2024年辽宁省中考一模统考考试九年级数学试题（含答案）

2024年辽宁省中考一模统考考试九年级数学试题

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

1.（3分）2024的倒数是（）

A.2024B.-2024C.1D.一」

20242024

2.（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）

3.（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中

心对称图形的是（）

4.(3分)下列运算正确的是()

can

A.(-m2n)3=-相6“3B.m-m=m

C.Gn+2)2=/7?2+4D.(12m45-3m)4-3m=4m3

5.（3分）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D,一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现

任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（)

1

C2

43"I

6.（3分）一元二次方程/-3x+2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

7.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于点尸,

,则N3的度数为（)

C.55°D.60°

8.（3分）如图,在△ABC中，AB=BC^AC,。是8C的中点,DE±AB于点E,则的面积与△ABC

的面积之比为)

1：4C.1：2D.2：5

9.（3分）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.他

的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿有多长.设竹竿长

尤尺，则根据题意，可列方程（）

2

A.(x+4)2+(x+2)2=/B.(x-4)2+(x-2)2=J?

C.(x-4)2+(x+2)2=工2D.(x+4)2+(x-2)2==x2

10.(3分)如图，在矩形ABC。中，点石在A。上，且EC平分N3a),AB=2,ZABE=45°,则OE的长

为()

A.2V2-2B.聘7C.V3-1D.2V2

二、填空题

11.（3分）式子J羡在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

12.（3分）分解因式：4x2-4=.

13.（3分）一个正多边形的每个外角的度数是72°,则这个正多边形的边数是.

14.（3分）如图，在直角△AB。中，AO=M，AB=1,将△AB。绕点。顺时针旋转105°至2'。的

位置，点E是。夕的中点，且点E在反比例函数y=K的图象上，则上的值为.

V

15.（3分）如图，正方形ABCZ）中，49=9,点E是对角线8。上一点，连接AE,过点E作交BC

于点F,连接AF,交BD于点G,将△EPG沿EF翻折，得到△EFM,连接AM,交EF于点N,若BF=LBC,

3

则线段4W的长是.

3

16.(1)计算：3tan30。.g)2+IV3-2|;

17.在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”

成为了某镇政府的核心任务.2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：

类别小麦大豆

总产量/万公斤1440270

通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩.

（1）求小麦的种植面积.

（2）为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求

改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一.求改种蔬菜的土地的最大面积.

18.近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝

建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中

国”印章篆刻比赛四类（依次记为A,B,C,。）.为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有

意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并

将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）.请根据图表提供的信息，解答下列问题：

4

“中华经典诵写讲大赛，，参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，

在其后“[]”内打“，”，非常感谢您的合作.

A.“诵读中国''经典诵读[]

B.“诗教中国”诗词讲解[]

C.“笔墨中国''汉字书写[]

D.“印记中国''印章篆刻[]

类别占调查人数的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比根为；

（2）请补全统计图；

（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，

求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；

（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次

记为6,c,d,e）,由电脑随机给每位参赛选手派发一组.选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列表或画

树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.

19.每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株体较

大的银杏树，要求在5小时内种植完毕，已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中由于起重

机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两

个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y甲（棵），乙组植树数量为丁乙（棵），y甲，y乙与x之间的

函数关系图象如图所示，

5

（1）求y乙与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求加、”的值；

（3）直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵?

20.为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线A3、

AC与地面的夹角分别为22°和31°,ATA.MN,垂足为T,大灯照亮地面的宽度的长为5%

6

（1）求8T的长（不考虑其他因素）.

（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s,从发现危险到电动车完全停下所行驶的距

离叫做最小安全距离.某人以20fow//z的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是工鱼1r

9

请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理

由.

（参考数据：sin22°心旦，tan22°心2,sin31°2卫，tan31°

85255

21.如图，AB是O。的直径，点C为。。上一点，连接2C,过点。作BC的垂线交8C于点尸，交O。于点

E,AE与交于点H,8。是。。的切线，交OE延长线于。，连接BE,CE.

（1）求证：ZODB^ZAEC；

（2）若BH=15,tanA=2,求。。的半径.

6

22.如图1,正方形ABC。的顶点A,B的坐标分别为(0,10),(8,4),顶点C,。在第一象限.点尸从点

A出发，沿正方形按A-B-C方向运动，同时，点。从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动,

当点尸到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动时间为f(s),△。尸0的面积S(平方单位).

(1)正方形ABCD的边长为；

(2)当点P由点A运动到点8时,过点P作PMLy轴交y轴于点M,已知随着点尸在A8上运动时聘力,

AM3

△OP。的面积S与时间f(s)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图2所示)，

求：①点P,。两点的运动速度为;

②S关于t的函数关系式为；

(3)当点P由点B运动到点C时，经探究发现△OP。的面积S是关于时间f(s)的二次函数，其中S与

f部分对应取值如下表：

t101520

S2876m

求：机的值及S关于/的函数关系式.

(4)在(2)的条件下若存在2个时刻a,t2(Zi</2)对应的△。尸。的形状是以OP为腰的等腰三角形,

点尸沿正方形按A-B-C方向运动时直接写出当七得％弓±2时，△OP。的面积S的值.

图1图2

23.【定义学习】

过平面内一定点作两条直线(不平行)的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”,

在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”.

如图1,OAMi,OBM1,垂足分别为A、B,则为''点足三角形"，/AO8为“垂角”.

7

图1图2图3

【性质探究】

（1）两条直线相交且所夹锐角为a度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为度

（用a表示）.

（2）如图2,点。为平面内一点，OAMA,OBLh,垂足分别为A、B,将“垂角”绕着点。旋转一个角

度，分别与/1,12,相交于C、D,连接CD求证：AOABSAOCD.

【迁移运用】

（3）如图3,/MPN=a，点A在射线上，点8是射线PN上的点，且tana=旦，B4=4.则的

4

外部是否存在一点。使得“点足三角形"的面积为22，若存在，求出此时尸8的长；若不存在，请说明

25

理由.

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

1.（3分）2024的倒数是（）

A.2024B.-2024C.—」D.一」

20242024

【解答】解:2024的倒数是

2024

故选：C.

2.（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）

8

【解答】解：由题意知，题中几何体的左视图为:

故选：D.

3.（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中

心对称图形的是（）

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意;

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

4.（3分）下列运算正确的是（

9

5

A.（-机2〃）3=_m6〃3B.m-m3=52

C.（m+2）2=m2+4D.（12m4-3m'）4-3m=4m3

【解答】解：（-加5）=-m6n3,故选项A正确；

m5-m3不能合并为一项，故选项B错误；

。叶2）2=毋+4"计4,故选项C错误；

（12m4-3m）-j-3m=4m3-1,故选项D错误；

故选：A.

5.（3分）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D,一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现

任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（）

4323

【解答】解：画树状图如下：

开始

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即A。、BD、CD、DA,DB、DC,

.••小灯泡发光的概率为&=上,

122

故选：C.

6.（3分）一元二次方程/-3x+2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

【解答】解：/-3尤+2=0,

A=(-3)2-4XlX2=l>0,

10

所以方程有两个不相等的实数根,

故选：B.

7.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于点P,

.".Zl+Z<9FB=180",

VZ1=155°,

；./OFB=25°,

"：ZPOF=Z2=30°,

/.Z3=ZPOF+ZOFB=30°+25°=55°.

8.（3分）如图，在△ABC中，AB^BC^AC,。是2C的中点，于点E,则的面积与△ABC

的面积之比为（）

【解答】解:连接AD,

'：AB=BC^AC,

：.AABC是等边三角形,

:,。是2C的中点，

：.AD1BC,

设等边三角形的边长为a,

11

贝!JBD=L,

2__________

根据勾股定理，得AD==与。,

*e,AABC的面积

VAABC是等边三角形,

.\ZB=60°,

■:DELAB,

：.ZBED=90°,

：.ZBDE=30°,

.\BE=—BD=­X^La=^a,

2224

根据勾股定理，DE=)码)2Ga)2=与a,

,•ABED的面积=_^BE，DE=£4a•乎~a=W~a2，

.•.△BOE的面积与△ABC的面积之比为(△叵软2)：(1a2)=1：8,

故选：A.

9.（3分）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.他

的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿有多长.设竹竿长

x尺，则根据题意，可列方程（）

A.(x+4)2+(%+2)2=/B.(x-4)2+(x-2)2=/

C.(x-4)2+(x+2)2=/D.(x+4)2+(x-2)2=/

【解答】解：:竹竿的长为1尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.

12

门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，

.,•可列方程为（x-4）2+（%-2）2=/,

故选:B.

10.（3分）如图，在矩形4BCD中，点E在AO上，且EC平分/BED,AB=2,ZABE=45°,则。E的长

为（）

A.272-2B..11.-1C.V3-1D.2^2

【解答】解：•••四边形ABC。为矩形，

J.AD//BC,AD=BC,NA=90°,

'：AB=2,ZAB£=45°,

：.AE=AB^2,

••BE=7AB2+AE2=2版,

'：AD//BC,

：.ZDEC^ZECB,

•:EC平分/BED,

:.NBEC=NDEC,

：.ZBEC=ZECB,

:.BC=BE=2a，

：.AD=242,

：.DE^AD-AE=2近-2,

故选：A.

二、填空题

11.（3分）式子J荔在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x25

【解答】解：式子J羡在实数范围内有意义，则x-5'O,

故实数x的取值范围是：x25.

故答案为：尤25.

13

12.(3分)分解因式：4/-4=4(x+1)(x-1).

【解答】解：原式=4(x2-1)=4(x+1)(x-1).

故答案为：4(x+1)(x-1).

13.(3分)一个正多边形的每个外角的度数是72。，则这个正多边形的边数是二

【解答】解：360+72=5,那么它的边数是5.

14.(3分)如图，在直角△A3。中，AO=M，AB=1,将△AB。绕点。顺时针旋转105°至4。的

位置，点E是。夕的中点，且点E在反比例函数y=区的图象上，则々的值为

【解答】解：如图，作即，x轴，垂足为

•*,BO=VAB2+AO2=2-

：.AB=^BO.

2

/.30°.

又△A3。绕点。顺时针旋转105°至B'。的位置,

/BOB'=105°.

.•./B'OX=45°.

又点E是OB，的中点，

：,OE=1BO=I.

2

在Rtz^EO”中，

N3'OX=45

14

：.EH=OH=J^-OE=^.

_22

：.E（亚,迎）.

22

又£在y=K上，

X

...仁返_乂亚”.

222

故答案为：1.

2

15.（3分）如图，正方形ABC。中，4。=9,点E是对角线2。上一点，连接AE,过点E作交BC

于点F,连接AF,交BD于点G,将△EEG沿EF翻折，得到连接AM,交EF于点N,若BF=LBC,

3

则线段AM的长是对远

【解答】解：•••四边形ABC。是正方形,

：.AD//BC,AB=BC=A£>=9,

：.BF=1BC=3,

3

在中，根据勾股定理得:

AF=7AB2+BF2=792+32=3,

'：AD//BC,

：.丛AGDsAFGB,

.AG=AD

"FG防’

.AG=2=3

"FG百

：.AG^3FG,

'：AG+FG=AF,

.,.3FG+FG=3l5,

15

7,

：.AF=4FG=3-/10,

*：BD是正方形ABCD的对角线，

AZABZ)=45°,

VEFXAE,

AZAEF=90°=NABC,

：.ZABC+ZAEF=180°,

・••点A,B,F,E四点共圆,

：.ZEFG=ZABD=45°,

・・・将△4G沿EF翻折，得到△EFM,

:・FG=FM,/EFM=/EFG,

:・FM=FG=SJ^,/EFM=/EFG=45

：.ZAFM=ZEFM^ZEFG=450+45°=90°,

2

/.AM=7AF2+FH2=^(3^)2+(3^0_)=3V17p_

故答案为：3Vnp_.

三、解答题

16.(1)计算：3tan30°-(^-)2+|V3-2|;

【解答】解：(1)3tan300-(y)-2+|^/3-2|

=3X^-4+2-V3

3

=73-4+2-V3

16

=1

^3'

17.在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”

成为了某镇政府的核心任务.2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：

类别小麦大豆

总产量/万公斤1440270

通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩.

（1）求小麦的种植面积.

（2）为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求

改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一.求改种蔬菜的土地的最大面积.

x-5000x

即1080=1440

x-5000x

方程两边同乘X（X-5000）,

得1080%=1440（%-5000）,

解得x=20000.

检验：当尤=20000时，尤（尤-5000）W0,

.*.x=20000是分式方程的解.

答：小麦的种植面积为20000亩；

（2）设改种蔬菜的面积为y亩，

根据题意得y<]（20000-y）•

解得yW4000.

答:改种蔬菜的最大面积为4000亩.

18.近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝

建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中

国”印章篆刻比赛四类（依次记为A,B,C,D）.为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有

意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并

17

将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）.请根据图表提供的信息，解答下列问题:

“中华经典诵写讲大赛''参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，

在其后“[]”内打“，”，非常感谢您的合作.

A.“诵读中国''经典诵读[]

B.“诗教中国”诗词讲解[]

C.“笔墨中国”汉字书写[]

D.“印记中国''印章篆刻[】

类别占调查人数的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）参与本次问卷调查的总人数为120人,统计表中C的百分比拼为50%；

（2）请补全统计图；

（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，

求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；

（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次

记为6,c,d,e）,由电脑随机给每位参赛选手派发一组.选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列表或画

树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.

【解答】解：（1）调查人数为：844-70%=120（人），

C的百分比为：60^-120X100%=50%,

故答案为：120,50%；

（2）8组的人数=120X30%=36（人），

18

补全条形统计图如下:

如：由统计表可知70%+30%+50%+20%>1.即有意向参与比赛的人数占调查总人数的百分比之和大于1；

或84+60>120,即有意向参与A类与C类的人数之和大于总人数120；

（4）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

手

乙选至WPQR

WWWPWQWRW

PWPPPQPRP

QWQPQQQRQ

RWRPRQRRR

共有16中等可能出现的结果，其中甲、乙抽到的题目在同一组的有4种，

所以甲、乙抽到的题目在同一组的概率为且=2.

164

19.每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株体较

大的银杏树，要求在5小时内种植完毕，已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中由于起重

机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两

个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y甲（棵），乙组植树数量为丫乙（棵），y甲，y乙与x之间的

函数关系图象如图所示，

（1）求y乙与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求m、w的值；

（3）直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？

19

【解答】解：（1）设y乙与x之间的函数关系式是＞乙=质，

;点（5,100）在该函数图象上，代入关系式得：100=5左，

解得左=20,

即y乙与x之间的函数关系式是y乙=20x（0WxW5）；

（2）根据题意得，

乙每小时植树：100+5=20（棵），

则甲每小时植树：35-20=15（棵），

.*.n=15,m=120,

即m的值是120,n的值是15；

（3）设甲、乙两个小组经过a小时共植树165棵，

甲2小时之后每小时植树：（120-15）+（5-2）=105+3=35（棵），

20a+15+35（a-2）=165,

解得：a=4,

答：甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵.

20.为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线A3、

AC与地面跖V的夹角分别为22°和31°,AT1MN,垂足为T,大灯照亮地面的宽度BC的长为反”

6

（1）求BT的长（不考虑其他因素）.

（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s,从发现危险到电动车完全停下所行驶的距

离叫做最小安全距离.某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是当『

9

请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理

由.

（参考数据：sin22°七三，tan22°-2,sin31°七23,tan31°

85255

20

【解答】解：⑴根据题意及图知：NACT=31°,NABT=22。

"：AT±MN

：./ATC=90°

在RtA4CT中，ZACT=31

tan31AT3

Cf"5

可设AT=3x米，则CT=5x米,

在Rt"BT中，ZABT=22°

•,.tan22°=AL=AT用

BTBC<T5

♦,•CT=5x]-|(M，

•••BT=BC©

b3春Z；

⑵20km/h=-^-in/sf

患X0.2=¥『

yy

10148、5

9932

...该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求.

21.如图，AB是。。的直径，点C为。。上一点，连接BC,过点。作BC的垂线交BC于点R交。。于点

E,AE与BC交于点反，8。是。。的切线，交OE延长线于。，连接BE,CE.

(1)求证：ZODB=ZAEC；

(2)若BH=15,tanA=旦，求。。的半径.

21

A

【解答】(1)证明：・・・30是。。的切线，是。0的直径,

：.ABLBD,即ND03+N005=90°,

,?0FLBC,

：.ZFOB+ZOBF=90°,

：.Z0DB=ZABC,

,?ZAEC=AABC,

：.ZODB=ZAEC；

(2)连接BE,

OELBC,

：.OE1垂直平分BC,

:・BF=CF,BE=CE,

：.ZCBE=ZBCE=NBAE,

・.・ZBEH=NAEB,

：.LABEsABHE,

：.ZEBH=ZA,

•「AB为。。的直径，

ZAEB=90°,

在RtABEH中，tan/EBH=tanA=f7,

4

'：tanZEBH=^,

BE

22

•*-EH=^-BE）

由勾股定理得，BH2=BE1+HE1,即eBE）2+BE2=BM=152，

解得：BE=12或-12（舍），

V+anA=—>tanA=^^,

tanA4AE

•BE=2,

"AET

：.AE=16,

48=7AE2+BE2=20，

：.QO的半径为10.

22.如图1,正方形ABCD的顶点A,8的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,。在第一象限.点尸从点

A出发，沿正方形按A-B-C方向运动，同时，点。从点E（4,0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动,

当点P到达点C时，P,。两点同时停止运动，设运动时间为f（s）,△。尸。的面积S（平方单位）.

（1）正方形A2CD的边长为10；

（2）当点尸由点A运动到点B时，过点P作PMLy轴交y轴于点M,已知随着点尸在A8上运动时映

AM3

△OP。的面积S与时间，（s）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），

求：①点P，。两点的运动速度为1单位/秒；

②s关于t的函数关系式为—s=-nrt2-^-t+20（o<t<10）—；

1Ub

（3）当点P由点8运动到点C时，经探究发现△OP。的面积S是关于时间f（s）的二次函数，其中S与

t部分对应取值如下表：

t101520

S2876m

求：机的值及S关于/的函数关系式.

（4）在（2）的条件下若存在2个时刻fi,t2（M</2）对应的△。尸。的形状是以OP为腰的等腰三角形,

点尸沿正方形按A-B-C方向运动时直接写出当七号％弓土2时，△°F。的面积S的值.

23

图1图2

【解答】解：⑴VA,B的坐标分别为(0,10),(8,4),

•*-AB=V(0-8)2+(10-4)2=10'

正方形的边长为10,

故答案为：10；

(2)①由图2可知，当f=10时，5=28,此时点尸从A点移动到8点,

；.点P从A点移动到2点用了10s,

由(1)得：48=10,

V104-10=1,

.：P、。两点的速度为1单位/秒，

故答案为：1单位/秒；

图1

由题意得：AP—t,EQ—t,。4=10,

OQ=OE^EQ=4^-t,

・•・—PA二—5，

AM3

.3

,,AM『，

b

.3

••OM=OA-AM=10-V

b

24

即S=4oQ•OM=/(t+4)(10咯t)=Wt2老t+20(O<t<10)'

NZb1Ub

(3)由题意可得：

由题意可得：t=20时，点尸运动到点C处，EQ=20,

，0。=0E+EQ=4+20=24,

过点C作轴于H,过点8作BGLy轴交CH于点N,如图2,

图2

则CN±CH,

：.ZAGB=ZBNC=ZCHO=900,

：.ZBAG+ZABG^90°,四边形OG7/N为矩形,

•..四边形A8CD是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90°,

：.ZCBN+ZABG=9Qa,

:./CBN=/BAG,

:.△ABGWMCN(AAS),

VA,2的坐标分别为(0,10),(8,4),

：.AG=6,BG=8,0G=4,

:.AG=BN=6,BG=CN=8,NH=OG=4,

；.CH=4+8=12,GN=8+6=14,

...点C坐标(14,12),

.1

•或X24X12=144，

设S关于f的函数关系式为S=aF+bt+c,

'100a+10b+c=28①

J225a+15b+c=76②，

400a+20b+c=144®

25

由②-①，③-②得：［125a+5b=48,

I175a+5b=68

f_2_

a=?

解得：卜2,

b=T

c=-8

.9o9

,,Syt-8(10Vt420)；

bb

(4)解：由题意得：AP=t,EQ=t,OA10,

OQ=OE^-EQ=4+t,

.•.—PA二—5,

AM3

.3

,■AM『，

b

PM=VAP2-AM2冬，

b

•••OM=OA-AM=10^3-V

b

当。尸=尸。时，作PK_LOQ于K,如图3,

.1

••MP=OK=yOQ'

•41.、

(4+t)'

D/

解得：t吟；

当OP=OQ时，MP-+OM2^OP~,

A2Q2

；•(^t)+(10-r-t)=(4+t)2'

DD

解得：t旦，

5

26

综上可得：t,巨，tc卫■，

“523

二当/=12时，S=^|-X122-|-X12-8-^j^-

555

23.【定义学习】

过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”,

在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”.

（1）两条直线相交且所夹锐角为a度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为_jx

度（用a表示）.

（2）如图2,点。为平面内一点，0B±l2,垂足分别为A、B,将“垂角”绕着点。旋转一个角

度，分别与/1,12,相交于C、D,连接CD求证：AOABsAocD.

【迁移运用】

（3）如图3,/MPN=a，点A在射线上，点B是射线PN上的点，MtanCt=2,抬=4.则/MPN

4

的外部是否存在一点。使得“点足三角形048"的面积为皇，若存在，求出此时尸3的长；若不存在，请

25

说明理由.

【解答】（1）解：如图1,,：ZCAO=ZCBO=90°,

...点A,点3,点。，点C四点共圆，

ZACB=ZAOB=a,

“垂角”度数为a度，

故答案为：a；

27

(2)...将“垂角”绕着点。旋转一个角度，分别与/1,12,相交于C、D,

：.ZAOC=ZBOD,

\'OA±AC,OB±BD,

.•.在RtZkCAO中，cos/AOC=空，

oc

在Rtz\D20中，cosNBOD=包，

OD

cosZAOC=cosZBOD,

即处幽，

OCOD

又：ZAOB^ZCOD,

:.△ONBsXOCD.

(3)当定点。在两直线的同侧，且在PN的下方时，令0A与PN交于点、D,过点A作AELPN于点E,

如图：

'：OA1PM,OBLPN,且

NP=NO=a,

又,：AELPN,OALPM,ZADP=ZADP,

/P=NEAD=a,

在RtZ\B4£)中，tanP=tana=£?>=3,B4=4,

AP4

・・・AO=3,

:，PD=NAP2+AD2=V16+9=5,

在RtAEAZ)中，tanNE4Z)=tana=E5L屈，

AE4

设0E=3x,贝！jAE=4x,且A0=3,

在RtZXEA。中，AD2=AE2+DE2