内蒙古赤峰2024学年高二年级上册期末考试数学试卷(理)

内蒙古赤2024-2025学年高二上学期期末考试数学（理）试题

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项

是符合题目要求的.

1.某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120

户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学

校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练状况，记作②.那么完成上

述两项调查应采纳的抽样方法是（）

A.①用简洁随机抽样②用系统抽样B.①用分层抽样②用简洁随机抽样

C.①用系统抽样②用分层抽样D.①用分层抽样②用系统抽样

2.已知，是虚数单位，若z（l+3i）=i,则z的共轨复数的虚部为（）

A.—B.---C.—D.---

10101010

3.用反证法证明命题：”三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）

A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度

C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度

4.执行下图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的％值的个数

是（）

A.1B.2C.3D.4

5.函数y=%—/的增区间为()

A.(1,+oo)B.(0,+oo)C.(-oo,0)D.

6.用数学归纳法证明1——+———H---1-----------=--11---"时，由

2342n-lInn+1n+22n

几二上的假设证明〃=k+1时，假如从等式左边证明右边，则必需证得右边为（)

1111

A.B.----+•••+—+------+------

k+12k2k+\2k+2

八111111

C.---------F•••H---------1-------------D.----------F•••H-------------1------------

人+22k2左+1k+22左+12k+2

7.若〃=33（］o）力=52⑹,c=lllll（2），则三个数的大小关系是（）

A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

8.曲线y=/和曲线,2=入围成的图形面积是（）

124

A.-B.一C.1D.一

333

9.国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰站

点乘车去红山公园游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系.假设

两人的动身时间是独立的，在8:00到8:30之间到达7路公交赤峰站点是等可能的，则

两人不须要发短信联系就能见面的概率是（）

1305n5

AA.一Bn.一C.-D.一

2496

10.执行如图中的程序框图.若输入根=209,“=121,则输出的加的值为（）

A.0B.11C.22D.88

11.设/（X）是定义在R上的奇函数，且/（2）=0,当x>0时，有恒成立，则不等式

/了（%）>0的解集是（）

A.（-2,0）1（2,+oo）B.（-oo,-2）（0,2）

C.（―s,—2）U（2,+⑹D.（—2,0儿（0,2）

12.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小

圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点在大圆内

所绘出的图形大致是（）

第n卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为加，中位数为“，众数为p,

则m,n,p的大小关系是.

14.用秦九韶算法计算多项式〃X）=2X6—2炉—/+%2一2%+4,当x=2时，吟的值

15.已知定义在区间［0,1］上的函数y=/（x）图象如图所示，对于满意0<%<%<1的随

意％,%结出下列结论:

①/(%2)一/(七)〉々一花②(3)>的/(%)③

其中正确结论的序号是.（把全部正确结论的序号都填写在横线上）

16.对于实数x,［x］表示不超过x的最大整数，视察下列等式：

［&］+［行］+［6］=3

=io

［的］+［而］+［血］+［疝］+［厢］+［9］+［厉］=21

依据此规律第n个等式的等号右边的结果为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

甲、乙两位学生参与数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机

抽取8次，记录如下：

甲8281797895889384

乙9295807583809085

（I）用茎叶图表示这两组数据；

（II）现要从中选派一人参与数学竞赛，你认为选派哪位学生参与合适？请说明理由.

18.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=ax'+炉-ax（^a,xeR）。

（1）当。=1时，求函数/（X）的极值；

（2）若/（x）在区间［0,+8）上单调递增，试求。的取值或取值范围。

19.（本小题满分12分）

已知〃“）=1+:+?+…+L经计算得〃4）〉2,〃8）〉。,〃16）〉3,〃32）〉：

15n2.2

（I）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；

（II）用数学归纳法证明你的猜想.

20.（本小题满分12分）

今年暑假期间，雅礼中学组织学生进社区开展社会实践活动.部分学生进行了关于“消防平

安”的调查，随机抽取了50名居民进行问卷调查，活动结束后，对问卷结果进行了统计，

并将其中“是否知道灭火器运用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：

年龄（岁）[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数mn141286

知道的人数348732

（1）求上表中的7"、”的值，并补全下图所示的频率分布直方图;

OO2K

0（>：4

（KO2U

<><»|6

（»（H2

0OOX

U.OU4

102030-10506070年龄

（2）在被调查的居民中，若从年龄在［10,20）,［20,30）的居民中各随机选取1人参与消防

学问讲座，求选中的两人中仅有一人不知道灭火器的运用方法的概率.

21.（本小题满分12分）

假设关于某设备的运用年限了和所支出的修理费用y（万元）有如下的统计资料:

运用年限123456

修理费用y2.23.85.56.57.0

若由资料知y对x呈线性相关关系.

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程£=嬴+3的回归系数）2.3

（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？"

__

Y.x^-nxy__

b=---------a=y-bx

i=\

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分12分）

已知函数/'(x)=alnx-x+l(aeR).

（I）求/（x）的单调区间；

（II）若〃x）W0在（0,+s）上恒成立，求全部实数a的值;

In2In3In4Innn(n-l)

(III)证明:----+——+----+…+----<(neN,n>1).

345n+14

内蒙古赤峰2024-2025学年高二上学期期末考试数学(理)试题

参考答案

【选择题答案速查】

题号123456789101112

答案BBBDCDDACBBA

1.B

【解析】

试题分析：因为800户家庭中，高收入家庭，中等收入家庭，低收入家庭状况不同，故宜采

纳分层抽样法；12名音乐特长生，人数较少，应用简洁随机抽样法，简便易行，故选B.

考点：本题主要考查简洁随机抽样的简洁随机抽样法、分层抽样法、系统抽样法.

点评：这是一道基础学问填空问题，必需明确简洁随机抽样、分层抽样、系统抽样的方法步

骤.

2.B

【解析】

试题分析：因为z=='(j)=2+_L,所以，所以z的共软复数的虚部为一工.故

1+3，10101010

选B。

考点：复数运算.

3.B

【解析】

试题分析：依据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个

也没有”；即“三内角都大于60度”.故选B.

考点：反证法与放缩法.

4.D

【解析】

试题分析：x3=x,解得石=0,%2=1,%3=-1，三个都满意，令3x-3=x,解得,满意

条件，当x>3时，无解，所以有4个，故选D.

考点：程序框图.

5.C

【解析】f'(x)=l-ex,：./'(x)>0的解集为x<0,故函数的增区间为(一oo,0),故选析

6.D

【解析】

试题分析：当“=左+1时，等式的右边为^―+,+…+—、；故选D。

k+2k+32k+12(^+l)

考点：数学归纳法.

7.D

【解析】本题考查进制转换.

统一转化成十进制后比较大小，0=52(6)=5x6+2x6°=32(10),

c=lllir.=1X24+1X23+1X22+1X21+1X2°=3L,,故。>0>c,选D.

\z)n

8.A

【解析】

试题分析：解方程组和y2=x,得曲线的交点(0.0)和(L1),在x取区间(01)内范围内/=工的

图象始终在函数y='的上方，故曲线围成的图形面积S=［；(y=；。~

考点：定积分的几何意义.

9.C

【解析】

设两人分别于1时和y时到达约见地点，要使两人不需发短信即可见面，则必需，又两人到

达地铁站的全部时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的正方形内(包括边界)中的点来表示,

两人不需发短信即可见面的全部时刻(x,y)的各种可能结果用图中的阴影部分(包括边界)

来表示。

所以，所求概率尸="皿

s正方形

10.B

【解析】

试题分析：第一次循环：根=121,〃=88；其次次循环：机=88,〃=33；第三次循环:

根=33,〃=22；第四次循环：〃z=22,〃=ll；第五次循环：m=11,〃=0；结束循环，

输出加=11,选B。

考点：循环结构流程图

11.B

【解析】

试题分析：因为当x＞0时，有恒成立，所以恒成立，所以在（0,+oo）内单调递减.因为

"2）=0,所以在（0,2）内恒有〃x）＞0；在（2,+8）内恒有〃力＜0.乂因为“X）是

定义在R上的奇函数，所以在（一工一2）内恒有〃力＞0；在（―2,0）内恒有/（x）＜0.又

因为不等式//（力＞0的解集，即不等式〃x）＞0的解集，由上分析可得，其解集为

（-w,-2）（0,2）,故应选B。

考点：1、函数的基本性质；2、导数在探讨函数的单调性中的应用。

【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在探讨函数的单调性中的应用，属中档

题.其解题的一般思路为：首先依据商函数求导法则可知化为；然后利用导数的正负性可推

断函数在（0,+8）内的单调性；再由/（2）=0可得函数/（%）在（0,+8）内的正负性；最终

结合奇函数的图像特征可得，函数/'（x）在（-8,0）内的正负性，即可得出所求的解集。

12.A

【解析】

试题分析：如图所示，为小圆的直径，在运动过程中，NMNN'恒为9Q。,两

个圆的连心线保持不变，故只能在大圆相互垂直的两条直径上，故选A.

考点：动态分析的方法、特别值法.

【思路点睛】本题是一个动态分析的题目，解法就是采纳详细化的方法，首先按题意，画出

运动状态下某个位置的图象，然后结合已知条件和选项来推断.

13.m<n<p

【解析】

试题分析：将所给数据按从大到小的依次排列可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,所

以中位数为15,众数为17,经计算可知平均数为14.7,所以根<“<°。

考点：本小题主要考查平均数，中位数，众数等.

点评：众数是出现次数最多的数，众数不唯一；中位数是一组数据按依次排列后，排在最中

间的一个数或中间两个数的平均数.

14.15

【解析】

试题分析：/（X）=（（（（（2x-2）x+0）x-l）x+l）x-2）x+4,%=2,匕=2x2-2=2,

v2=2x2=4,v3=4x2—1=7,v4=7x2+1=15.

考点：秦九韶算法.

15.②③

【解析】

试题分析：由/（9）—/（xj〉/—玉可得，即两点（七,/（为））与（％2，/（々））连线的斜率

大于1,明显①不正确；由々/（xj>为/（%2）得，即表示两点（%,/（%））、（％2，/（%2））与

原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，简洁推断③的结论是正确的.

考点：1.函数的图像；2.直线的斜率。

16.2n~+n

【解析】

试题分析：视察等式的右边，得3=lx3=lx（2xl+l）,10=2x5=2x（2x2+l）,

21=3x7=3x（2x3+l）；由此猜想，得：第“个等式的等号右边的结果为

n（2n+l）=2n~+n.

考点：归纳推理.

17.解：（1）作出茎叶图如下,

甲乙

9875

842180035

539025

4

分

（2）派甲参赛比较合适。理由如下：

——1

漏=—（70x2+80x4+90x2+8+9+1+2+4+8+3+5）=85,

8

一1

x乙=—（70x1+80x4+90x3+5+0+0+3+5+0+2+5）=85,

8

分

22222

S甲2=1［（78-85）+（79-85）+（81-85）+（82-85）+（84-85）+

（88-85）2+（93-85）2+（95-85）1=35.5

s乙2=（［（75—851+（80_85『+（80—85）2+（83—85）2+（85_85『+

（90-85）2+（92-85）2+（95-85）2］=41

8分

；濡=总S甲2<s乙2,...甲的成果较稳定，派甲参赛比较合适。

10分

【解析】略.

18.（1）极大值为1,微小值为一工；（2）。=0。

27

【解析】

试题分析：（1）当。=1时，令导数等于零得极值点，代入函数求得极值；（2）若f（x）在

区间［0,+8）上是单调递增函数，则/'（X）在区间［0,+oo）内恒大于或等于零，探讨求得

6Z—0o

试题解析：（1）当4=1时，/（X）=d+/_%（=3/+2%—1,

令尸（x）=0,贝I,2分

%、r（x）和八工）的改变状况如下表:

1

-1

3

r(x)+0—0+

极大值/(—1)=1微小值

即函数的极大值为1,微小值为

(2)f'(x)=3ax2+2x-a,

若〃x）在区间［0,+oo）上是单调递增函数，则F'（x）在区间［0,+8）内恒大于或等于零，

若。＜0,这不行能，

若a=0,则〃x）=x2符合条件；........

8分

若。＞0,则由二次函数/'（x）=3ax1+2x-a的性质知

,即，这也不行能，........11分

所以

。=0。........12

分

考点：利用导数求函数极值、二次函数、利用导数探讨函数单调性.

19.（1）；（2）证明解析.

【解析】

试题分析：（1）由归纳推理进行猜想；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明.

试题解析：（1）由题意知，/（22）＞2=——,/（23）＞-=-—

/（力〉3+"（25"=妾

由此得到一般性结论:4分

.r\

(或者猜想/(2")〉气—(〃>2,neN)也行).

(II)证明：

(1)当〃=1时，f(22)=l+-+-+-=—>-=^,所以结论成立.

\)2341222

（2）假设”=左（左21,左eN）时，结论成立，即........6分

那么，“二k+1时，/(2*—)=1-1----11-----1——H——------1——------1------1T—T

」\)232从12*+1+121+22K2

k+3111

>-------+--——+——;------+•••+---T

k+3111k+32k+1左+1+3

〉-----1-----1------------------1-----------

22k+22k+22k+222k+22

所以当〃=k+1时，结论也成立.........

10分

综上所述，上述结论对“21,”eN都成立，所以猜想成立.........

12分

考点：1.归纳推理；2.数学归纳法.

20.（1）m-4,n—6；（2）。

【解析】

试题分析：（1）由频率分布直方图可得，年龄在［10,20）的频数为4,年龄在［20,30）的频

数为6,据此可补全频率分布直方图；（2）记年龄在区间［10,20）的居民为％,A，4（其

中居民（为不知道运用方法）；年龄在区间［20,30）的居民为生用,员,功,^，线（其中居民

以不知道运用方法）•列举可得出基本领件的总个数，其中满意题意的有10个，由概率

计算公式即可得出所求的结果。

试题解析：（1）年龄在［10,20）的频数为根=4,年龄在［20,30）的频数为n=6.

…4分

（2）记年龄在区间［io,20）的居民为知4,&，4（其中居民％为不知道运用方法）；年龄

在区间［20,30）的居民为4也,员,84,85,线（其中居民九打不知道运用方法）•选取的两

人的情形有:（%,%），（%也）,（qW）,（%,纭）,（%也）,（q,叫），（4,4）,（4也）,

（4也）＞（4，q）＞（4，区）,（4,叫）,（44）,（4也）,（4，员）,（&,约）,（4，区）,

叫）,也），⑶线），共24个基本

（A，（44）,（4（aw）,（A4,B4）,（aw）,

领件，........9分

其中仅有一人可知道灭火器的运用方法的基本领件有10个.

所以选中的两人中仅有一人不知道灭火器的运用方法的概率........12分

考点：1,频率分布直方图；2、古典概型计算概率公式。

21.（1）略；（2）y=1.23%+0.08；（3）12.38万元.

【解析】

试题分析：（1）在平面直角坐标系中以x为横坐标，以y为纵坐标，作出

（2,2.2）,（3,3.8）,（4,5.5）,（5,6.5）,（6,7）,五点，得表中数据的散点图；

（2）由表中数据先求出x,y,再求出，然后求出（3）利用（2）中得出的求出线

性回来方程y=1.23x+0.08,将x=10代入线性回来方程y=1.23x+0.08,得出y,并

对问题做出回答；在求解线性回来方程时，计算要精确，要留意精确度的要求，代入

n__

^x^-nxy__

b=T-------二；,a=y-Ax之前要先求出；利用线性回来方程求出y后，要对问题做出

i=l

回答.

试题解析：（1）作出散点图如下.

-4分

,生小—2.2+3.8+5.5+6.5+7_..

(2x)由上表知，，y=---------------------------=5.............5分

5

5

Z%%=2x2.2+3x3.8+4x5.5+5x6.5+6x7=112.3

i=i

5

=22+32+42+52+62=90

1=1

,•,6分

5___

所”N一g―5"723

e2/-\290-5x4-

Lxi-n(x)

i=l

7分

a=y-bx=5-1.23x4=0.08。

8分

(3)由(2)知y=L23x+0.08,

9分

将x=10代入y=1.23x+0.08，得y=1.23义10+0.08=12.38

11分

所以，估计运用年限为10年时，修理费用是12.38万元.

12分

考点：①散点图；②线性回来.

22.(I)递增区间为(0,。)，递减区间为(a,+oo)；(II)a=l；(III)详见解析

【解析】

试题分析：(I)/,(x)=--l=^^(x>0),对aWO和。>0进行分类探讨；(II)由

XJC

(I)知：当aWO时，〃x)在(0,+oo)上为减区间，而/⑴=0.〃x)WO在区间

xe(0,+oo)上不行能恒成立；当。>0时，/(%)在(0,。)上递增，在(a,+Q0)上递减，

/(xkax=/(。)=alna