2025年高考一轮复习-专题研究03-函数背景下的不等式【含解析】

2025年高考一轮复习专项突破函数背景下的不等式【原卷版】高考定位函数、方程、不等式三者之间关系密不可分，也是高中数学考查的重点内容。函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。考点解析（1）数形结合解不等式（2）单调性解不等式（3）同构解不等式题型解析类型一、利用图像解不等式例1-1（抽象函数作图）（2021·江西·高三月考（文））若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）A． B．C． D．练、已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．练．已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（）A． B．C． D．例1-2（周期函数作图）．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．例1-3（类周期作图）．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A． B． C． D．类型二、利用单调性解不等式例2-1（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．练．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数，若，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．例2-2．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为()A．-1 B． C． D．练、设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．类型三、同构法解不等式例3-1．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．练（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．例3-2（指对互化同构解不等式）．（2021春•淇滨区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．练．（2021春•南阳期末）若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．2025年高考一轮复习专项突破函数背景下的不等式【解析版】高考定位函数、方程、不等式三者之间关系密不可分，也是高中数学考查的重点内容。函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。考点解析（1）数形结合解不等式（2）单调性解不等式（3）同构解不等式题型解析类型一、利用图像解不等式例1-1（抽象函数作图）（2021·江西·高三月考（文））若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案.【详解】依题意是上的奇函数，且在递增，且，所以在递增，且.的图象是由的图象向右平移个单位得到，画出的大致图象如下图所示，由图可知，满足的的取值范围为.故选：C.练、已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意作出函数的草图，将，转化为，利用数形结合法求解.【详解】因为定义在R上的偶函数满足在内单调递增，所以满足在内单调递减，又，所以．作出函数的草图如下：由，得，得，所以或所以或解得或，即不等式的解集为．故选：D练．已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.【详解】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，则，因为任意满足，所以在上单调递增，在上单调递减，故等价于，解得.故选：D例1-2（周期函数作图）．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定函数周期为4，关于对称，画出函数图像，根据函数图像结合奇偶性得到，解得答案.【详解】为偶函数，，即，函数周期为.，函数关于对称.和均为偶函数，故只考虑的情况，画出函数图像，如图所示：根据图像知：不等式的整数解有且仅有个，则需要满足，解得.故选：D.例1-3（类周期作图）．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，分段求函数的解析式，结合图象可得解．【详解】因为，，∵时，，∴时，，；∴时，，，当时，由解得或，如图，由图可知，若对任意，都有，则．故选：B.类型二、利用单调性解不等式例2-1（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可【详解】的定义域为,因为，所以是奇函数，所以不等式可化为，因为在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，解得，故选：A.练．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数，若，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.【详解】易知为R上的奇函数，且在R上单调递减，由，得，于是得，解得.故选:C.例2-2．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为()A．-1 B． C． D．【答案】A【分析】首先利用一次函数性质和对数型复合函数的性质求出上的单调性，然后再利用偶函数性质可得到不等式，然后结合一次函数性质和的范围求解即可.【详解】由一次函数性质可知，在上单调递减，且对于，；由对数型复合函数易知，在上也是单调递减的，且对于，，故在上单调递减，又由，得为偶函数，且，若要对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，不妨令，，由一次函数性质可知，，解得，故实数的最小值为.故选：A.练、设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集.【详解】解：对任意的，都有，在上是增函数，令，则，为偶函数，在上是减函数，且，，当时，，即，解得：，当时，，即，解得：，综上所述：的解集为：.故选：A.类型三、同构法解不等式例3-1．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．【详解】解：令，则，故g（x）在R递增，不等式，即，故，故x＜2x−1，解得：x＞1，故选：D.练（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，∴为增函数，为偶函数，为奇函数，∴在上为增函数，∵，若，，所以；若，，在上为增函数，可得，综上得，不等式的解集是.故选：C.例3-2（指对互化同构解不等式）．（2021春•淇滨区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：由题意，若显然不是恒大于零，故．（由4个选项也是显然，可得，则显然在，上恒成立；当时，，令，，在上单调递增．因为，，所以，即，再设，令，则，易得在上单调递