2024年高考数学一轮复习（新高考版） 数列的概念

第六章数列

§6.1数列的概念

【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）2了解数列是

自变量为正整数的一类特殊函数.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列｛斯｝的第n项④与它的序号”之间的对应关系可以用

通项公式

一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

递推公式

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列｛诙｝的把数列｛斯｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛诙｝

前〃项和的前〃项和，记作Sn,即3〃=。］+。2+…+斯

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

递减数列1其中“GN*

项与项间的

常数列斯+1―斯

大小关系

从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列｛即｝是从正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到实数集R的函数，其自变量是庄

号小对应的函数值是数列的第"项斯,记为斯=黄"）.

【常用结论】

[S1，72=1,

1.已知数列｛斯｝的前〃项和S”则斯=。。j

On—1,

「。”，斯-1,

2.在数列｛a“｝中，若a”最大，贝小（九》2,）；若斯最小，贝1（〃》2,

"GN*）.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）

（1）数列的项与项数是同一个概念.（X）

⑵数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.（V）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（X）

（4）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.（V）

【教材改编题】

1.（多选）已知数列｛斯｝的通项公式为%=9+12小则在下列各数中，是｛分｝的项的是（）

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由数列的通项公式得，<71=21,42=33,<212=153.

2.已知数列｛如｝的前〃项和为S”，且S,="2+"，则。2的值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由题意，$2=2~+2=6,Si—H-1—2,所以“2=$2—51—6—2—4.

3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21,无,55,…中，尤=.

答案34

解析通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x=13

+21=34.

■探究核心题型

题型一由斯与%的关系求通项公式

例1（1）己知数列｛跖｝的前“项和为S"ai=2,S“+i=2S〃-1,则mo等于（）

A.128B.256C.512D.1024

答案B

解析：S,+i=2S,-1,...当心2时，S“=2S,T—1,两式相减得斯+i=2a〃.当n=l时，避

+“2=2ai—1,又(zi=2,.•.02=1..,.数列｛斯｝从第二项开始为等比数列，公比为2.则」硒=。2><28

=1X28=256.

(2)已知数列｛诙｝的前n项和为Sn,且满足S“=2"+2—3,则斯=.

[5,n=l,

答案I"十】，G2

解析根据题意，数列｛呢｝满足S,=20+2—3,

n+2n+1

当心2时，有an=Sn-Sn-1=(2-3)-(2-3)=

,小[5,n=\,

当〃=1时，有ai=Si=8—3=5,不符合a〃=2"i,故

1.2,“32.

思维升华sn与斯的关系问题的求解思路

(1)利用斯=S■—S-1522)转化为只含S”,ST的关系式，再求解.

(2)利用出一为-1=斯(〃22)转化为只含斯，斯t的关系式,再求解.

跟踪训练1(1)已知正项数列｛须｝中，丽+值~…+返产迎要,则数列｛斯｝的通项公式

为()

A.U，n=MB.Cln~~H

nn2

=

C.-2D.Cln~2

答案B

解析9>9y[a\+y[a2-\---H/^:二"｝),

y[ai+y[o2-\---卜y/a〃-1=阿2"("22),

两式相减得<£=处*"―迹尸=〃522),

,斯=/(G2),①

1义2

又当n=1时，—2—=1»。1=1,适合①式，

••du〃，〃£N'.

(2)设%是数列｛斯｝的前几项和，且〃1=—1,an+l=SnSn+lf则Sz=.

宏享—-

口水n

解析因为斯+1=5〃+1—Sn,即+1=5〃3〃+1,所以由两式联3L得Sz+i—Sz=S〃Sz+i.因为&W0,

所以；=1,即?――!=—1・又卷=—1，所以数歹N白是首项为一1,公差为一1的等

dn+1dn+1

差数列.所以上=—1+(〃-1)X(—1)=一〃，所以s.=一

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2设国表示不超过％的最大整数，如[-3.14]=—4,[3.14]=3.已知数列｛斯｝满足：0=1,

a“+i=a"+”+l("eN*),贝旧+£+*----等于()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由斯+1=。〃+〃+1,得〃〃一1=〃(〃22).又〃i=l,

所以an—(an~an-1)+(an-1—斯-2)H-----F(〃2-ai)+〃i=〃+(〃-1)+(〃-2)H------1-2+1=

心+1>

2(〃〜"2),

当n=l时，(2i=l满足上式，

则、痴W=2/-占).

所以小十…十忘

_2023

=1012,

所以—+―+—H-----H-------=1「I。=1.

八〃2〃3。2023」012_

命题点2累乘法

YI—1

例3在数列｛斯｝中，ai=l,an=-n-%-1(〃22,〃£N*),则数列｛斯｝的通项公式为

答案斯=:

〃—1

解析Van=nan-i(n^2),

.n—2n—31

•1"]〃〃-2,2〃2"〃-3,,,,,。22al.

以上(〃一1)个式子相乘得，

12n~1ai1

23nnn

当〃=1时，“1=1,符合上式，・•・4〃=1•

思维升华(1)形如斯+i—斯=X九)的数列，利用累加法.

(2)形如血"■=/(〃)的数列，利用斯=。14夜•…•马-(〃22)即可求数列｛斯｝的通项公式.

a?an-i

跟踪训练2(1)在数列｛诙｝中，41=2,诙+1=4”+111(1+《)，则等于()

A.2+lnnB.2+(H—l)lnn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

答案A

〃+1

解析因为念+i—斯=ln—1=ln("+1)—In〃，

所以〃2—〃i=ln2—In1,

。3—。2=In3―In2,

〃4—〃3=ln4—In3,

=

an—an-ilnln(n—1)(〃22),

把以上各式相加得an-ai=\nn~\n1,

则〃〃=2+ln〃(几22),且〃i=2也满足此式，

因此an=2+\n〃(〃£N*).

(2)已知数列ai,言…，念，…是首项为1,公比为2的等比数列，则地2斯=.

答案吗口

解析由题意知，m=1,巫=1义2"一i=2"-i(〃\2),

“八―1

n(n-l)

所以如=0-＞＜组」义…X殁义〃1=2"一1X2"-2义…x1=22(〃22),当〃=1时，。1=1适

12

合此式，

所以log2a"="('D.

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4设数列｛斯｝的前〃项和为S”且V/GN*,aza”,&2S6.请写出一个满足条件的数列

｛。〃｝的通项公式.

答案w—6,“GN*(答案不唯一)

解析由VwGN*,即+1＞诙可知数列｛斯｝是递增数列，又S.NS6,故数列｛即｝从第7项开始为

正.而期乏0,因此不妨设数列是等差数列，公差为1,。6=0,所以斯=〃一6,wGN*(答案

不唯一).

命题点2数列的周期性

例5若数列｛斯｝满足41=2,即+1==7^，则。2024的值为（)

A.2B.—3C.D.g

答案D

1+

Ir1+21-313

斛析由就思知，“1=2,”2=m^=—3,〃3=yq^=—5,〃4。5=T—2,%

一.一1+21-Q

1+21

=-j―3,•••,因此数列｛念｝是周期为4的周期数列，所以。2024="505、4+4=。4=?

I—25

命题点3数列的最值

例6已知数列｛斯｝的通项公式为诙=武不，其最大项和最小项的值分别为（）

111

1----C-

A.17B.O,77

答案A

解析因为“GN*,所以当时，斯=2〃1]5<0,且单调递减；当〃力4时，斯=>0,

且单调递减，所以最小项为。3=父最大项为〃4=i«1is=L

思维升华（1）解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据an+i-an的符号判断数列｛斯｝是递增数列、递减数列还是常数列.

（2）解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

跟踪训练3⑴观察数列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…,则该数列的第11

项是（）

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由数列得出规律，按照1,In2,sin3,…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，

由1匕3=3余2,所以该数列的第11项为In11.

2H—10

（2）已知数列｛斯｝的通项劣=2〃_21'"CN*，则数列｛%｝前20项中的最大项与最小项分别为

答案3,-1

?n—IQ2n—21+2?7

解析斯=7^—=1+产不当心11时,亍篇＞0,且单调递减；当1W后10

2〃—212〃—212n—212〃一21

2

时，三号＜o,且单调递减.因此数列｛诙｝前20项中的最大项与最小项分别为第n项，第

10项.aii=3,〃io=11.

课时精练

“础保分练

n—1

1.已知。"=前］，那么数列｛斯｝是()

A.递减数列B.递增数列

C.常数列D.摆动数列

答案B

解析诙=1一岛，将痣看作关于〃的函数，"GN*,易知数列｛a“｝是递增数列.

2.已知数列｛诙｝的前"项和a满足SS=S〃+i("eN*),且的=2,那么劭等于()

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因为数列｛诙｝的前w项和S,满足SS=S"+i("GN*),勿=2,

所以S,+i=2S〃，即铝=2,所以数列｛S,｝是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以S,

6

=2X2〃—1=2".所以当时，诙=5〃一3"一1=2"—2〃一1=2广1.所以a7=2=64.

3.已知数列｛斯｝满足〃i=l,an—an+i=nanan+i(neN*),则斯等于()

—〃n2—H+222

AaB•C•oD•o।

22nnnn-r2

答案D

解析由题意，得则当儿》2时，；一」一=〃一1,‘一一」一=〃一2,…，；一

*1,所以卜*1+2+…+(-1)=4(G2),所以詈牛+1=犬呼，即%

2,2

=〃2几।2(几22),当n—1时，—1适合此式，所以斯=〃2几।2,

4.设数列｛诙｝满足：的=2,a„+i=l-A记数列｛斯｝的前〃项之积为P,”则尸2024等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析。1=2,即+1=1—2，得“2=3，。3=—1,〃4=2,〃5=3，…，所以数列｛。〃｝是周期为3

的周期数列.且尸3=—1,2024=3X674+2,所以尸2024=（-1严XqQ=l.

5.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国

传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第

41项为（）

A.760B.800C.840D.924

答案C

I2—132—152—1

解析由题意得，大衍数列的奇数项依次为M，—,—,…，易知大衍数列的第41

412—1

项为.2一=840.

6.（多选）已知数列｛诙｝的通项公式为诙=（〃+2＞（1）",则下列说法正确的是（）

A.数列｛诙｝的最小项是的

B.数列｛斯｝的最大项是〃4

C.数列｛斯｝的最大项是。5

D.当〃25时，数列｛斯｝递减

答案BCD

伽+2).母)心(〃+1).版,

解析假设第〃项为｛斯｝的最大项，则所以

a?三〃〃+1，(〃+2)0》(叶3)盼+1,

后5,A5

介4,又所以片4或〃=5,故数列｛斯｝中山与痣均为最大项，且见一二

当时，数列｛以｝递减.

7.S,为数列｛诙｝的前〃项和，且log2（S,+l）=〃+l,则数列｛斯｝的通项公式为.

答案斯=〔2.,心2

解析由log2（S,+l）=〃+l,得S,+l=2"+i,当w=l时，ai=N=3；当〃22时，an=Sn~

[3,〃=1,

S〃T=2〃，显然当〃=1时，不满足上式.所以数列｛斯｝的通项公式为斯=»

[2,2.

8.若数列｛斯｝的前〃项和S〃=〃2—10〃（〃£N*）,则数列｛〃〃｝的通项公式斯=,数列

｛m｝中数值最小的项是第项.

答案2n—113

，2

解析：Sn=n-10n,・•・当〃22时，an=Sn-Sn-i=2n-ll；

当〃=1时，〃i=Si=—9也适合上式.・••斯=2〃一11(〃£N*).

记加)="即="(2〃-11尸2外一11”，此函数图象的对称轴为直线〃=不但〃GN*,

...当w=3时，五〃)取最小值.，数列｛〃斯｝中数值最小的项是第3项.

9.在①的”+1—("+1)°"="("+1)；②S"=2〃2—1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上,

并解答.

若数列｛%｝的前w项和为S”勾=1，且数列｛斯｝满足.

⑴求々2，。3；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解⑴选择①：«2-2(71=1X2,则02=4.

2的—3。2=2*3,则。3=9.

选择②：。2=52—51=2义22—1-1=6.

43=53—52=2X32-1-2X22+1=10.

(2)选择①：由加?“+1—("+1)斯="("+1),

日斯+1On[

“2斯斯斯一1।〃〃一1%—2।।〃2।1T

所以---11=〃，

〃nn~1?+-n--—--17-.n..~...2---------\-2^-ai+ai=n-1+1

所以a„=n2.

选择②：当〃》2时，a“=S〃一S〃-i=2层-1一[2(〃-l)2—l]=4w—2；

当n=1时，tzi—Si—1,不符合上式，

[1,"=1,

故｛期｝的通项公式为为=*

[4几一2,2,.

10.(2023・长沙模拟)已知数列｛金｝满足ci=；,wCN*,S〃为该数列的前〃项

乙Cn+11Gli

和.

⑴求证：数歹附，为递增数列；

(2)求证：Sn<l.

证明(1)因为ci=1,Cl'

2Cn+l—lCn—1

所以金Wl,金WO,

两边分别取倒数可得1——L=；—

Cn+1CnCn

整理可得」一_：=l>>0,

Cn+1Cn\CnJ

所以数列15,为递增数列.

(2)由47=号可得C"+L1:1=4二41,即—L_^=c“+―

扇+1—1Cn—\金+1-1Cn—\金+1-1Cn—\

所以C“=―――’7，

金+1-1Cn-\

所以S〃=Cl+c2H\~Cn

11,11..11

=----------十-----一-----十…十------~~-----

C2-lCl—1臼―1。2一1Q+l—1Cn—1

=•^—,=^—+2,

为+1-1Q—1金+1-1'

又;三;=2,所以金+1金(0,5),

所以■-7<-1,即Sn<l.

Cn+1~L

合提升练

11.在数列｛念｝中，ai—1,a=（n,斯），b=（an+i，n+1）,且a_L方,则。ioo等于（）

A.喘B.一翳C.100D.-100

答案D

解析因为〃=（〃，斯），方=（即+i,n+1）,且a_Lb,所以九斯+1+5+1）斯=0,所以白

Cln几

所以资=—*祟=—/…，署=—黑.以上各式左右分别相乘，得货2=—100,因为幻=1,

1〃2L。99yy

所以0100=—100.

12.（2022•全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗

环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛d｝：

仇=1+：,岳=1+—彳，历=1+%—，…，依此类推，其中a*GN*（Z=l,2,…）.则

1111

a1十一a\十T

十二

。3

（）

A.b\<bsB.仇<。8

C.b6Vb2D.Z?4</?7

答案D

解析方法一当〃取奇数时，

由已知。1=1+；,。3=1+----一■

(XI)1

四十r

(一

X2+。3

因为;〉----\一，所以b\>bs，

四十7~

恁+一

。3

同理可得力3泌5,65>历，…,于是可得加…，故A不正确;

当〃取偶数时，由已知历=1+'7,

如+石

>4=1+j

«1+j

g+T

出+一

«4

因为;〉---\-,所以岳<匕4,

12।1

。2十r

(73+―

«4

同理可得Z?4<Z?6,b6Vb8,…,于是可得历<。4<。6<。8<…，故C不正确;

因为;〉一・，所以">历，

(Z1+—

12

同理可得匕3>d，bs>b6,bj>bs,

又仇>岳，所以匕3>68,故B不正确；故选D.

方法二(特殊值法)

不妨取以=1(左=1,2,…)，则"=l+i=2,

1113

岳=1+[=1+及=1+5=]

1+1

1125

fe=1+~-l~=1+fe=1+3=3'

1十1

1+1

13Q

所以d=1+员=1+5=亍

fe=1+i=1+8=^'

。6=1+*=1++=*

,,.1,,1334

岳=1+&=1+犷亓

^i=1,,+1-=-12+1-=5-5

逐一判断选项可知选D.

13.已知数列｛斯｝中，前〃项和为且&=&一斯，则)"的最大值为.

答案3

fl.〃+2,几+2n~\~1一八.a〃+1

=n=

斛析,**Sn-Q_an,・••当"22时，an—Sn-S〃-1=~Q-cin-—~诙-1,可化为=71

333an-in-1

十高，由函数＞=三在区间(1,+8)上单调递减，可得当〃=2时,高取得最大值2.二回

ZX1X1.〃1.一1

的最大值为3.

14.已知[幻表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]=2,[―1.7]=—