湖南省娄底市某中学2024年中考试题猜想数学试卷（含解析）

湖南省娄底市娄底一中学2024年中考试题猜想数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知a-b=L贝!|a3-a'b+b?-2ab的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题,

大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设

有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（）

f8y+3=xJ8x+3=y

.〔7y-4=x•[7x-4=y

j8x-3=yj8y-3=x

[7x+4=y17y+4=x

3.如图，四边形43a）中，AC±BC,AD//BC,BC=3>,AC=4,AD=1.M是30的中点，则CM的长为（）

2

2

如图，平行于BC的直线DE把4ABC分成面积相等的两部分，则—的值为（

AD

C.V2-1D.72+1

5.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表:

X-2-1012

y830-10

则抛物线的顶点坐标是（）

A.(-1,3)B.(0,0)C.(1,-1)D.(2,0)

6.已知抛物线丁=奴2+（2-。口-2（。〉0）的图像与犬轴交于4、B两点（点A在点3的右侧），与y轴交于点C.

给出下列结论：①当。＞0的条件下，无论。取何值，点4是一个定点；②当。＞0的条件下，无论4取何值，抛物线

的对称轴一定位于y轴的左侧；③y的最小值不大于-2；®^AB=AC,则a=.其中正确的结论有（）个.

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.数据3、6、7、1、7、2、9的中位数和众数分别是（）

A.1和7B.1和9C.6和7D.6和9

8.如图，AABC中，BC=4,OP与△ABC的边或边的延长线相切.若。P半径为2,△ABC的面积为5,则△ABC

C.13D.14

9.A、5两地相距180km,新修的高速公路开通后，在A、3两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%,而从A地

到5地的时间缩短了lh.若设原来的平均车速为xkm/h,则根据题意可列方程为

180180,180180,

A.—--------------------------二1B.

X(1+50%)%(1+50%)%X

1801801180180,

---二1

c.—-D.

X(1-50%)%(1-50%)%X

10.初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应

的坐标为（3,2）,小芳的为（5,1）,小明的为（10,2）,那么小李所对应的坐标是（）

J'A

A.(6,3)B.(6,4)C.(7,4)D.(8,4)

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，AB.CD相交于点O,AD=CB,请你补充一个条件，使得△40。之△CO5,你补充的条件是

12.-工的绝对值是

2

13.我们知道:四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形A3C。的边A5在x轴上，4-3,0),3(4,0),

边AO长为5.现固定边A3,“推”矩形使点。落在y轴的正半轴上(落点记为。0,相应地，点C的对应点C'的坐

标为1

14.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是

如图所示的四边形，AB/7CD,CD_LBC于C,且AB、BC、CD边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长

是.

15.已知一组数据3,4,6,x,9的平均数是6,那么这组数据的方差等于

16.如图1,点P从△ABC的顶点B出发，沿B-C—A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP的长度y随

时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AABC的面积是

17.如图，在矩形ABC。中，对角线AC与3。相交于点0,过点A作垂足为点E,若NEAC=2NCAD,

贝！|NR4E=_________度.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）先化简，再求值：————土土，其中*=应-1.

x+4x+4x+2x+2

19.（5分）已知：AB为。O上一点，如图，AB=12,BC=4A/3-BH与。O相切于点B,过点C作BH的平行线

交AB于点E.

(2)延长CE至UF,使.EF=g，连结BF并延长BF交于点G,求BG的长;

(3)在（2）的条件下，连结GC并延长GC交BH于点D,求证：BD=BG

20.（8分）如图，矩形ABC。中，对角线AC,6。相交于点。，且A3=8cm,BC=6cm.动点P,。分别从点

C,A同时出发，运动速度均为lcm/s.点P沿C-DfA运动，到点A停止.点。沿A—OfC运动，点。到

点。停留4s后继续运动，到点。停止.连接BP,BQ,PQ,设V8PQ的面积为'（cm?）（这里规定：线段是面

积为0的三角形），点P的运动时间为x（s）.

（1）求线段PD的长（用含X的代数式表示）；

（2）求5麴k14时，求y与X之间的函数解析式，并写出X的取值范围;

（3）当y=6时，直接写出X的取值范围.

21.（10分）如图,在平行四边形ABCD中，过点A作AE±BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且NAFE=NB

△ADF^ADEC；若AB=8,AD=65AF=4G求AE的长.

22.（10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下

检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道/上确定点D,使CD与/垂直，测得

CD的长等于21米，在/上点D的同侧取点A、B,使NCAD=30。，ZCBD=60°.求AB的长（精确到0.1米，参考

数据：1,73,72^1.41）;已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆

校车是否超速?说明理由.

23.（12分）如图，△ABC内接于。O,过点C作5c的垂线交。。于。，点E在5c的延长线上，且NZ>EC=NR4C.求

证：OE是。。的切线；若AC〃OE,当A5=8,CE=2时，求。。直径的长.

24.(14分)计算：(-1)-2-2(73+4)+|1-V12|

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解析】

先将前两项提公因式，然后把。-公1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算.

【详解】

a3-a2b+b2-2ab-a2(a-b')+b2-2ab-a2+b2-lab-(a-b)2=1.

故选C.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结

合.

2、C

【解析】

8x-3=y

根据题意相等关系：①8x人数-3=物品价值，②7x人数+4=物品价值，可列方程组：一“‘，

7x+4=y

故选C.

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.

3、C

【解析】

延长3c到E使利用中点的性质得到DE^-AB,再利用勾股定理进行计算即可解答.

22

【详解】

解：延长到E使3E=A。，VBC//AD,二四边形ACE。是平行四边形，.\DE=AB,

VBC=3,AD=1,

.•・C是BE的中点，

是80的中点，

11

CM=—DE=—AB

229

VAC±BC,

'-AB=7AC2+BC2="2+32=5，

5

2

此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.

4、C

【解析】

【分析】由DE〃BC可得出AADES/\ABC,利用相似三角形的性质结合SAADE=S四边形BCED,可得出32=立，结

AB2

BD

合BD=AB-AD即可求出——的值.

AD

【详解】

.•.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

.'.△ADE^AABC,

lABJ5ABC

,**SAADE=S四边形BCED,SAABC=SAADE+S四边形BCED,

.AD72

・・瓦―y

.BDAB-AD2-42_弁

ADADV2

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

5、C

【解析】

分析：由表中所给数据，可求得二次函数解析式，则可求得其顶点坐标.

详解：当x=0或％=2时，y=。，当％=1时，y=-l,

c=0[a-\

4a+2b+c=0,解得<〃二一2,

a+b+c=—l[c=0

22

・•・二次函数解析式为y=x-2x=(x-l)-l9

二抛物线的顶点坐标为(L-l),

故选c.

点睛：本题主要考查二次函数的性质，利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键.

6、C

【解析】

①利用抛物线两点式方程进行判断；

②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；

③利用顶点坐标公式进行解答；

④利用两点间的距离公式进行解答.

【详解】

(1-a)x-l=(x-1)(ax+1).则该抛物线恒过点A(1,0).故①正确;

②•.•y=ax4(1-a)x-1(a>0)的图象与x轴有1个交点，

/.△=(1-a)48a=(a+1)*>0,

，aR-L

...该抛物线的对称轴为：x=^=1--,无法判定的正负.

2a2a

故②不一定正确；

③根据抛物线与y轴交于(0,-1)可知，y的最小值不大于-1,故③正确；

2

④TA(1,0),B0),C(0,-1),

a

：.当AB=AC时，.(1+-)2=Jl2+(-2)2,

Va,

解得：a=^5,故④正确.

2

综上所述，正确的结论有3个.

故选C.

【点睛】

b

考查了二次函数与X轴的交点及其性质.（1）.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-2，对称轴与抛物线唯一的

2a

交点为抛物线的顶点P;特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）；（1）.抛物线有一个顶点P,坐标

b

为P（-b/la,（4ac-bl）/4a）,当--=0,（即b=0）时，P在y轴上；当A=bL4ac=0时，P在x轴上；（3）.二次项系

2a

数a决定抛物线的开口方向和大小；当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；|a|越大，则抛物线的

开口越小.（4）.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左;

当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；（5）.常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与y轴交于（0,c）；（6）.

抛物线与x轴交点个数

A=bl-4ac>0时，抛物线与x轴有1个交点；A=bL4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

A=bl-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x=-b±Ybl—4ac乘上虚数i,整个式子除以la）；当a>0

时，函数在x=-b/la处取得最小值f（-b/la）=（4ac-bl）/4a；在｛x[x<-b/la｝上是减函数，在｛x[x>-b/la｝上是增函数；抛物

线的开口向上；函数的值域是｛y|y%ac-bl/4a｝相反不变；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，

解析式变形为y=axl+c（a/0）.

7、C

【解析】

如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有

偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.一组数据中出现次

数最多的数据叫做众数.

【详解】

解：7出现了2次，出现的次数最多，

二众数是7；

•.•从小到大排列后是：1,2,3,6,7,7,9,排在中间的数是6,

...中位数是6

故选C.

【点睛】

本题考查了中位数和众数的求法，解答本题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义.

8、C

【解析】

根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案.

【详解】

连接PE、PF、PG,AP,

由题意可知：ZPEC=ZPFA=PGA=90°,

11

:.SPBC=-BCPE=-x4x2=4,

A22

由切线长定理可知：SAPFC+SAPBG=SAPBC=4,

；・S四边形AFPG=SAABC+SAPFC+SAPBG+SAPBC=5+4+4=13,

113

J由切线长定理可知：SAAPG=一S四边形AFPG=>

22

131

=一XAG・PG,

22

13

.,.AG=—,

2

由切线长定理可知：CE=CF,BE=BG,

/.△ABC的周长为AC+AB+CE+BE

=AC+AB+CF+BG

=AF+AG

=2AG

=13,

故选C.

【点睛】

本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型.

9、A

【解析】

直接利用在A,B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%,而从A地到B地的时间缩短了lh,利用时间差值得

出等式即可.

【详解】

解：设原来的平均车速为xkm/h,则根据题意可列方程为：

180180

—"(1+50%)%-'

故选A.

【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键.

10、C

【解析】

根据题意知小李所对应的坐标是（7,4）.

故选C.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、NA=NC或NADC=NABC

【解析】

本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可.

【详解】

添加条件可以是：NA=NC或NADC=NABC.

•添加NA=NC根据AAS判定△AOD^ACOB,

添加NADC=NABC根据AAS判定AAOD^ACOB,

故填空答案：ZA=ZC或NADC=ZABC.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解题的关键.

1

12、一

2

【解析】

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示.|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的

距离.

【详解】

-工的绝对值是I--k-

222

【点睛】

本题考查的是绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.

13、（7,4）

【解析】

分析：根据勾股定理，可得8',根据平行四边形的性质，可得答案.

详解：由勾股定理得：OD'=ylD'^-AO2=4，即〃(0,4).

矩形ABCD的边AB在x轴上，二四边形ABC'。'是平行四边形，

AD0=BC,CZ)0=AB=4-(-3)=7,C'与。，的纵坐标相等，；.C'(7,4),故答案为(7,4).

点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出AD仁BC,CW=AB=4-(-3)=7是解题的关键.

14、4、-或1

【解析】

先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长.

【详解】

①如图：因为AC=_=2,

'7.-V-?

点A是斜边EF的中点,

所以EF=2AC=4

②如图：

因为BD==5,

点D是斜边EF的中点,

所以EF=2BD=1,

CE

综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是47或1,

V**

故答案是：4、y或1.

V**

【点睛】

此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解.

15、5.2

【解析】

分析：首先根据平均数求出x的值，然后根据方差的计算法则进行计算即可得出答案.

详解：I•平均数为6,，（3+4+6+x+9）+5=6,解得：x=8,

••・方差为：-P（3-6）2+（4-6）2+（6-6）2+（8-6）2+（9-6）21=5.2.

点睛：本题主要考查的是平均数和方差的计算法则，属于基础题型.明确计算公式是解决这个问题的关键.

16、12

【解析】

根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出线段长

度解答.

【详解】

根据题意观察图象可得BC=5,点P在AC上运动时，BPLAC时，BP有最小值，观察图象可得，BP的最小值为4,

即BP，AC时BP=4,又勾股定理求得CP=3,因点P从点C运动到点A,根据函数的对称性可得CP=AP=3,所以AABC

的面积是一x（3+3）x4=12.

2

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型.

17、22.5°

【解析】

四边形ABCD是矩形，

.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

OA=OB=OC,

ZOAD=ZODA,ZOAB=ZOBA,

ZAOE=ZOAD+ZODA=2ZOAD,

ZEAC=2ZCAD,

ZEAO=ZAOE,

AE±BD,

/AEO=90°,

ZAOE=45°,

ZOAB=ZOBA=67.5°,

即NBAE=NOAB-ZOAE=22.5°.

考点：矩形的性质；等腰三角形的性质.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、V2-1.

【解析】

试题分析：

Y2%+2x-1

试题解析：原式二:―-7x——

(x+2)2xx+2

_xx-l

x+2x+2

1

x+2

原式二血

当—l时,—L

考点：分式的化简求值.

19、（1）CE=4C；（2）BG=8应；（3）证明见解析.

【解析】

（1）只要证明△ABCS4CBE,可得生=竺，由此即可解决问题；

CEAC

BGBE__________

（2）连接AG,只要证明△A3GSAF3E,可得不;二钎，由BE=&4后一屿面=4,再求出3尸，即可解决

JABBF'

问题；

（3）通过计算首先证明CF=FG,推出NFCG=NFGC,由C尸〃50,推出NGCF=NBDG,推出NBDG=N5GZ>

即可证明.

【详解】

解：（1）：BH与。。相切于点B,

VBH/7CE,

.•.CE±AB,

TAB是直径，

.\ZCEB=ZACB=90°,

VZCBE=ZABC,

.".△ABC^ACBE,

.BCAB

••一,

CEAC

''AC=y/AB2-BC2=476>

.♦.CE=40.

(2)连接AG.

VZFEB=ZAGB=90°,ZEBF=ZABG,

/.△ABG^AFBE,

.BGBE

••一,

ABBF

VBE=(4后=4,

-BF=VBE2+EF2=3V2，

.-G_4

12—3亚，

，BG=8&.

(3)易知CF=40+0=50,

.,.GF=BG-BF=5V2.

,,.CF=GF,

.".ZFCG=ZFGC,

VCF/7BD,

.,.ZGCF=ZBDG,

/.ZBDG=ZBGD,

.".BG=BD.

H

【点睛】

本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题

的关键.

20、(1)当OVxWl时,PD=l-x,当1VXW14时,PD=x-l.

3

--^+12(5<x<8)

(2)y=j2x-16(8<x<9)；(3)5<x<9

--x2+—x-88(9<^<14)

、55

【解析】

(1)分点P在线段CD或在线段AD上两种情形分别求解即可.

(2)分三种情形：①当5<x<l时，如图1中，根据y=；SADPB,求解即可.②当l<x<9时，如图2中，根据y=^-SADPB,

求解即可.③9VxW14时，如图3中，根据y=S&APQ+SAABQ-SAPAB计算即可.

(3)根据(2)中结论即可判断.

【详解】

解：(1)当OVxWl时，PD=l-x,

当IV烂14时，PD=x-l.

(2)①当5<x<l时，如图1中,

B

图1

•••四边形ABCD是矩形，

/.OD=OB,

111,、3,、3

..y=-SADPB=­x—•(1-x)»6=—(1-x)=12--x.

22222

②当1<XS9时，如图2中，y=-SADPB=-x-(x-1)xl=2x-2.

一222

葭_____________

AB

图2

14、13/、1,、2,48

③9VxW14时，如图3中，y=S^APQ+SAABQ-SAPAB=]・(14-x)(x-4)+—xlx—(tx-4)--Xlx(14-X)=--x2+—x-11.

25255

D«______________

.4B

图3

f3

--x+12(5<x<8)

综上所述，y={2x-16(8<x<9)

--x2+—x-88(9<x<14)

、55

(3)由(2)可知：当5WxW9时，y=；SABDP.

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识,解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想

思考问题，属于中考常考题型.

21、(1)见解析(2)6

【解析】

(1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADFsZ\DEC.

(2)利用AADFS/\DEC,可以求出线段DE的长度；然后在在RtAADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.

【详解】

解：(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,AD/7BC

.,.ZC+ZB=110°,ZADF=ZDEC

VZAFD+ZAFE=110°,ZAFE=ZB,

/.ZAFD=ZC

在小ADF与△DEC中，VZAFD=Z