2024年中考复习数学导学案：几何图形综合

初中数学几何图形综合题

【题型特征】以几何学问为主体的综合题，简称几何综合题,主要探讨图形中点与线之间的位置关系、数量关系，

以及特定图形的判定和性质.一般以相像为中心，以圆为重点，经常是圆与三角形、四边形、相像三角形、锐角三角

函数等学问的综合运用.

【解题策略】解答几何综合题应留意:（1）留意视察、分析图形，把困难的图形分解成几个基本图形,通过添加协助

线补全或构造基本图形.（2）驾驭常规的证题方法和思路；（3）运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解

决几何计算问题.还要敏捷运用其他的数学思想方法等.

【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何学问的问题.这类问题的主要特点是包含学问点多、

覆盖面广、逻辑关系困难、解法敏捷.解题时必需在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含

的数量关系和位置关系，在困难的“背景”下分辨、分解基本图形，或通过添加协助线补全或构造基本图形，并擅长

联想所学学问，突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.

【提示】几何论证型综合题以学问上的综合性引人注目.值得一提的是，在近年各地的中考试题中，几何论证型综

合题的难度普遍下降，出现了一大批探究性试题,依据新课标的要求,削减几何中推理论证的难度,加强探究性训练，

将成为几何论证型综合题命题的新趋势.

为了复习便利,我们将几何综合题分为：以三角形为背景的综合题；以四边形为背景的综合题；以圆为背景的综合题.

类型1操作探究题

1.在Rt^ABC中，NC=90°,Rt^ABC绕点A顺时针旋转到Rt^ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD,过点D

作DF±AC于点F.

⑴如图1,若点F与点A重合，求证：AC=BC；

（2）若NDAF=/DBA.

①如图2,当点F在线段CA的延长线上时，推断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.

解：（1）证明：由旋转得，NBAC=/BAD,

VDF±AC,

AZCAD=90°.

/.ZBAC=ZBAD=45

VZACB=90°，

，NABC=45°.

，AC=BC.

⑵①AF=BE.理由：

由旋转得AD=AB,AZABD=ZADB.

NDAF=ZABD,ZDAF=ZADB.

・・・AF〃BD.・・・NBAC=NABD.

ZABD=ZFAD,由旋转得NBAC=ZBAD.

ZFAD=ZBAC=ZBAD=1/3X180°=60°.

由旋转得，AB=AD..・.△ABD是等边三角形....AD=BD.

在4AFD和ABED中：1.ZF=ZBED=90°；2.AD=BD；3.ZFAD=ZEBD,AAAFD^ABED(AAS).AAF=BE.

②如图

由旋转得NBAC=NBAD.

ZABD=NFAD=ZBAC+NBAD=2NBAD,

=

由旋转得ADABf

・•・ZABD=ZADB=2ZBAD.

VZBAD+ZABD+ZADB=180°,

ZBAD+2ZBAD+2ZBAD=180°..'.ZBAD=36°.

设BD=a,作BG平分NABD,

・・・NBAD=NGBD=36°.AAG=BG=BD=a.

・・・DG=AD—AG=AD—BG=AD—BD.

NBDG=ZADB,ABDG^AADB.

・・・BD/AD=DG/DB..・・BD/AD=(AD-BD)/BD・・・AD/BD=(1+根号5)/2。

VZFAD=ZEBD,ZAFD=ZBED,AAFD^ABED.

；.BD/AD=BE/AF.；.AF=BD/AD•BE=Q+根号5)/2*x.

2.如图1,点。是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长0D到点G,0C到点E,使0G=20D,0E=20C,然后以

OG,0E为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.

⑴求证:DEXAG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点。逆时针旋转a角(0°<a<360°)得到正方形OE'『G',如图2.

①在旋转过程中，当N0AG'是直角时，求a的度数；

②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时a的度数，干脆写出结果不必说明理由.

解：(1)证明：延长ED交AG于点H,

:点。是正方形ABCD两对角线的交点，

.\0A=0D,0A±0D.

在AAOG和ADOE中，1.OA=OD；2.ZAOG=ZD0E=90°；3.0G=0E

.•.△AOG^ADOE..,.ZAGO=ZDEO.

：NAGO+/GAO=90°,/.ZGA0+ZDE0=90°.

AZAHE=90°,BPDEXAG.

(2)①在旋转过程中，/OAG，成为直角有两种状况：

(1)。由0。增大到90°过程中，当N0AG'=90°时，

：0A=0D=l/2*0G=l/2*0G',

.,.在RtZV)AG'中，sinZAG,O=OA/OG,=1/2

.'.NAG'0=30°.

VOA±OD,OA_LAG',.\OD//AG,.

/.ZD0G,=/AG'0=30°,即a=30°.

(II)a由90°增大到180°过程中，当NOAG'=90°时,

同理可求NBOG'=30°,；.a=180°-30°=150°.

综上所述，当NOAG'=90°时，a=30°或150°.

②AF'的最大值为2分子根号2+2,此时a=315。.

提不：如图

当旋转到A,0,r在一条直线上时，AF，的长最大，

•••正方形ABCD的边长为1,

.,.0A=0D=0C=0B=2分子根号2.

V0G=20D,.*.0G,=0G=..,.0F/=2.

/.AF7=AO+OFZ=2分子根号2+2.：NCOE，=45°,此时a=315°.

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是边CD上一点，将AADM沿直线AM对折，得到△ANM.

⑴当AN平分/MAB时，求DM的长；

⑵连接BN,当DM=1时，求4ABN的面积；

⑶当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.

解：（1）由折叠可知△ANMg△ADM,

ZMAN=ZDAM.

：AN平分NMAB,

.•.ZMAN=ZNAB.

ZDAM=ZMAN=ZNAB.

•••四边形ABCD是矩形，

.•.ZDAB=90°..,.ZDAM=30°.

ADM=AD•tan/DAM=3><3分子根号3=根号3。

⑵如图1,延长MN交AB延长线于点Q.

四边形ABCD是矩形，AB〃DC.

/.ZDMA=ZMAQ.

由折叠可知△ANM之△ADM,

.,.ZDMA=ZAMQ,AN=AD=3,MN=MD=1.

.\ZMAQ=ZAMQ.

；.MQ=AQ.

设NQ=x,则AQ=MQ=l+x.

在RtZkANQ中，AQ2=AN平方+NQ平方，

（x+1）平方=3的平方+x的平方.解得x=4.

；.NQ=4,AQ=5.

VAB=4,AQ=5,

；.SANAB=4/5*S,ANAQ=4/5•1/2•AN•NQ=24/5.

⑶如图2,过点A作AH_LBF于点H,则△ABHs^BFC,；.BH/AH=CF/BC.

：AHWAN=3,AB=4,

二当点N,H重合（即AH=AN）时，DF最大.（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大）

此时M,F重合，B,N,M三点共线，段ABFC（如图3）,

；.DF的最大值为4—根号7

图1

类型2动态探究题

4.（2024•自贡）已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.

（1）如图1,已知折痕与边BC交于点0,连接AP,OP,0A.若AOCP与4PDA的面积比为1：4,求边CD的长；

（2）如图2,在⑴的条件下，擦去折痕A0,线段0P,连接BP.动点M在线段AP上（点M与点P,A不重合），动点N

在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作MELBP于点E.试问当动点M,N在移动的过程中，线

段EF的长度是否发生改变？若改变，说明改变规律.若不变，求出线段EF的长度.

解：（1）：四边形ABCD是矩形，；.NC=ND=90°.

.•.ZAPD+ZDAP=90°.

,由折叠可得NAP0=NB=90°,

.,.ZAPD+ZCP0=90°./.ZCPO=ZDAP.

又：/D=/C,.'.△OCP^APDA.VAOCP与4PDA的面积比为1：4,

设OP=x,贝!]C0=8—x.在RtZiPCO中，ZC=90°,

由勾股定理得

，^#x=5.->.AB=AP=20P=10..>.CD=1O.

⑵过点M作MQ〃AN,交PB于点Q.

VAP=AB,MQ〃AN,

ZAPB=ZABP=ZMQP.

/.MP=MQ.VBN=PM,.\BN=QM.VMP=MQ,ME±PQ,.\EQ=O.5PQ.

VMQ/7AN,/QMF=ZBNF.

在△MFQ和ANEB中，1.NQFM=/NFB；2.ZQMF=ZBNF；3.MQ=BN

.•.△MFQ^ANFB(AAS).，QF=BF=O.5QB.

；.EF=EQ+QF=O.5PQ+0.5QB=0.5PB.由(1)中的结论可得PC=4,BC=8,ZC=90°,

...在⑴的条件下，当点M,N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.

5.如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5,2),点P

是CB边上一动点(不与点C,B重合)，连接OP,AP,过点0作射线0E交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且/

AOP=ZCOM,令CP=x,MP=y.

⑴当x为何值时，OPXAP?

(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在x,使aOCM的面积与4ABP的面积之和等于4EMP的面积.若存在，恳求x的

值；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意知OA=BC=5,AB=OC=2,ZB=Z0CM=90°,BC〃OA.

VOP±AP,

AZOPC+ZAPB=ZAPB+ZPAB=90°.

.,.ZOPC=ZPAB.

.'.△OPC^APAB.

解得xl=4,x2=l(不合题意，舍去).

.•.当x=4时，OP±AP.

(2)VBC/70A,ZCP0=ZA0P.

VZA0P=ZC0M,.,.ZCOM=ZCPO.

VZOCM=ZPCO,/.AOCM^APCO.

.'.y=x—4/x(2<x<5).

(3)存在x符合题意.过点E作EDLOA于点D,交MP于点F,则DF=AB=2.

A0CM与AABP面积之和等于△EMP的面积，

；.SZ\EOA=S矩形OABC=2X5=l/2•5ED.

.\ED=4,EF=2.

PM〃OA,/.AEMP<^AEOA.

解得y=5/2.

6.如图1,矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点0重合，且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCD沿0

B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点动身也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经

过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒.

(1)当t=5时，请干脆写出点D,点P的坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；

⑶点P在线段AB或线段BC上运动时，作

PELx轴，垂足为点E,当△PEO与4BCD相像时，求出相应的t值.

解：(l)D(-4,3),P(-12,8).

⑵当点P在边AB上时，BP=6—t.

.,.S=0.5BP•AD=O.5(6-t)•8=-4t+24.

当点P在边BC上时，BP=t—6.

/.S=0.5BP•AB=O.5(t-6)•6=3t-18.

类型3类比探究题

7.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,PE交CD于点F.

(1)求证：PC=PE；

⑵求NCPE的度数；

⑶如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当/ABC=120°时，连接CE,摸索究线段AP与线段CE

的数量关系，并说明理由.

解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,NABP=NCBP=45°,

在4ABP和4CBP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3.ZABP=ZCBP

.,.△ABP^ACBP(SAS)./.PA=PC.

又；PA=PE,；.PC=PE.

(2)由(1)知，AABP^ACBP,

.\ZBAP=ZBCP.AZDAP=ZDCP.

：PA=PE,NDAP=/E.

；./DCP=NE.

：NCFP=NEFD(对顶角相等)，

.•.180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

BPZCPF=ZEDF=90°.

(3)在菱形ABCD中，AB=BC,ZABP=ZCBP=60°，

在4ABP和4CBP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3.ZABP=ZCBP

.♦.△ABP之△CBP（SAS）.

/.PA=PC,ZBAP=ZBCP.

VPA=PE,.\PC=PE./.ZDAP=ZDCP.

VPA=PE,.\ZDAP=ZAEP.

.•.ZDCP=ZAEP.

：/CFP=/EFD（对顶角相等），

，180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZAEP,

即/CPF=/EDF=180°-ZADC=180°-120°=60°.

AEPC是等边三角形.PC=CE.

/.AP=CE.

8.己知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在AABC内，ZCAE+ZCBE=90°.

⑴如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.

①求证：△CAEs/^CBF；

②若BE=1,AE=2,求CE的长；

⑵如图2,当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=EF/FC=k时，若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值；

⑶如图3,当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且/DAB=/GEF=45°时，设BE=m,AE=n,CE=p,摸索究m,n,

P三者之间满意的等量关系.（干脆写出结果，不必写出解答过程）

解：（1）证明：①：四边形ABCD和EFCG均为正方形，

.•.ZACB=45°,ZECF=45°.

ZACB-ZECB=ZECF-ZECB,

即/ACE=NBCF.

.'.△CAE^ACBF.

@VACAE^ACBF,AZCAE=ZCBF,AE/BF=根号2.

；.BF=根号2.

又/CAE+/CBE=90°,

.•.ZCBF+ZCBE=90°,即NEBF=90°.

解得CE=根号6.

⑵连接BF,

VAB/BC=EF/FC=k,ZCFE=ZCBA,

.,.△CFE^ACBA.

.•.ZECF=ZACB,CE/CF=AC/BC.

.•.ZACE=ZBCF..•.△ACE^ABCF./.ZCAE=ZCBF.

VZCAE+ZCBE=90°,/.ZCBF+ZCBE=90°,

题型2与圆有关的几何综合题

9.(2024•成都)如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以CB为半径作。C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,

连接ED,BE.

(1)求证：△ABDs/^AEB；

⑵当BC(AB)=3(4)时，求tanE；

(3)在(2)的条件下，作NBAC的平分线，与BE交于点F,若AF=2,求。C的半径.

解：(1)证明：VZABC=90°,/.ZABD=90°-ZDBC.

VDE是直径，

；.NDBE=90°.

AZE=90°-ZBDE.

:BC=CD,ZDBC=ZBDE.

ZABD=ZE.

ZBAD=ZDAB,/.AABD^AAEB.

10.如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F.。0是

△BEF的外接圆，/EBF的平分线交EF于点G,交。0于点H,连接BD,FH.

(1)试推断BD与。0的位置关系，并说明理由；

⑵当AB=BE=1时，求。。的面积；

⑶在⑵的条件下，求HG・HB的值.

解：(1)直线BD与。0

相切.理由：连接0B.

:BD是RtZ\ABC斜边上的中线，.\DB=DC.

.\ZDBC=ZC.

V0B=0E,

.•.Z0BE=Z0EB.

XVZ0EB=ZCED,.\Z0BE=ZCED.

VDF±AC,.,.ZCDE=90°.

.\ZC+ZCED=90°.

.•.ZDBC+Z0BE=90°.

ABD与。0相切.

(2)连接AE.

在RtZXABE中，AB=BE=1,；.AE=根号2.

：DF垂直平分AC,；.CE=AE=根号2.；.BC=1+根号2.

VZC+ZCAB=90°,ZDFA+ZCAB=90°,AZACB=ZDFA.

又/CBA=NFBE=90°,A

B=BE,.•.△CAB^AFEB,

⑶TAB=BE,ZABE=90°,

；.NAEB=45°.

VEA=EC,.\ZC=22.5°.

AZH=ZBEG=ZCED=90°-22.5°=67.5°.

：BH平分NCBF,

.•.ZEBG=ZHBF=45°.

.,.ZBGE=ZBFH=67.5°.

11.如图，在AACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

⑴试说明CE是。。的切线；

⑵若4ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。0的直径AB；

⑶设点D是线段AC上随意一点（