2024年中考数学复习冲关：矩形与折叠问题 【査漏补缺】

培优冲刺专题矩形与折叠问题【查漏补缺】

2024年中考数学复习冲过关

1.某数学活动小组在学完特殊的平行四边形之后，针对矩形中的折叠问题进行了研究.

如图①，在矩形A6CO中，AB=3a,3C=4a,点尸为A3边上一点，将矩形ABC。沿PC

折叠，点E为点8折叠后的对应点，过点E作所〃AB,交折痕PC于点尸，连接

⑴猜想四边形PBFE的形状，并证明你的结论；

⑵如图②，连接AC,当点E落在AC上时，BP的长是多少？(用含。的代数式表示)

(3)如图③，当点E落在AD上时，若。=2,求AE的长.

2.如图①，在矩形A5CD中，AB=3,AD=5,点E在边BC上且3E=2,动点P从点E

出发，沿折线54-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作/尸£。=90。，EQ交边AD

或DC于点。，连接尸。，当。与点C重合时点尸停止运动,设点P的运动时间为f秒(t>0).

(1)当点尸与点B重合时，线段PQ的长为一；

⑵当点。与点。重合时，求AP的长；

(3)如图②，当点尸在AD上运动时，证明「PEQ始终是等腰直角三角形；

(4)作点E关于直线PQ的对称点R连接尸尸、QF,当四边形EPFQ和矩形A5CD的重叠部

分图形为轴对称四边形时，直接写出/的取值范围.

3.综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

⑴如图1,将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点8落在AD边上的点8'处，折痕

为AE,则四边形ABES'的形状为一.

(2)如图2,矩形纸片A5co的边长A&BC=2:3,用图1中的方法折叠纸片，折痕为AE,

接着沿过点D的直线折叠纸片，使点C落在Eg上的点C'处，折痕为。尸.则ZB'DC=_,

ZCDF=_.

(3)如图3,矩形纸片A3CD的长为6cm,宽为3cm,用图1的方法折叠纸片，折痕为AE,

在线段CE上取一点F(不与点C,E重合)，沿DF折叠,CDF,点C的对应点为C,延长

FC'交直线AD于点G.

①判断GD与GF的数量关系，并证明；

②当射线fG经过—AB'E的直角边的中点时，请直接写出CF的长.

4.如图1,一矩形纸片ABCD,AB=6,BC=8,点尸是边AD上的动点(不与端点重合),

把一AB尸沿3P折叠，点A落在点E处，连接EC,设=AP=m.

(1)求/。尸石的度数(用含a的式子表示)；

(2)当尸，E,C三点在一条直线上时，如图2所示，求证：ZXBEC四△CDP,并求此时机的

值；

⑶当的面积为4时，求相的值；

(4)连接OE,若，CDE是等腰三角形，直接写出符合条件的机值的个数和其中一种情况下优

的值.

5.如图1,已知矩形ABCD中，AS=13,8C313,点尸是AB边的中点，点。是线段3C上

的一个动点，将.P8Q沿直线PQ翻折，点B落在点

试卷第2页，共7页

图1图2

(1)在点。的运动过程中，请判断线段AQ与PQ的位置关系，并说明理由；

⑵连接CB',求△80周长的最小值；

(3)如图2,若BC=13,连接88'，延长班'交对角线AC于点当班'=5时，求的

长.

6.如图，将矩形ABC。(沿8。折叠后，点C落在点E处，且班交AD于点尸，

若AB=4,BC=8.

⑴求的长；

⑵求_OEF和03尸面积；

7.如图，将矩形ABC。(AB<A£>)沿8。折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点厂,

若A3=6,BC=8.

⑴求。尸的长；

⑵求△公所和DEF的面积；

⑶求△DBF中F点到BD边上的距离.

8.如图①，在矩形A3CD中，A5=6,ar>=10,点E在边8c上，且3E=4,动点尸从点E

出发，沿折线EB-班-AD以每秒2个单位长度的速度运动.作ZP£Q=90。，EQ交边AD

或边。C于点Q,连接PQ,当点。与点C重合时，点尸停止运动，设点尸的运动时间为r

秒.”0)

⑴当点P和点B重合时，线段尸。的长为；

⑵当点。和点。重合时，求sin/PQE；

(3)当点尸在边AD上运动时，VPQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；

(4)作点E关于直线PQ的对称点尸，连接尸尸、QF,当四边形瓦小。和矩形A3Q)重叠部分

图形为轴对称四边形时，直接写出f的取值范围.

9.如图，长方形AOBC,以。为坐标原点，OB、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为

(0,8),点3的坐标为(10,0),点E是2C边上一点，把长方形AO3c沿AE翻折后，C点恰

好落在x轴上点尸处.

⑴求点F的坐标；

(2)求AF所在直线的函数关系式；

(3)在x轴上求一点尸，使△上4F成为以反为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的

点P的坐标.

10.如图，在平面直角坐标系中，把矩形Q4BC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点。

处，DC与y轴相交于点E,矩形。4BC的边OG的长是关于X的一元二次方程

尤2-12%+32=0的两个木艮，S.OA>OC.

试卷第4页，共7页

⑴求出线段0E的长；

(2)求出点D的坐标；

(3)若尸是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P,使以点EC,P,b为顶点的

四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，矩形A5CD中，AD=18,AB=24.

⑴求点B到AC的距离；

(2)点E为边DC上的一个动点，一AZTE与VADE关于直线AE1对称，当白。。’£为直角三角

形时，求DE的长.

12.如图所示，在矩形A5CD中，AB=CD=5,BC=AD=3,

D'A'

A>BAB

图①图②

⑴如图①，E、/分别为8、AB边上的点，将矩形A3CD沿E尸翻折，使点A与点C重

合，设CE=x,则DE=(用含x的代数式表示)，CD,=AD=3,在Rt^CO'E中，

利用勾股定理列方程，可求得CE=.

(2)如图②，将△ABD沿8。翻折至.A3。，若43交8于点E,求此时CE的长；

(3)如图③，尸为AD边上的一点，将一ABP沿3P翻折至&A3P,A'B,4尸分别交CZ>边于

E、F,且=尸，请直接写出此时CE的长.

13.如①，在矩形ABC。中，AB=5,AD=3,点E是A。上一点.

①②③

(1)将沿BE折叠后，点A正好落在C。边上的点尸处，求线段AE的长；

Q

⑵如②，延长①中线段E尸至G,使尸G=^EF,以FB、尸G为两邻边作，BFGH,连接

交BF于P.求证：点尸为的中点；

(3)如③，在(2)的条件下，连接AF交8E于点Q,连接尸。、BG,试判断PQ与BG之间

的数量关系并证明.

14.如图，将矩形ABC。沿对角线8。翻折，点C落在C处，BC交AD于点、E.

⑴过点C'作C'尸〃CZ)交8。于点F，连接CP.求证：四边形CRCD是菱形;

(2)若CQ=5,8C=7,求线段EC的长.

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形A8C0的顶点。于坐标原点重合，顶点A、。在坐标

轴上，3(8,4),将矩形沿所折叠,使点A与点C重合.

一二

G\G

图1图2图3

试卷第6页