人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质（第3课时）》示范教学设计

二次函数的图象和性质（第3课时）教学目标1．会画二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象，并能根据图象说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．能从图象平移变换的角度认识抛物线y＝ax2＋k(a≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的位置关系，掌握二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象与性质．教学重点从图象平移变换的角度认识抛物线y＝ax2＋k(a≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的位置关系．教学难点对于抛物线y＝ax2(a≠0)和抛物线y＝ax2＋k(a≠0)之间关系的理解与定量分析．教学过程知识回顾二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标(0，0)，最低点(0，0)，最高点增减性x＞0y随x的增大而增大y随x的增大而减小x＜0y随x的增大而减小y随x的增大而增大开口大小|a|越大，抛物线的开口越小【设计意图】通过复习已经学过的二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的知识，为引出新课“二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、典例精讲【例1】在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x²＋1，y＝2x²－1的图象．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图．【答案】解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．【设计意图】通过例1，让学生熟练运用描点法画函数的图象，为探究二次函数y＝ax2＋k(a＞0)的图象和性质作铺垫．二、探究新知【思考】（1）抛物线y＝2x²＋1，y＝2x²－1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？【师生活动】教师提出问题，学生观察例1所画图象，思考并回答．【答案】函数y＝2x²＋1y＝2x²－1开口方向向上对称轴y轴顶点坐标(0，1)(0，－1)【思考】（2）抛物线y＝2x²＋1，y＝2x²－1与抛物线y＝2x²有什么关系？【师生活动】教师提示：可以将问题转化为“抛物线y＝2x²＋1与抛物线y＝2x²有什么关系？”和“抛物线y＝2x²－1与抛物线y＝2x²有什么关系？”．学生根据提示，分小组合作探究，对有困难的小组，教师及时进行帮助．教师提示：根据所给图象，填写下列表格．函数y＝2x²＋1y＝2x²开口方向对称轴顶点坐标学生观察图象，思考并回答．教师提问：根据所填表格，观察抛物线y＝2x²＋1与抛物线y＝2x²，你发现了什么？学生思考并回答：抛物线y＝2x²向上平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x²＋1．教师：根据所给图象，填写下面的表格．函数y＝2x²－1y＝2x²开口方向对称轴顶点坐标学生观察图象，思考并填表．教师提问：根据所填表格，观察抛物线y＝2x²－1与抛物线y＝2x²，你发现了什么？学生思考并回答：抛物线y＝2x²向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x²－1．教师追问：观看动图，思考抛物线y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线y＝ax²(a＞0)有什么关系？学生分小组合作交流，并派学生代表发言．教师总结：抛物线y＝ax²＋k(a＞0)是由抛物线y＝ax²(a＞0)上下平移得到的．当k＞0时，向上平移；当k＜0时，向下平移．【新知】二次函数y＝ax²＋k(a＞0)的图象和性质如下表．开口方向向上顶点坐标(0，k)最大（小）值当x＝0时，y最小值＝k对称轴y轴增减性当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小【设计意图】通过问题串的形式，激起学生的求知欲，引导学生从图象平移变换的角度认识二次函数y＝ax²＋k(a＞0)的图象与二次函数y＝ax²(a＞0)的图象之间的位置关系，通过组内交流让学生充分发表意见，大胆总结自己观察出的图象的特征和函数的性质，提高学生的语言表达能力和归纳总结能力．三、典例精讲【例2】在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1的图象．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图．【答案】解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．【设计意图】通过例2，让学生熟练运用描点法画函数的图象，为探究二次函数y＝ax2＋k(a＜0)的图象和性质作铺垫．四、探究学习【思考】（1）抛物线y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？【师生活动】教师提出问题，学生观察例2所画图象，思考并回答．【答案】函数y＝－2x²＋1y＝－2x²－1开口方向向下对称轴y轴顶点坐标(0，1)(0，－1)【思考】（2）抛物线y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1与抛物线y＝－2x²有什么关系？【师生活动】教师提示：可以将问题转化为“抛物线y＝－2x²＋1与抛物线y＝－2x²有什么关系？”和“抛物线y＝－2x²－1与抛物线y＝－2x²有什么关系？”．学生根据提示，分小组合作探究，对有困难的小组，教师及时进行帮助．教师提示：根据所给图象，填写下列表格．函数y＝－2x²＋1y＝－2x²开口方向对称轴顶点坐标学生观察图象，思考并回答．教师提问：根据所填表格，观察抛物线y＝－2x²＋1与抛物线y＝－2x²，你发现了什么？学生思考并回答：抛物线y＝－2x²向上平移1个单位长度，就得到抛物线y＝－2x²＋1．教师：根据所给图象，填写下面的表格．函数y＝－2x²－1y＝－2x²开口方向对称轴顶点坐标学生观察图象，思考并回答．教师提问：根据所填表格，观察抛物线y＝－2x²－1与抛物线y＝－2x²，你发现了什么？学生思考并回答：抛物线y＝－2x²向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝－2x²－1．教师追问：思考抛物线y＝ax²＋k(a＜0)与抛物线y＝ax²(a＜0)有什么关系？学生分小组合作交流，并派学生代表发言．教师总结：抛物线y＝ax²＋k(a＜0)是由抛物线y＝ax²(a＜0)上下平移得到的．当k＞0时，向上平移；当k＜0时，向下平移．【新知】二次函数y＝ax²＋k(a＜0)的图象和性质如下．开口方向向下顶点坐标(0，k)最大（小）值当x＝0时，y最大值＝k对称轴y轴增减性当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大【归纳】抛物线y＝ax²＋k(a≠0)是由抛物线y＝ax²(a≠0)上下平移得到的．当k＞0时，向上平移；当k＜0时，向下平移，简记为“上加下减”．教师总结：抛物线y＝ax²＋k(a≠0)的图象和性质如下．二次函数a的取值开口顶点坐标对称轴增减性最值y＝ax²＋k(a≠0)a＞0向上(0，k)y轴当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小当x＝0时，y最小值＝ka＜0向下当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大当x＝0时，y最大值＝k【设计意图】通过问题串的形式，激起学生的求知欲，引导学生从图象平移变换的角度认识二次函数y＝ax²＋k(a＜0)的图象与二次函数y＝ax²(a＜0)的图象之间的位置关系．通过组内交流让学生充分发表意见，教师作最后总结，加深学生对“二次函数y＝ax²＋k(a≠0)的图象的特征和函数的性质”的理解．课堂小结