浙江杭州某中学2024年高二3月月考数学试题+答案

浙江省杭州2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.直线后一3y+46=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.若直线/上平面a,直线/的方向向量为平面a的法向量为B，则（）

A.a=（1,0,1）,^=（1,0,-1）B.a=（1,1,1）,&=（1,1,-2）

C.a=（2,1,1）,6=（-4,-2,-2）D.o=（l,3,1）,^=（2,0,-1）

3.有一组样本容量为10的样本数据为：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,则该样本中（）

A.中位数与平均数的值不同B.第70百分位数与众数的值不同

C.方差与极差的值相同D.方差与标准差的值相同

4.已知二项式13五-L]的展开式中，所有的二项式系数之和为32,则该展开式中x的系数为（）

A.-405B.405C.-81D.81

5.若直线丁=履+2左与曲线丁=二2有两个不同的交点，则左的取值范围是（）

A.｝理曰B.0,#jC.卜6,百]D,[0,百）

6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物

线的焦点.过点尸（2虚,5）且平行于，轴的一条光线射向抛物线。：好=4》上的A点，经过反射后的反射

光线与C相交于点则|AB|=（）

79

A.-B.9C.36D.-

22

7.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有

“上升”的正整数的个数为（）

A.530B.502C.503D.505

1n

8.已知函数=-3%ln%+3若V加，HG（0,+OO）,且加w〃时，都有蛆：）—[⑺〉0,

xmn-nm

则实数〃的取值范围是（）

第1页/共4页

A.(-00,-16)B.(-00,-16]C.(-co,-2)D.(-00,-2]

二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.数列｛凡｝是首项为1的正项数列，an+1=2an+3,S”是数列｛凡｝的前〃项和，则下列结论正确的是

()

A.%=13B.数列｛4+3｝是等比数列

+

C.an=477-3D.Sn=2"'-n-2

10.已知函数f(x)=(x+l)e*的导函数为/'(x),则()

A.函数的极小值点为B./(—2)=0

e

C.函数/(x)的单调递减区间为(-8,-2)D.若函数g(x)=/(x)-。有两个不同的零点，则

aeH,+coJ

ii.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面

体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为。的截角

四面体，则下列说法正确的是()

A.ABLCG

B.二面角5-EH-K的平面角余弦值为:

3

11,

C.该截角四面体的外接球表面积为一万二

2

D.该截角四面体的表面积为66a2

第2页/共4页

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知z=o+砥a,beR),其中i为虚数单位.若2+i=(l+z)z,则。=；|z|=.

13.为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A,B,C,。四所学校的6名选手进入集训队，其中

有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来

自同一所学校的分组方案有种.(用数字作答)

14.如果两个函数存在零点，分别为4、/3,若满足|a-£|<”,则称两个函数互为“九度零点函数”.若

〃%)=皿》-2)与8口)=以2-111_¥互为“2度零点函数”，则实数。的取值范围为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数y(x)=x3+3x2-ax在x=l处取得极值.

(1)求a的值；

(2)求/(x)在区间［—4,4］上的最大值和最小值.

16.已知各项均为正数的等差数列｛&｝的公差为4,其前〃项和为工，且2a2为S2，£的等比中项.

(D求｛4｝的通项公式；

(2)设a=H，求数列也｝的前〃项和I-

17.如图，在多面体A3CDEF中，四边形ABC。是边长为2的正方形，EF//AD,AE=2EF=2,

ZEAD=120°，平面ADFE1平面ABCD.

(1)求证：BDLCF

第3页/共4页

(2)求平面ABE与平面8。尸所成锐角的余弦值.

18.已知函数/(x)=x+@^D_[nx(a<0).

x

(1)当。=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)求函数y=/(x)的单调区间；

(3)若对Vxe[e,+s)(e为自然对数的底数)，/(x)<恒成立，求实数”的取值范围.

X

19.已知双曲线C的中心为坐标原点，右焦点为且过点(Y,3).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点A(4,l),过点(1,0)的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点吼N,直线AN与双曲线

C交于另一点P,设直线4M,AN的斜率分别为尢,《•

(i)求证：尢+后为定值；

(ii)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

第4页/共4页

浙江省杭州2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.直线6%一3丁+46=°的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线Gx-3丁+46=0的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.

【详解】因为直线gx-3y+4百=0的斜率为左=半，因此，该直线的倾斜角为30°.

故选：A.

2.若直线/上平面直线/的方向向量为％,平面a的法向量为B，贝U（）

A,a-(1,0,1),b=B.a=(1,1,1)，b=(1,1,-2)

C.a=(2,1,1),B=(-4,-2,-2)D.a=(1,3,1).^=(2,0,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得力/族，根据空间向量共线的判定依次判断即可.

【详解】因为直线/上平面直线/的方向向量为％,平面a的法向量为B，所以R/0,

11———111，一

对A,一,二。力不平行；对B,•.•-=-7—，：.a/不平行；

1-111-2

211__11--一

对C,=不==，a〃匕，故C正确；对D,a力不平行.

—4—2—22—1

故选：C.

3.有一组样本容量为10的样本数据为：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,则该样本中（）

A.中位数与平均数的值不同B.第70百分位数与众数的值不同

C.方差与极差的值相同D.方差与标准差的值相同

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的样本数据，分别求出平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、第70百分位

第1页/共18页

数，再逐项判断作答..

—1-i-^x2,-i-3x3-i-4x4

【详解】依题意，样本平均数x=--------------.............=3,中位数为3,A不正确;

10

4+4

因10x70%=7,于是得第70百分位数是——=4,众数为4,B不正确;

2

样本方差/二（1二3）一+2,（2二3）一+3〉（2s3）一+4,（匕3）-=1，极差为4—]=3,C不正确,

10

样本标准差J7=l，D正确.

故选：D

4.已知二项式04-上）的展开式中，所有的二项式系数之和为32,则该展开式中x的系数为（）

A.-405B.405C.-81D.81

【答案】A

【解析】

【分析】利用展开式二项式系数之和求出"，再利用展开式的通项公式求解即可.

【详解】由二项式。«-工]的展开式中，所有的二项式系数之和为2"=32,可得〃=5,

5-厂（1\-一"

其展开式的通项公式为4+1=仁・（341•=（-l）r-35-r-C；-x^（r=0,1,2,…,5）,

5-3r1

令弓―=L解得厂=1，则其该展开式中元的系数是（7）•35TC=-405.

故选：A.

5.若直线丁=履+2左与曲线y=J匚有两个不同的交点，则％的取值范围是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

联立直线的方程和曲线的方程，根据判别式大于零列不等式，解不等式求得左的取值范围.

第2页/共18页

【详解】由于y=丁匚2»0,所以1—工220,-l<x<l.y=kx+2k=k(x+2),要使直线和曲线有交

y-+2k

点,则左20.由1,—〃(x+2)2=1-必，即(1+42卜2+4左2兀+442—1=0,由于直线和曲线

16左4—40+左2）（4左2—1）〉0k2<-百

有两个交点，故〈3,解得ov左<组.

k>0C3

故选：B

【点睛】本小题主要考查根据直线和曲线的交点个数求参数的取值范围，属于基础题.

6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物

线的焦点.过点。(2贬,5)口平行于，轴的一条光线射向抛物线。：k=4丁上的A点，经过反射后的反射

光线与C相交于点3,则|AB|=()

79

A.-B.9C.36D.-

22

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出直线A3的方程为丁=在》+1，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，则得到

%+m=g，最后利用焦点弦公式即可.

【详解】令x=2&，则.2,

-4

则点A的坐标为(2J5,2),C的焦点为F(O,1),

则的尸二号二受，所以直线A3的方程为丁=也%+1，

204-4

与抛物线方程_?=4y联立，消去》得炉―a》一4=0，由韦达定理得乙+4=后,

所以力+yB=7（乙+/）+2="|，

9

所以由抛物线的定义得IA31=yA+yB+2=~.

故选：D.

第3页/共18页

y

X

7.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有

“上升”的正整数的个数为()

A.530B.502C.503D.505

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有C；个，…，九位数有个，再由

组合数的性质，即可求出结果.

【详解】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个”三位数有个，…，九位数有C；个，

则所有“上升”的正整数的个数为

C；++C；+…+=29Y-C；=502,

故选：B.

8.已知函数〃x)=x2—3xlnx+@,若V根，ne(0,+oo),且mw九时，都有

xm"n-n~m

则实数a的取值范围是()

A.(-oo,-16)B.(-co,-16]C.(-oo,-2)D.(-oo,-2]

【答案】D

【解析】

【分析】令g(x)=/3,由定义得出其单调性，进而得出2a<_?—3产在(0,+“)上恒成立，再由导数

得出A(x)=%3_3x2的最小值，即可得出实数a的取值范围.

【详解】令g(x)=""二%—31n%+彳

XX

因为V根，ne(0,+co),且加时，都有械(：)―牛⑺〉0,

mn—nm

第4页/共18页

〃加)，(〃)

即Vm，ne(0,+oo)，且机时，都有皿

n>0

m—n

所以g(x)在(0,+“)上单调递增,

即g'(无)=1-----袅0在(0,+8)上恒成立，即2a<x3-3x2在(o,+8)上恒成立.

xx

令〃(x)=/一3/，xe(0,+co),所以“(%)=3必—6x=3x(x—2),

令〃(力>。，解得%>2,令〃'(x)<0,解得0<x<2,

所以"(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

所以〃(x)mM=〃(2)=-4,所以2a<—4,即aW—2.

故选：D.

二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.数列｛&｝是首项为1的正项数列，a,+i=2a“+3,S,是数列｛4｝的前〃项和，则下列结论正确的是

()

A.%=13B.数列｛%+3｝是等比数列

C.an=4/7-3D.Sn=2向-〃-2

【答案】AB

【解析】

【分析】

由已知构造出数列｛4+3｝是等比数列，可求出数列｛&｝的通项公式以及前〃项和，结合选项逐一判断即

可.

【详解】4+i=2a“+3,.•.a“+i+3=2(a“+3),.•.数列｛4+3｝是等比数列

+1

又q=1,+3=(q+3)2=T,=2"—3,tz3=13,

4(1-2")

二Sn==------3n=2"+2_3〃—4.

“1-2

故选：AB.

第5页/共18页

10.已知函数/Xx)=(x+l)eX的导函数为了'(x),则()

A.函数/(口的极小值点为-"vB.0(—2)=0

e

C.函数的单调递减区间为(-8,-2)D.若函数g(x)=/(x)-a有两个不同的零点，则

【答案】BC

【解析】

【分析】求出函数的导数，即可判断B,判断函数的单调性，确定函数极小值点，判断A,C；将函数

g(x)=/(x)-a有两个不同的零点，转化为直线丁=。与y=/(x)的图象有2个交点，数形结合，求得。

的范围，判断D.

【详解】由f(x)=(x+l)e\得r(x)=(x+2)e\则/(—2)=0,B正确；

令/'(x)<0,则x<—2,令/'(x)>0,则;v>-2,

故f(x)在(-a),-2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增，

故AM的极小值点为尤=一2,且极小值为/(-2)=-4,A错误，

e

递减区间为(-8,-2),C正确；

若函数g(x)=/(x)-a有两个不同的零点，即直线V=a与y=f(x)的图象有2个交点，

当x<—1时，/(%)<0,当%>-1时，/(%)>0,当x趋向于负无穷时，趋近于0,

作出函数的图象，

结合图象可知当ae时，直线V=。与y=f(x)的图象有2个交点,

故函数g(x)=/(x)-a有两个不同的零点，则ae-二,0,D错误，

第6页/共18页

故选：BC

11.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面

体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为。的截角

四面体，则下列说法正确的是（）

A.ABLCG

B.二面角5-的平面角余弦值为工

3

11,

C.该截角四面体的外接球表面积为一万二

2

D.该截角四面体的表面积为6后？

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意还原正四面体，根据正四面体的几何性质，结合平行关系即可判断A,由二面角的定义，

结合几何法，由余弦定理即可求解B,设外接球的球心为。，DABC的中心为。，，的中心为

再根据题意得截角四面体上下底面距离为而-=,所以正-0底+依-0"可=巫吟

333

即（2_/血2_/=孚4,即可求解半径，进而判断C,对于D：因为截角四面体由4个边长为。

的正三角形，4个边长为。的正六边形构成，求面积即可判断.

【详解】对于A,先证明正四面体的对棱互相垂直.如图在正四面体中，ABLCD,证明如下：取CD

中点为0,连接0BA0,

由于四面体为正四面体，所以口BCD,口ACD均为等边三角形，故

CD1BO,CD±AO,AOr\OB=O,BO,AOu平面AOB,

所以C。，平面AOB,

A3u平面AOB,故ABVCD,

第7页/共18页

因此在截角四面体中，A5//NQ,在正四面体SNPQ中，SPLNQ,所以ABLCG,故A正确，

由于截角四面体的特征可知：六边形ABDEKJ,六边形EFHILK和六边形BCGHFD均为边长为。的正

六边形，

所以什，切,5斤，切，故N3PK即为二面角5-K的平面角，由正六边形的性质可得

KF=®=BF,BK=2a,

BF?+KF?-BK?3tz+3a——4a~

所以cosNBRK=一,故B正确,

2BF-KF2xy/3axV3<73

对于C,设外接球的球心为0,口43。的中心为。"口律。的中心为0〃,

因为截角四面体上下底面距离为46a--a^^a，所以^R*2-O'C2+^R2-O"H2=巫。,

333

所以R?一《=+R2_a?一位a.dR2一a?,所以丈二口片,

3338

所以S=4TIR2=—兀",故C正确；

2

对于D,由正四面体S-N尸。中，题中截角四面体由4个边长为〃的正三角形,

第8页/共18页

4个边长为。的正六边形构成，故5=4*组4+4乂6*巴42=76",故D错误；

44

故选：ABC

【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其

解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离

相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这

些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知z=o+砥,其中i为虚数单位.若2+i=(l+z)z,贝ija=；|z|=

【答案】①.』②.也9

22

【解析】

【分析】由复数相等2+i=(l+z)z,即可求Z,进而得到实部及复数的模;

【详解】2+z=(l+z)z,知：2==----i=a+bi,故。=—；

1+z222

【点睛】本题考查了复数的概念，根据复数相等，结合复数除法求复数，属于简单题；

13.为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A,B,C,。四所学校的6名选手进入集训队，其

中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手

第9页/共18页

来自同一所学校的分组方案有种.(用数字作答)

【答案】9

【解析】

【分析】利用间接法，结合平均分组法即可得解.

C；C；C；15x6x1y

【详解】将这6名选手平均分为三组，有6：2=---=15种分组方案，

A；6

其中来自A学校的3名选手都不在同一组，有A；=6种分组方案，

所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有15-6=9种.

故答案为：9.

14.如果两个函数存在零点，分别为a、P,若满足|a-£|<”,则称两个函数互为“〃度零点函数”.若

“X)=ln(x-2)与g(x)=ax?-Inx互为“2度零点函数”，则实数。的取值范围为.

【答案】(o，l

I2eJ

【解析】

【分析】求出函数/(x)的零点为3,根据题中定义可得出函数g(x)的零点的取值范围是。,5),进而可

得出方程a=F在xe(L5)有根，构造函数/?(%)=—「其中xe(l,5),求出函数〃(x)在区间(1,5)

X

上的值域，即为实数”的取值范围.

【详解】令/(x)=ln(x—2)=0,可得x=3,

设函数g(x)的零点为％,则鬲一3|<2,解得

由g(x)=0,可得ax?—lnx=0,得。=——，即方程a=—厂在xe(L5)有根,

XX

令"x)="，其中xe(l,5),则〃令〃(力=(),可得.人.

当l<x<〃时，"(尤)>0,此时，函数力⑴单调递增；

当&<x<5时，〃(力<0,此时，函数可力单调递减.

所以，碎)而=网五)=：，又项=0,A(5)=^.

所以，函数力(%)在区间。,5)上的值域为(0,4.

第10页/共18页

因此，实数。的取值范围是.

I2e」

故答案为：f0,——.

I2eJ

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=x3+3x?—ox在x=l处取得极值.

(1)求。的值；

(2)求/(x)在区间［—4,4］上的最大值和最小值.

【答案】(1)9；(2)最大值为76,最小值为一5.

【解析】

【分析】(1)求出导函数，利用〃幻在X=1处取得极值，尸。)=0,求解。即可.

(2)求出((x)=3f+6x-9.判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推

出最值即可.

【详解】解：(1)mf(x)=x3+3x2-ax,

所以f'(x)=3x2+6x-a.

因为/(x)在x=l处取得极值，

所以/'(1)=0,即3+6-0=0,解得a=9

经检验，符合题意.

(2)由(1)#f(x)=x3+3x2-9x.

所以f'(x)=3x2+6x-9.

令/'(x)>0,得—4Wx<—3或1<；

令r(x)<0,得一3<X<1.

第11页/共18页

所以/(x)的单调递增区间为[-4,-3),(1,4],单调递减区间为(—3,1).

所以Ax)的极大值为/(-3)=27,极小值为/(1)=-5

又"-4)=20,f(4)=76,

所以〃1)</(一4)</(-3)</(4)

所以/(X)的最大值为76,最小值为-5

16.已知各项均为正数的等差数列｛&｝的公差为4,其前〃项和为工，且2a2为S2，£的等比中项•

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设a=H，求数列也｝的前〃项和

【答案】(1)a„=4n-2

2〃+1

【解析】

【分析】(1)根据题意列出方程求出％,即可求得答案;

,4

(2)由(1)可得a=------的表达式，利用裂项相消法求和，即可求得答案.

aa

nn+l

【小问1详解】

由题意知｛4｝为各项均为正数的等差数列，公差为4,

=a+^-1^x4=3(q+4),

故%\+4,S2=2(q+2),邑=3q

2a2为S2,£的等比中项，即4。；=52邑，即4(%+4/=6(%+2)(%+4),

即(％+4)(勾—2)=0,t/j=2或q=—4(舍去)，

故4=2+4(〃-1)=4〃-2；

【小问2详解】

,4411}

由⑴得么=-----=-r.-］一7一丁Z7，

anan+l(47，一2)(4"+2)2^2n-l2n+lJ

第12页/共18页

故雹=b.+b^-\-----\-b=-11-----1--------1-----1------------------|

n12”2(3352n-l2n+l)

=%__])」

212n+1J2n+1

17.如图，在多面体A5CDER中，四边形ABC。是边长为2的正方形，EF//AD,AE=2EF=2,

ZEAD=120°，平面ADFE1平面ABCD.

(1)求证：BD_LCF；

(2)求平面A8E与平面厂所成锐角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

4

【解析】

【分析】(1)连接AC、AF1推导出AF_LA。，利用面面垂直的性质可得出AB1平面ADPE,可得出

推导出AR1.平面A8CD,可得出利用正方形的性质可得出8。，AC,可得出

8。1平面ACT,再利用线面垂直的性质可证得结论成立；

(2)以点A为坐标原点，AB.AD.所在直线分别为无、》、z轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量法可求得平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值.

【小问1详解】

证明：连接AC、AF，

因为四边形ABC。为正方形，则8。，AC,ABVAD,

因为ER=1,AE=2,ZEAD=12Q°，EFIIAD,则NAER=60°，

由余弦定理可得AR?=ER2+AE?—2AE-ERCOS60°=1+4—2xlx2x—=3,

2

所以，AF2+EF2=AE2>则AE_LEE，则

因为平面ADFE1平面ABCD,平面ADFEA平面ABCD=AD,ABVAD,

ABu平面ABCD,则AB1平面ADFE,

第13页/共18页

因为ARu平面ADFE,则

因为A3cAD=A,AB,A。u平面ABC。，则AR_L平面ABC。,

因为u平面ABC。，则BOLAF,

因为ARnAC=A,AF>ACu平面ACE,则8。1平面ACT,

因为CTu平面ACE,则

【小问2详解】

解：因为AR_L平面ABC。，ABVAD,以点A为坐标原点,

AB.AD.Ab所在直线分别为无、》、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0)、8(2,0,0)、D(0,2,0),F(0,0,V3),E(0,-1,网,

设平面A8E的法向量为由=(%,%,zj,AB=(2,0,0),AE=(0,-l,G卜

m-AB=2%=0

则〈—.广，取4=1可得访=(o,K,D，

m-AE=-yx+V3z1=0

设平面瓦加的法向量为方=(无2,％，Z2)，DB=(2-2,0),DF=(0,-2,V3),

n-DB=2x-2%=0

则〈—2?2取%=也，可得元=(6,百,2卜

ii-DF=-2y2+V3z2=0

5_Vio

所以cos比，为=।1

2函—4

因此平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值为叵.

4

18.已知函数/(x)=x+色^~~--In%(a<0).

X

(1)当。=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)求函数y=/(x)的单调区间；

(3)若对Vxe[e,+8)(e为自然对数的底数)，/(%)<%一@恒成立，求实数。的取值范围.

X

第14页/共18页

【答案】(1)2x+y-5=0；

(2)答案见解析；(3)(-八,0)

【解析】

【分析】(1)先求导，再求得切线斜率与切点，进而可求切线方程；

(2)先求导，得了QU-叫？"1)],注意。<0<1—。，进而利用导数与函数的单调性的关

X

系，求得了(X)单调区间；

⑶将题中不等式转化为/c恒成立，即/〈(加吠"，再构造函数且(力=方1观(％26),求得

g(x)的最小值，进而可求得。的取值范围.

【小问1详解】

221

当〃=_]时，ffx)=x-\---Inx,则/(％)=]—-----，

XXX

212

故女=尸(1)=1_正_'=_2,又“1)=1+不一lnl=3,

所以曲线y=/(x)在点(1"(1))处的切线方程为：y—3=—2(x—1),即2x+y—5=0.

【小问2详解】

因为/(%)=%+—^―~~--lnx(x>0),

x

所以/,(X)=]a("l)1==(X-叫x+("l)],

X2XX2X2

因为a<0,所以a<0<l-a,

令尸(x)>0,得x>l—a；令尸(x)<0,解得0<x<l—a；

所以y=/(%)的单调递增区间为(1-a,+8)，单调递减区间(0,1-a).

【小问3详解】

由f(x)<x—得xH--------Inx<x—,BPa<xln%,

xxx

所以对Vxe[e,+oo),恒有/(x)<x—@成立，等价于对Vxe卜,+co),恒有<?<对皿成立，即

a2<(xlnx),

\zmin

令g(x)=xlnx,xe[e,+oo),则g'(x)=lnx+l2lne+l=2>。，

第15页/共18页

故g(x)在［e,+oo)单调递增,所以g(x)min=g(e)=elne=e,

所以/(e，BP-Ve<a<Ve>

又a<0,故—五<a<0，即ae(一五,0).

【点睛】本题综合考查利用导数求函数的切线方程，求函数的单调区间，利用导用求不等式恒成立时参数

范围.第(3)问中不等式恒成立的等价转化是解本题关键也是难点，最后用分离参数法求参数范围.

19.已知双曲线C