

∴m=85，

∴D(85,24526.(1)解：∵∠DAE+∠BAC=180°，

∴∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠DAC=180°，

∵∠ABE+∠BAD+∠DAC+∠CAE+∠AEB=180°，

∴∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠DAC=∠ABE+∠BAD+∠DAC+∠CAE+∠AEB，

∴∠ABE+∠AEB=∠DAC；

(2)AG=12CD，

证明：如图，延长BA至点M，使AM=AB，连接EM，

∵G是BE的中点，

∴AG=12ME，

∴∠BAC+∠DAE=∠BAC+∠CAM=180°，

∴∠DAE=∠CAM，

∵AB=AM，AB=AC

∴AC=AM，

∵AD=AE，

∴△ADC=△AEM(SAS)，

∴CD=EM，

∴AG=12CD；

(3)解：如图，连接DE，

∵∠BAC=120°，∠DAE+∠BAC=180°，

∴∠DAE=60°，

∵AD=AE，

∴△ADE为等边