2024年中考数学将军饮马最值系列问题专项练习

将军饮马最值系列问题

一、什么是将军饮马

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短?

.8军营

将军/

河

如图在直线上找一点P使得PA+PB最小.

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”“点到

直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段.

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A1连接PA；则PA，=PA,所以PA+PB=PA1+PB.

当A；P、B三点共线的时候,P4+PB=A'B,此时为最小值.（两点之间线段最短）

B

4端点./'

EZ.

匚/p折点

【思路概述】

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称点，化折线段为直线段.

二、将军饮马模型系列

一定两动之点点

在OA、OB上分别取点M、N,使得APMN周长最小.

此处M、N均为折点，分别作点P关于0A（折点M所在直线）、0B（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+

MN+NP",^P\M、N、P”共线时,APMN周长最小.

【典型题】如图.点P是NAOB内任意一点NAOB=3（TQP=8,点M和点N分别是射线0A和射线0B上的动点，则△PMN周长

的最小值为一.

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M,N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P;P"化PM+PN+M

N为P'N+MN+P"M.

当P、N、M、P”共线时彳导△PMN周长的最小值,即线段PP”长，连接OP；0P",可得△OPT”为等边三角形，所以PT”=0P=0P=8.

两定两动之点点

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小.

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，因此，分别作点P、Q关于OA、OB的对称点，化折线段PM+MN+N

Q为FM+MN+NQ；当P、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小.

一定两动之点线

在OA、OB上分别取点M、N使得PM+MN最小.

此处M点为折点，作点P关于0A对称的点P'4等折线段PM+MN转化为P,M+MN,

即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)

三、几何图形中的将军饮马

寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置.

1.正方形中的将军饮马

关于对角线对称

如图,正方形ABCD的边长是4,M在DC上,且DM=1.N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是一

【分析】考虑DM为定值，故求ADMN周长最小值即求DN+MN最小值.点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B,连接

BM交AC于点N,此时△DMN周长最小.

假装不存在的正方形

【典型题1］如图，在RtAABO中,NOBA=9(r,A(4,4),点C在边AB上，且AC:CB=1:3,点D为OB的中点点P为边0A上的动点,

当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()

A.(2,2)

C信⑶

D.(3,3)A33J

【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线0A的对称点.

也可以作点C的对称点.

隐身的正方形

【典型题2］如图.在△ABC中,AC=BC,NACB=90。点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C1,当C\P、D共线时,PC+PD最小，最小值为5,故选B.

2.三角形中的将军饮马

等边系列

【典型题3］如图，在等边4ABC中,AB=6,N为AB上一点且BN=2AN,BC的高线AD交BC于点D,M是AD上的动点，连接BM,

MN,则BM+MN的最小值是—.

【分析】M点为折点，作点B关于AD的对称点，即C点，连接CN,即为所求的最小值.

过点C作AB的垂线，利用勾股定理求得CN的长为2V7.

隐身的等边三角形

【典型题4］如图.在RtAABD中,AB=6,ZBAD=30°,ZD=90°,N为AB上一点且BN=2AN,M是AD上的动点，连接BM,MN,则

BM+MN的最小值是____.

-----'D

【分析】对称点并不一定总是在已知图形上.作点B关于AD的对称点C,连接NC即为BM+MN的最小值，再构造直角三角形

求NC,易得NC=2V7.

角分线系列之点点

【典型题5］如图，在RtAABC中,NACB=9（T,AC=6.AB=12,AD平分NCAB,点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF

的最小值为（）

A.3

B.4

C.3V3

D.2V3

【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称点C；对称点C在AB上且在AB的中点，化折线段CE+EF为CE+EF,当C

E、F共线时得最小值，CF为CB的一半，故选C.

角分线系列之点线

【典型题6】如图，在锐角三角形ABC中，BC=4,ZABC=60°,BD平分NABC,交AC于点D,M、N分别是BD,BC上的动点，则

CM+MN的最小值是（）

A.V3

B.2

C.2V3

D.4

【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点N,恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN'.

因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，故选C.

A

3.矩形、菱形中的将军饮马

菱形高

【典型题7】如图.在菱形ABCD中,AC=6V5,BD=6,E是BC的中点P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM,则PE+PM的

最小值是()

A.6

B.3V3

C.2V6

D.4.5

【分析】此处P为折点，作点M关于AC的对称点恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM1.

当E、P、M共线时,EP+PM最小,最小值即为菱形的高，可用面积法：丝罗=BC•EM,故选C.

折点在边上

【典型题8］如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点，当^ADE的周长最小时，点E的坐

标为()

4

A.(O,p

B.(0,|)

C.(0,2)

D.(O,y)

【分析】点E为折点，E是y轴上一点，作点D关于y轴的对称点D：连接AD；与y轴交点即为所求E点，选B.

折点与面积

【典型题9］如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点P满足S=9斤〜…,则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值

PAB3匕ABLD

为（）

,4.2713

B.2V10

C.3V5

0.V41

【分析】由SPAB=可作出P点轨迹为直线MN(AM=BN=2)作点B关于MN的对称点B；化折线PA+PB为PA+PB,.

当A、P、B，共线时，取到最小值，选A.

全等与对称

【典型题10】如图矩形ABCD中,AB=10,BC=5点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH

周长的最小值为()

A.5V5

B.10V5

C.10V3

D.15V3

【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF的最小值，此处E为折点，作F关于AB的对称点F；则BF'=BF=D

H=CM,AMF'=BC=5,MH=DC=IO".HF为5V5,周长最小值为10故选B.

四、特殊角的对称

60。角的对称

【典型题1】如图,NAOB=60。,点P是NAOB内的定点且。P=但若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PM

N周长的最小值是()

4邯

2

B.也

2

C.6

D.3

【分析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P；P”,化APMN周长为PN+NM+MP”.

当PlN、M、已共线时,取得最小值,利用60。角翻倍得々叱”=120。,0尸=(^”=(^,可得最小值为3,选口.

30。角的对称

【典型题2］如图,NAOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3,0)是OB上的一定点，点M是ON的中

点,NAOB=30。,要使PM+PN最小，则点P的坐标为___.

【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称点M如图所示，连接PM；化PM+PN为PM,+PN.

当M;P、N共线时，得最小值，又NM，ON=60。且ON=20M；可得NOM，N=90。,故P点坐标为P修，手).

20。角的对称

【典型题3］如图，已知正比例函数y=kx(k>0)的图象与x轴相交所成的锐角为70。,定点A的坐标为(0,4),P为y轴上的一

个动点,M、N为函数y=kx(k>0)的图象上的两个动点则AM+MP+PN的最小值为___.

【分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P；化AM+MP+PN为AM+MP'+P'N.

此处P'为折点，作点N关于OP对称点N；化AM+MP'+P'N为.AM+MP'+P'N'

当A、M、P；N共线且AN」ON时,值最小，最小值为2VI

将军过桥

已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短?

考虑MN长度恒定,只需求AM+NB的最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起,

将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A，位置.

问题转化为求.A'N+N8的最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置.

用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起.

将军过两个桥

已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短?

8军营

考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起.

B军营

AP平移至AQNB平移至MB；化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'.

3军营

当A\Q、M、B，共线时,4Q+QM+M夕取到最小值，再依次确定P、N的位置.

将军遛马

【典型题4】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短?

【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值,求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？

【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可.将AM平移使M、N重合,AM=AN,将AM+BN转化为