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文档简介
九年级数学上册学问点归纳
(八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做干行四边
形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对用线。
※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线相互平分。
※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:若两条直线相互平行,则其中一条直线上随意两点到另一
条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形
1菱形的性质及判定
菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线相互垂直平
分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质及判定
※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫更形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形
是轴对称图形,有两条对称轴)
※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(依据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质及判定
正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴
对称图形,有两条对称轴)
※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形;
邻边相等的矩形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线相互垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):
※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
/.Lt人r^Atf****^
※一条腰和底垂直的梯形叫他吉存辟皿a,
//,.r~t人i、r.r_tA
※等腰梯形的性质:等月/人衿川服F今/常记壬为鲤鸣
q匚、矩形
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形J------13一
※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边护3半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
其次章一元二次方程
1相识一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为"2+"+c=0(a、b、c为
常数,aWO)的形式,这样的方程叫一元二次方程。
※把ax?+bx+c=o(a、b、c为常数,aWO)称为一兀二次方程的一般形式,a为
二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。
2用配方法求解一元二次方程
①配方法〈即将其变为(%+加)2=0的形式>
※配方法解一元二次方程的基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;
②将二次项系数化成1;
③把常数项移到方程的右边;
④两边加上一次项系数的一半的平方;
⑤把方程转化成(X+租)2=0的形式;
⑥两边开方求其根。
3用公式法求解一元二次方程
②公式法xJ±Cc(留意在找abc时须先把方程化为一般形式)
2a
4用因式分解法求解一元二次方程
③分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主
要包括“提公因式”和“十字相乘”)
5一元二次方程的根及系数的关系
※根及系数的关系:当b?-4ac>0时,方程有两个不等的实数根;
当b?-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当b?-4ac〈0时,方程无实数根。
※假如一元二次方程ax2+bx+c=O的两根分别为Xi、X2,则有:
bc
Xj+%2=再,%2=—°
一aa
※一元二次方程的根及系数的关系的作用:
(1)已知方程的一根,求另一根;
(2)不解方程,求二次方程的根为、X2的对称式的值,特殊留意以下公式:
⑥X:+xf=(3+%)3-+x2)⑦其他能用用+々或X/2表达的代数式。
2
(3)已知方程的两根Xi、X2,可以构造一元二次方程:x-(x,+x2)x+^x2=0
(4)已知两数xi、X2的和及积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程
2
x一(%+x2)x+玉电=0的根
6应用一元二次方程
※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:①设未知数(在设未知数时,
大多数状况只要设问题为x;但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面
考虑);②找寻等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须
找到此句话即可依据其列出方程)。
※处理问题的过程可以进一步概括为:问题f方程慧-解答
抽象检验
第三章概率的进一步相识
用树状图或表格求概率
相关学问点链接:
频数及频率
频数:在数据统计中,每个对象出现的次数叫做频数,
频率:每个对象出现的次数及总次数的比值为频率。
概率的意义和大小:概率就是表示每件事情发生的可能性大小,即一个时间发生
的可能性大小的数值。必定事务发生的概率为1;不行能事务发生的概率为0;不
确定事务发生的概率在0及1之间。
【学问点1】频率及概率的含义
在试验中,每个对象出现的频繁程度不同,我们称每个对象出现的次数为频数,
而每个对象出现的次数及总次数的比值为频率,即频率
总次数
把刻画事务A发生的可能性大小的数值,称为事务A发生的概率。
【学问点2]通过试验运用稳定的频率来估计某一时间的概率
在进行试验的时候,当试验的次数很大时,某个事务发生的频率稳定在相应的概
率旁边。
我们可以通过多次试验,用一个事务发生的频率来估计这一事务发生的频率。
【只是点3]利用画树状图或列表法求概率(重难点)
第四章图形的相像
1成比例线段
一.线段的比
.假如选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就
说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成&=生.
Bn
X2.四条线段a、b、c、d中,假如a及b的比等于c及d的比,即@=工,那么这
bd
四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
X3.留意点:
①a:b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比及所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一样;
④除了a=b之外,a:bWb:a,色及2互为倒数;
ba
⑤比例的基本性质:若4=£,则ad=bc;若ad=bc,则色,
bdbd
2平行线分线段成比例
※上平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2,L//12//4贝IJ竺=处.
二.黄金分割/CB
图1
※上如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,假如生=变,那么称线段AB
ABAC
被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC及AB的比叫做黄金比.
AC:AB=1«0.618:1
2
派2.黄金分割点是最美丽、最令人赏心悦目的点.
3相像多边形
Q1.一般地,形态相同的图形称为相像图形.
X2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相像多边形..相像多边形对应
边的比叫做相像比.
※上在相像多边形中,最为简洁的就是相像三角形.
X2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相像三角形,相像三角形对应边的
比叫做相像比.
X3.全等三角形是相像三角的特例,这时相像比等于1.留意:证两个相像三角形,
及证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※生相像三角形对应高的比,对应中线的比及对应角平分线的比都等于相像比.
X5.相像三角形周长的比等于相像比.
X6.相像三角形面积的比等于相像比的平方.
※相像多边形的周长等于相像比;面积比等于相像比的平方.
4探究三角形相像的条件
※上相像三角形的判定方法:
一般三角形直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延
长线)相交的直线,所截得的三角形及原三角形相像.
①两角对应相等;I①一个锐角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相②两条边对应成比例:
等;a两直角边对应成比例;
③三边对应成比例.b.斜边和始终角边对应成
比例.
X2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2,1J/1//—=—
2DEEF
X3.平行于三角形一边的直线及其他两边(或两边的延长线对皎加陶成
形及原三角形相像.心
5相像三角形的判定定理的证明图2
6利用相像三角形测高
7相像三角形的性质
8图形的位似
第五章投影及视图
A)三视图
,主视图从正面看到的图左视图从左面看到的图俯视图从上
面看到的图
•画物体的三视图时,要符合如下原则:大小:长对正,高平齐,宽相等.
•虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画
成虚线.
B)投影
•物体在光线的照耀下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.
•太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
在同一时刻,物体高度及影子长度成比例.
•物体的三视图事实上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)
下的平行投影.
•探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点动身的光线,像这样的
光线所形成的投影称
为中心投影
•皮影和手影都是在灯光照耀下形成的影子.它们是中心投影。
C)视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。
.眼睛所在的位置称为视点,
.由视点发出的光线称为视线,
.眼睛看不到的地方称为盲区
第六章反比例函数
学问点1反比例函数的定义
一般地,形如y=V(k为常数,k/O)的函数称为反比例函数,它可以从以下
X
几个方面来理解:
⑴X是自变量,y是X的反比例函数;
⑵自变量x的取值范围是XHO的一切实数,函数值的取值范围是ywO;
⑶比例系数k#0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
⑷反比例函数有三种表达式:
③x.y=k(定值)(k#0);
⑸函数y=V(k/o)及x=K(k/O)是等价的,所以当y是x的反比例函数
xy
时,X也是y的反比例函数。
(k为常数,k/O)是反比例函数的一部分,当k=0时,y=K,就不是反比例
X
函数了,由于反比例函数y=K(k/O)中,只有一个待定系数,因此,只要一组
X
对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
学问点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数y=V(k/O)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应
X
值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
学问点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三
象限或其次、第四象限,它们及原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变
量XHO,函数值ywO,所以它的图像及x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个
分支无限接近坐标轴,但恒久达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比例函数的图像时应留意以下几点:
①列表时选取的数值宜对称选取;
②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;
③连线时,必需依据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,
切忌画成折线;
④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像及坐标轴相交。
学问点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质,主要探讨它的图像的位置及函数值的增减状况,如
下表:
反比例函数y=—(kwO)
X
k的
k>0k<0
符号
图像1
1J2]r
rx
①x的取值范围是x#0,y①x的取值范围是x#0,y
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