2.5 逆命题和逆定理 浙教版数学八年级上册学案

2.5逆命题和逆定理课题逆命题和逆定理单元第二章学科数学年级八年级学习目标情感态度和价值观目标感受命题的趣味，感受数学的严密思维，增加对数学学习的兴趣能力目标通过做一做、思考探究等活动培养学生自主探究和合作学习的能力知识目标1.了解逆命题、逆定理的概念。2.经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。重点会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．学法探究法教法讲授法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回顾旧知命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命题的结构：条件和结论，它的一般形式是“如果……，那么……”命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是_有一个四边形是平行四边形_，结论是它的对角线互相平分。命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”

条件是_有一个四边形的对角线互相平分，

结论这个四边形是平行四边形。回忆听课复习旧知，为新内容的学习奠定基础导入新课命题有真有假。正确的命题是真命题，错误的命题是假命题。思考：“飞机是会飞的交通工具”“会飞的交通工具是飞机”这两个命题有什么不同？它们都是真命题吗？第一个命题的条件是第二个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件思考回答问题以提问的方式激发学生探索欲望思考探究填表并思考：命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4）的条件和结论有什么关系？（1）的条件是（2）的结论，（2）的结论是（1）的条件；（3）的条件是（4）的结论，（4）的结论是（3）的条件思考让学生自己发现结论讲授新知在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。上表中，命题（1）与命题（2），命题（3）与命题（4）都是互逆命题每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？不一定如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。听课思考讲解互逆命题的概念即时演练1.说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：（1）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。逆命题：平行四边形有一组对边平行且相等。是真命题（2）磁悬浮列车是一种调整行驶时不接触地面的交通工具。高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。是假命题2.说出两对互逆的定理（1）对顶角相等（2）同旁内角互补,两直线平行.做练习及时练习，巩固概念例题讲解例1说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。解:这个定理的逆命题是:到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上证明（1）当点P在线段AB上，结论显然成立；（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O。∵PA=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（根据什么？）∴PC是AB的垂直平分线。∴点P在线段AB的垂直平行线上可见，线段垂直平分线性质定理的逆定理是真命题。线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．例2写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。解逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”这个逆命题是假命题。举反例如下：如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等。所以这个逆命题是假命题。听课思考讲解例题，明白题型即时演练定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明理由．逆命题是“三角形一边上的中线是这边的一半的话，那么这个三角形是直角三角形”这个命题是正确的．已知：△ABC中，D是AC的中点，BD=AD，BD=DC．求证：△ABC是直角三角形．证明：∵BD=AD，∴∠A=∠ABD，∵BD=DC，∴∠C=∠DBC，∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，解得∠A+∠C=90°，∴∠ABC=90°．即△ABC是直角三角形．做练习即时做题巩固所学达标测评1.下列命题的逆命题是真命题的有（）（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）若ab=0，则a=0或b=0；（4）三角形中等角对等边．A．1个B．2个C．3个D．4个（1）其逆命题是：多边形是四边形，错误；（2）其逆命题是：如果同旁内角互补，则两直线平行，正确；（3）其逆命题是：若a=0或b=0，则ab=0，正确；（4）其逆命题是：三角形中等边对等角，正确．所以真命题的有三个．故选C．2.下列说法错误的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题不一定为真D．任何命题都是由条件和结论构成的A.任何命题都有逆命题，正确，故本选项错误；B.任何定理不一定都有逆定理，故本选项正确；C.真命题的逆命题不一定为真，正确，故本选项错误；D.任何命题都是由条件和结论构成的，正确，故本选项错误．故选B．3.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假。（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等。解：（1）逆命题：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β是邻补角。这是假命题。（2）逆命题：如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的内角相等。这是真命题。4.说出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形．此逆命题是真命题．证明如下：已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF求证：AB=AC．证明：∵S△ABC=AB•CF=AC•BE，而BE=CF，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．5.写出符合下列条件的一个原命题（1）原命题和逆命题都是真命题；（2）原命题是假命题,但逆命题是真命题；（3）原命题是真命题,但逆命题是假命题；（4）原命题和逆命题都是假命题；解：答案不唯一如：（1）若x=0或x=1,则x（x-1）=0（2）若x（x-1）=0,则x=0（3）若x=0,则x（x-1）=0（4）若x=0,则x-1=06.（在下列空格内填上正确或错误）（1）如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确______．错误（2）定理不一定有逆定理______．正确（3）命题“如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是真命题_________错误（1）“对顶角相等”这个命题正确，但它的逆命题“相等的角是对顶角”却是错的．故错误．（2）“对顶角相等”这个定理没逆定理．故正确．“如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如a＞b，则a2＞b2，假设a=1，b=-2，此时a＞b，但a2＜b2，即此命题为假命题．做题通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识拓展提升写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形．已知：如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA=45°．求证：△ABC是直角三角形证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠O