同步奥数培优 第十五讲 容斥原理

第十五讲容斥原理[知识概述]求和问题，通常只要直接相加就可以直接得出答案。例如:五门)班有男生24人，女生26人，五(1)班共有学生多少人?24+26=50(人)但是，有的求和问题却不能直接求出答案。例如:五(2)班一次期未测验中，语文得“优”的有24人，数学得“优”’的有26人，两门都得“优”的有10人，五(2)班共有学生多少人?很显然,求全班的学生人数，不能用24和26直接相加，把24和26相加时,把语文、数学都得“优”的10人多加了一”次,因此全班人数应当是:24+26-10=40(人)像这道有重复包含情况的数学题，就是包含与排除问题，在解题时应考虑排除由于重复、相互包含而引起的多加的数。容斥原理就是通常所说的包含与排除。下面我们来看容斥原理的一般解法:如图，两张圆纸的面积分别为A和B，它们相互包含的部分的面积为C。求覆盖在桌面上的面积。因为:A-D+C,B=C+E.所以A+B=D+C+C+E，D+C+E=A+B-C也就是说.4和B的覆盖面积等于它们的面积之和减去它们相互包含部分的面积。例题精学例1一次数学竞赛，只有两道题。结果做对第1题的有24人，做对第2题的有36人，两道题都做对的有8人，参加竞赛的有多少人?[思路点拨]我们先根据题意画出线段图:24人包括只做对第1题和两题都做对的人数，36人包括只做对第2题和两题都做对的人数，从24人与36人的和中减去两题都做对的人数就是参赛的总人数:24+36-8=52(人)。还可以这样想:只做对第1题的有24-8=16(人)，加上36人，就是参赛的总人数:16+36=52(人)。或只做对第2题的有36-8=28(人)，加上24人，就是参赛的总人数:28+24=52(人)。因此本题有三种解法。同步精练五(3)班学生在期中考试时，语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都得100分的有6人，五(3)班参加语文、数学考试中至少有1门得100分的共有多少人?五年级学生到书店去买书，每个人都买了书,其中买语文书的有30人，买数学书的有26人，语文、数学两种书都买的有12人，五年级学生共有多少人?大华纺织厂的女工每人至少参加业余唱歌、舞蹈组中的一个组,有30人参加唱歌组，有36人参加舞蹈组，两个组都参加的有10人，大华纺织厂有女工多少人?例2一张长10厘米、宽5厘米的长方形纸片，一张面积是40平方厘米的圆形形纸片,两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米。求两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米。[思路点拨]长方形纸片的面积是:10X5=50(平方厘米)，两张纸片的总面积是:50+40=90(平方厘米),但两张纸片覆盖在桌面上的面积只有60平方厘米，多出的部分就是两张纸片重合部分的面积，即:90一60=30(平方厘米)。同步精练1.五(1)班有50人，参加数学课外兴趣小组的有35人，参加语文课外兴趣小组的有30人，每人至少参加数学、语文中的一个组。问两个组都参加的有几人?2.有长10厘米宽8厘米的长方形与边长5厘米的正方形如图放在桌面上(阴影部分是两个图形的重叠部分)。这两个图形盖住的桌面的面积是多少平方厘米?五(2)班共有42名学生,其中少先队员有33人，这个班男生有20人，女生中有4人不是少先队员,男生中有多少人是少先队员?1.爸爸和小华的年龄共56岁.妈妈和小华的年龄共54岁,爸爸、妈妈的年龄共82岁，小华今年多少岁?2.参加数学竞赛的有46人，做对第1题的有32人，做对第2题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人?3.小华骑自行车去游玩A,B,C三个景点，她如果从A地出发，经过B地到达C地,共走10千米;如果从B地出发，往C地到达A地,共行13千米;如果从C地出发，往A地到达B地，共走11千米。哪两个景点之间的距离最短?最短的距离是多少千米?在一个车间48个工人中，调查会游泳和会骑自行车的人数，发现每个工人至少会一样，调查平均每12个工人中有7人会游泳，每4个人中有1个人两样都会,会骑自行车的有多少人?5.下图中两个长方形的面积之和是43平方厘来，两个长万形的长和宽都是整厘米数。求两个长方形重叠部分的面积是多少平方厘米。6.有100名居民看过电视，有62人看过中央1频道，有34人看过2频道，11人1频道2频道都看过，这两个频道都没有看过的有多少人?7.希望小学举行各年级学生的画展.其中18幅不是六年级的