2024年高考数学复习题型归纳讲义 排列与组合（精练：基础+重难点）（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第50练排列与组合（精练）

刷真题明导吧_____

一、单选题

1.（2023・全国•统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每

天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为a，"，c，d，e,

假设。连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A；=12

种方法，

同理：b,G4e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选:B.

2.（2023•全国•统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中

恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有爆种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有A；=120种，

故选：C.

3.（2023•全国•统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作

抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学

生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C%C短种B.C/.C1种

C.C%C募种D.C%C品种

【答案】D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x步=40人，高中部共抽取60x缥=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C：QC熟种.

故选：D.

4.（2022・全国•统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，

丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

5.（2021.全国•统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目

进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘

法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排

思想求解.

二、填空题

6.（2023•全国•统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中

选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；Cj=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.关于X的方程C?=C；4的解为（）

A.x=3B.x=4C.x=3且x=4D.无=3或x=4

【答案】D

【分析】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解.

【详解】因为C；：=C『，贝!|2x=3x-4或2x+3x—4=ll,解得x=4或x=3,

若x=4,可得C：i=C3符合题意；

若尤=3,可得C：|=C=符合题意；

综上所述：x=3或x=4.

故选：D.

2.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数

为（）

A.12B.18C.21D.24

【答案】B

【分析】分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，第二种情况，有2位女生入选，根据分类加法计

数原理计算可得答案.

【详解】可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有C；C；=12种，

第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有戢=6种，

根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18种.

故选：B.

3.某校组织一次认识大自然的活动，有5名同学参加，其中有3名男生、2名女生，现要从这5名同学中随

机抽取3名同学去采集自然标本，抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共有（）

A.10种B.12种C.6种D.9种

【答案】D

【分析】根据组合的概念分类讨论计算即可.

【详解】抽到1男2女的方法有C；C；=3种，抽到2男1女的方法有C；C；=6种，合计共9种方法.

故选:D

4.为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一、高二、高三年级分别

有1名、2名、3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则

不同的排法共有（）

A.18种B.36种C.72种D.144种

【答案】C

【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.

【详解】由题意可得A；A；A；A；=72,

故选:C

5.某校安排5名同学去A,B,C,。四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一

人，则甲同学被安排到4基地的排法总数为（）

A.24B.36C.60D.240

【答案】C

【分析】分两种情况分类计算，一种是A基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同

学也在，两种情况相加即可.

【详解】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是C；A；=36种；

当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是C；A；=24种；

则甲同学被安排到A基地的排法总数为36+24=60种.

故选：C

6.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【分析】根据分组分配即得.

【详解】将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而

另一个宿舍3名，

所以互不相同的安排方法的种数为C；C；A；=20.

故选:B.

7.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必

须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（）

A.360B.480C.600D.720

【答案】B

【分析】先求得六人的全排列数，结合题意，利用定序排列的方法，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有A：=720种不同的排法，

其中甲、乙、丙三人的全排列有A；=6种不同的排法，

其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，

所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为720x；=480种.

6

故选：B.

8.2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣.若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样

滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（）

A.12种B.24种C.64种D.81种

【答案】C

【分析】根据分步乘法原理求解即可.

【详解】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法原理，不同的选法共有4x4x4=64种.

故选：C.

9.设a,£是两个平行平面，若a内有3个不共线的点，£内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任

取4个点最多可以构成四面体的个数为（）

A.34B.18C.12D.7

【答案】A

【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决.

【详解】完成的一件事是“任取4个点构成四面体”，

所以分成三类：第一类，从a上取1个点，p上取3个不同的点，可以构成四面体的个数为C；C；=3x4=12；

第二类，从a上取2个点，p上取2个不同的点，可以构成四面体的个数为=3x6=18；

第三类，从a上取3个点，0上取1个不同的点，可以构成四面体的个数为C；C：=1x4=4,

所以从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为12+18+4=34.

故选:A

10.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有

且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有C；=15种，

剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，

假设这4个盒子的编号为3,4,5,6,

则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，

剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，

所以不同的放法种数为15x3x3=135种选法.

故选：B.

11.2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位

志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不

同的分配方法数是（）

A.8B.12C.14D.20

【答案】C

【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.

【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：

①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有C；C；=8种，

②两所敬老院各安排两名志愿者，则有=6种,

故共有8+6=14种方案，

故选：C

12.用1,2,3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（）

A.600个B.540个C.480个D.420个

【答案】A

［分析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是3个奇数1个偶数，或3个偶数1个奇数,分两种情况讨论，

按照分类、分步计数原理计算可得.

【详解】解：依题意要使各位数字之和为奇数则可能是3个奇数1个偶数，或3个偶数1个奇数，

若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选一个排在个位有C=4种，

再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有A；=60种排法，故有C：A；=240个数字；

若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有C：A；=15种，

再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有A：=24种排法，故有C；A；A：=360个数字；

综上可得一共有240+360=600个数字；

故选：A

13.黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的b

两段，使得长线段”与原线段a+b的比等于短线段b与长线段。的比，即4：（a+b）=b：a,其比值约为

0.618339.…小王酷爱数学，他选了其中的6,1,8,3,3,9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3

不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）

A.180B.210C.240D.360

【答案】C

【分析】用插入法求解.

【详解】先把6,1,8,9排列，然后选两个空档插入3,总方法为A：C；=240.

故选：C.

14.设直线的方程是Ax+8y=0,从1,2,3,4这四个数中每次取两个不同的数作为A、2的值，则所得

不同的直线的条数是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】任取2个数作为A,B共有A；=12种，去掉重复的直线条数即可得解.

【详解】［详解］

•.•从1,2,3,4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有A；=12种结果，

在这些直线中有重复的直线，

当A=l,3=2和A=2,3=4时，结果相同；

当4=2,3=1和A=4,3=2时，结果相同，

.••所得不同直线的条数是12-2=10,

故选：C.

15.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六

月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的

精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上

村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、

四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后

一位，那么一共有（）种表演顺序.

A.A；B.C.A；A；D.A；A1

【答案】C

【分析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.

【详解】由题意易知,一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为A：,在确定其余6人顺序为A。,

由分步乘法原理可得一共有A；A：种顺序.

故选：C.

16.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）

【答案】C

【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.

【详解】将区域标号，如下图所示：

因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有6x5x4=120种不同的涂色方法，

若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；

若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；

所以共有120x（1+3）=480种不同的涂色方法.

故选：C.

17.为了保证疫情“社会面清零”，某镇医院派三名医生到不同的四个学校进行核酸检测，每个医生至少去一

个学校且至多去两个学校，每个学校只安排一位医生，所有不同的分法共有（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

【答案】B

【分析】根据题意，先分组再分配，再结合排列组合的计算，即可得到结果.

【详解】由题意知必有一位医生去两个医院，另外两个医院各去一位医生，

第一步先将医院按2:1:1分为三组共有熊=6种方法，

第二步再把三位医生分配到三个小组去，有A；=6种分配方法，

故共有6x6=36种方法.

故选：B

二、多选题

18.下列结论正确的是（）

A.3x4x5=A；B.C；+C；=C；

C.若C：o=C；［2,贝！］%=3D.C°+C；+C*+C®=64

【答案】AD

【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解.

【详解】对于A,3x4x5=A"故A正确，

对于B,C；+C；=2C；=2x萼=20,C；=萼=15,故C；+C；C：,故B错误，

对于C,C：。=C；oi贝!j尤=2x-2或x+2x-2=10,解得x=2或x=4,故C错误，

对于D,C；+C；+C：+G=C"C；+C；+C；=1+为+7x65+7=64,故D正确,

23x2

故选：AD

19.（多选题）某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种

荤菜，则下列说法中正确的是（）

A.甲若选一种荤菜，则有6种选法

B.乙的选菜方法数为9

C.若两人分别打菜，总的方法数为18

D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同，则方法数为30

【答案】AB

【分析】由计数原理，对每个选项进行依次判定即可.

【详解】若甲打一荤一素，则有C；xC；=6种选法，故A选项正确；

若乙打一荤一素，则有6种选法，若打两素，则有之=3种选法，共9种选法，故B选项正确；

选项C两人分别打菜，由选项B知每个人可有9种打法，故应为9x9=81种方法；

选项D可分为荤菜相同或素菜相同两种情况，共2x3x2+3x2x1=18种.

故选：AB.

20.满足不等式》＞12（〃eN+）的〃的值可能为（）

A”

A.12B.11C.8D.10

【答案】ABD

【分析】根据排列数公式得到不等式，解得〃的取值范围，即可判断.

【详解】由排列数公式得冬=总含=彗郎=5-5>5-6）,

A〃（n-7）!n!（n-7）!

依题意可得（〃-5>5-6）>12,解得”>9或“<2（舍去），

又〃eN+，所以"可以取10,11,12.

故选：ABD.

21.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354

等都是“凸数”，用I,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（）

A.组成的三位数的个数为60B.在组成的三位数中，奇数的个数为30

C.在组成的三位数中，偶数的个数为30D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20

【答案】AD

【分析】将5个数字选3个排列即可判断A,确定个位，即可计算出奇数，从而判断B、D,计算“凸数”时

对十位分三种情况讨论，即可判断D.

【详解】依题意，组成的三位数的个数为A；=60,故A正确；

个位为1,3或5时，三位数是奇数，则奇数的个数为A；Aj=36,故B错误；

则偶数有60-36=24（个），故C错误；

将这些，，凸数，，分为三类：

①十位为5,则有A212（种），

②十位为4,则有A；=6（种），

③十位为3,贝！J有A；=2（种）,

所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为12+6+2=20,故D正确.

故选：AD.

22.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）

A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法

B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法

C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法

D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法

【答案】ABC

【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，逐项计算，即可求解.

【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中

选一副有7种不同的选法，

由分类计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法，所以A正确；

对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，

根据分步计数原理，共有5x2x7=70种不同的选法，所以B正确；

对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有5x2=10种不同的选法；

若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5x7=35种不同的选法；

若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2x7=14种不同的选法，

由分类计数原理，可得共有10+35+14=59种不同的选法，所以C正确；

对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：

第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；

第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，

根据分步计数原理，不同挂法的种数是5x4=20种不同的选法，所以D错误.

故选：ABC.

23.有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（）

A.5名同学每两人握手1次，共握手20次

B.5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张

C.5名同学围成一圈做游戏，有120种排法

D.5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法

【答案】BD

【分析】利用组合的概念可判断A,根据排列知识可判断BC,利用捆绑法及间接法可判断D.

【详解】A选项，5名同学每两人握手1次，共握手屐=10次，故A错误；

B选项，5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片A；=20张，故B正确；

C选项，5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有A：=24种排

法，故C错误;

D选项，5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有A；A：=48种排法，其中丙站正中间的排法有A；A；A；=8

种，

所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有48-8=40种，故D正确.

故选：BD.

24.某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列

说法正确的是（）

A.若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法

B.若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法

C.若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法

D.若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法

【答案】BCD

【分析】A选项，采用捆绑法进行求解；B选项，利用排列知识进行求解；C选项，采用插空法进行求解；

D选项，分两种情况，前2个节目都是语言类节目和前2个节目中有1个是语言类节目，分别求出排法后

相加即可.

【详解】A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有A；=6种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个

语言类节目进行排列，则有A；=6种情况，

综上，共有6x6=36种情况，A错误；

B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，

则有A；A；=12种情况，B正确;

C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有A；=6种情况，再将语言

类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有A；=12种，

综上，共有6x12=72种情况，C正确；

D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有A；A；=12种情况，

前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有A；A；A；=12种情况，剩余的3个节目进行全排列,

则有A；=6种情况，则共有12x6=72种情况，

综上，有12+72=84种不同的排法，D正确.

故选：BCD

25.2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三

支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被

分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生.则下列正确的是（）

A.甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有C；C；A；种分配方法

B.6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法

C.男班长必须到甲地，则共有180种分配方法

D.班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法

【答案】ACD

【分析】根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，

3个男生中选1个到甲地，方法有C；种；在剩下的2个男生中选1个到乙地，

方法有C；种；最后1个男生放在丙地；再安排女生，方法有A；种.所以共有C；C；A；种分配方法，A选项正

确.

Cc也

B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有•A；=Cc；c；种分配方法,B选项错误.

C选项，男班长必须到甲地，方法数有:

i_p2/-i3_(_03024rl3rl3A2

2

=5+10+10+5+30+20+20+30+30+20=180种分配方法，C选项正确.

D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有：

L414c4十L4C4L3十C4C3C3''-,4'-Z4^-Z2十412c2十413c2十L414cl'十413cl十。4c2^1

=1+4+4+6+6+12+4+4+12+12=65种分配方法，D选项正确.

故选：ACD

三、填空题

26.2022年世界杯亚洲区预选赛，中国和日本、澳大利亚、越南、阿曼、沙特阿拉伯分在同一小组，任意两个

国家需要在各自主场进行一场比赛，则该小组共有场比赛.

【答案】30

【分析】任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，即为双循环比赛，由排列组合求解即可.

【详解】一共有6个国家，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，即为双循环比赛，共有C；A；=30

场比赛.

故答案为：30.

27.某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名

女生，则不同的选法种数为.

【答案】16

【分析】直接利用组合知识分步计算即可.

【详解】由已知可得六名同学选三名同学有或=20种方法，而全选男生的有C：=4种方法，

所以至少一名女生的方法有20-4=16种方法.

故答案为：16

28.将编号为1,2,3,4的4个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的2个小

球编号不相邻，则共有种不同的放法.

【答案】18

【分析】先把4个小球分为(2,1.1)一组，其中2个不连号小球的种类有(1,3),(1,4),(2,4)为一组，再全

排列即可，

【详解】解：先把4个小球分为(2,1,1)一组，其中2个不连号小球的种类有(1,3),(1,4),(2,4)为一组，

分组后分配到三个不同的盒子里，故共有C；A；=18种不同的放法；

故答案为：18.

29.2020年第55届斯韦思林杯世界乒乓球男子团体赛由五场单打组成，中国乒乓球队计划派出许昕、马龙、

林高远、梁靖良、樊振东参赛，其中许昕、马龙两人不连续出场，林高远、梁靖良两人也不连续出场，则

出场顺序有种

【答案】48

【分析】用所有情况减去相邻情况即可.

【详解】用4反C、D、E分别代表五名选手，

五个元素排列，AB不相邻，CD不相邻，可借助反向考虑，所有情况去掉相邻情况即可.

即：所有情况一AB相邻一CD相邻+AB相邻且CD相邻.

即A：-2A：A；+A；A；A；=120-96+24=48种.

故答案为：48

30.从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有.

【答案】25

【分析】按其中3和6两个数取1个和两个分类可得.

【详解】从2至8的7个整数中3的倍数的有3和6两个，任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可

得取法数为C；C；+C；C；=25.

故答案为：25.

31.有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少

安排1名学生，则不同的安排方法为.

【答案】150

【分析】先分组，然后排列，从而求得正确答案.

【详解】若分组为3+1+1,则方法数有C；A；=60；

若分组为2+2+1,则方法数有卡A；=90；

所以不同的安排方法为60+90=150种.

故答案为：150

32.国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字1,2,3,4,5,6,7的7

张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一

共有种.（用数字作答）

【答案】312

【分析】根据题意分四位游客都没有拿到偶数数字门卡和四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇

数数字门卡求解，然后利用加法原理可求得结果.

【详解】门卡标有偶数数字包含2,4,6,奇数数字包含L3,5,7,

若四位游客都没有拿到偶数数字门卡共有A：=24种；

若四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡，有C；C：A：=288种.

故共有24+288=312种.

故答案为：312

33.小李准备下载手机APP,可供选择的社交APP有3个，音乐APP有2个，视频APP有2个，生活APP

有3个，从上述10个APP中选3个，且必须含有社交APP以及生活APP的不同选法种数为.

【答案】54

【分析】先按要求分类，结合分类加法计数原理求解即可.

【详解】因为要从10个APP中选3个下载，且必须含有社交APP以及生活APP,

所以可以分成两类：

第一类是：从3个社交APP以及3个生活APP中各选1个，再从2个音乐APP和2个视频APP中再选1

个，有C；.C；.C：=36种选法；

第二类是：从3个社交APP中选2个，再从3个生活APP中选1个，或者从3个社交APP中选1个和3

个生活APP中选2个，有2xC；・C；=18种选法；

所以从上述10个APP中选3个，且必须含有社交APP以及生活APP的不同选法种数为：

36+18=54（种）.

故答案为：54.

34.首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控.有A,B,C,

D,E,尸共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期.现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会

议厅每半天只能容纳一个议程.若要求A,B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则不

同的安排方案一共有种.（用数字作答）

【答案】252

【分析】分两种情况，A,B议程中有一项在上午和A,B议程都安排在下午，结合排列组合知识进行求解，

得到答案.

【详解】分两种情况，第一种，A,B议程中有一项在上午，有一项在下午举行，

先从3个上午中选1个和3个下午中选一个，由A,B议程进行选择，有C；C；A；种选择，

再从剩余的2个下午中选择1个安排C议程，有C；种选择，

剩余的3场会议和3个时间段进行全排列，有A；种选择，

所以有C；C；A；C；A；=216种选择,

第二种，A,B议程都安排在下午，C议程也按照在下午，故下午的3个时间段进行全排列，有A；种选择，

再将剩余的3个议程和3个上午时间段进行全排列，有A；种选择，

所以有A；A；=36种选择，

综上：不同的安排方案一共有216+36=252种选择.

故答案为：252

35.将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，

每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为（用数字作答）

【答案】216

【分析】先求出5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学的方案数，再计算出甲乙两本

书同时发给某一个同学的方案数，相减后得到答案.

【详解】5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，共有C；A：=240种方案，

甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则剩余3本书分别给3位

同学，

有A：=24种方案，

综上，不同的分配方案数为240-24=216种.

故答案为：216

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（）

A.4种B.8种C.12种D.48种

【答案】B

【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.

【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，

根据分步乘法原理得，有2＞＜人；＞＜人；=8种不同的排法.

故选:B

2.将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排列个数为（）

A.10B.15C.21D.25

【答案】B

【分析】用插空法.即把2个0插入5个1之间的空档中.

【详解】要使2个0不相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放0,故排放方法有C；=?1=15种.

2x1

故选：B.

3.五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为（）

A.36B.72C.78D.120

【答案】C

【分析】首先对甲的站位进行分类，再按照分步原理进行计算.

【详解】由题意，分成2种情况，

一种情况是甲站排尾，则其余4人全排列，有A：=24种方法，

另一种情况是甲不占排尾，则甲有3种方法，乙有3种方法，其余3人全排列，有3x3xA：=54种方法，

综上可知，共有24+54=78种方法.

故选：C

4.上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个不同场馆工作，要求每个场馆至

少一人，则不同的分配方案有（）

A.36B.30C.24D.42

【答案】A

【分析】先将4名志愿者分成3组，两组1人，一组2人，再分别分配给3个场馆，即可得出答案.

【详解】先将4名志愿者分成3组，两组各1人，一组2人，

若两组各1人，一组2人，分别分配给3个场馆，则有总产•内=36种分法，

A2

因此不同的分配方案共36种.

故选：A.

5.疫情期间，某社区将5名医护人员安排到4个不同位置的核酸小屋做核酸检测工作，要求每个核酸小屋

至少有一名医护人员，则共有多少种不同安排方法（）

A.480种B.360种C.120种D.240种

【答案】D

【分析】由题设按人数分组方式为{2,W},应用组合排列数求不同安排方法数.

【详解】5名医护人员安排到4个不同位置，按人数分组方式有{2,1,1,1},

所以不同安排方法有UA：=240种.

故选：D

6.某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知

甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代

表，则不同的安排方式有（）

A.56种B.64种C.72种D.86种

【答案】C

【分析】分类讨论数学课代表的人选：若乙担任数学课代表，再安排甲担任语文或英语课代表，最后再安

排剩余的四人；若丙担任数学课代表，再安排甲担任语文或英语课代表，接着安排乙，最后再安排剩余的

三人，将两种所有安排方式相加即可.

【详解】若乙担任数学课代表，则不同的安排方式共有C〉A：=48种，

若丙担任数学课代表，则不同的安排方式共有=24种，

所以不同的安排方式共有48+24=72种.

故选:C.

7.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派

2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.则不同的选派方法的种数是（）

A.18B.21C.36D.42

【答案】D

【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类

计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原

理，即可求解.

【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，

若甲地派2名女生，有G=1种情况；

若甲地分配1名女生，有C；C；=6种情况，

则甲地的分派方法有1+6=7种方法;

甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A；=6种安排方法,

由分步计数原理，可得不同的选派方法共有7x6=42种.

故选：D.

8.在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组

节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同

编排顺序共有()种.

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】对男教师的位置分4类，计算出各类的安排种数，求解即可.

【详解】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1,2,3,4,5,6,

则3名男教师只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6)共4种位置安排，

由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，

故该6名教师的节目不同的编排顺序共有4A；=24.

故选：B.

9.某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生

实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校

进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共

有()

A.150种B.300种C.360种D.540种

【答案】A

【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解.

【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为3:1:1时，先取3人看成一个整体，再进行排列，

所以不同的跟岗分配方案有C；A：=60种;

若3所学校分配1名师范生的人数为2:2:1时，注意到有2个学校均分配2名师范生,

p2p2plA3

所以不同的跟岗分配方案