2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测七第一章集合与常用逻辑用语1.4.2充要条件含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测七充要条件(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.“x=3”是“x2=9”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当x=3时,x2=9;但x2=9,有x=±3.所以“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件.2.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由“a>2”可推出“a2>2a”,由“a2>2a”不能推出“a>2”,所以“a>2”是“a2>2a”的充分不必要条件.3.若x,y∈R,则“x≤1,y≤1”是“x2+y2≤1”成立的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选B.因为若x,y∈R,x≤1,y≤1,则x2+y2≤1不肯定成立,所以充分性不成立.若x2+y2≤1,则可得x≤1且y≤1,所以必要性成立.4.假如A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选B.依据题意列出A,B,C,D的关系,A⇐B⇔C⇐D明显有D⇒C⇒B⇒A,即D⇒A;但AD.5.若集合A={x|x2-5x+4<0},B={x||x-a|<1},则“a=2”是“B⊆A”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.A={x|x2-5x+4<0}={x|1<x<4},B={x|a-1<x<a+1}.若B⊆A,则满意QUOTE解得2≤a≤3,所以“a=2”是“B⊆A”的充分不必要条件.6.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是()A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件【解析】选A、B、D.Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根,A对;Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,B对;Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根⇒/Δ>0,C错;Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根,D对.二、填空题(每小题5分,共10分)7.“-2<x-1<2成立”是“x(x-3)<0成立”的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).

【解析】-2<x-1<2⇒-1<x<3,x(x-3)<0⇒0<x<3,{x|0<x<3}{x|-1<x<3},由此可知“-2<x-1<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件.答案:必要不充分8.下列命题中是真命题的是________(填序号).

①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件;③“b2-4ac<0”是“y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件;④“三角形的三边满意勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”.【解析】①因为由x>2且y>3⇒x+y>5,但由x+y>5不能推出x>2且y>3,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件.②因为由x>1⇒|x|>0,而由|x|>0不能推出x>1,所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件.③因为由b2-4ac<0不能推出y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒小于0,而由y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2-4ac<0,所以“b2-4ac<0”是“y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件.④由三角形的三边满意勾股定理⇒此三角形为直角三角形,由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满意勾股定理,故②④是真命题.答案:②④三、解答题(每小题10分,共20分)9.证明:ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【证明】①充分性:由a+b+c=0得a=-b-c,代入ax2+bx+c=0,得(-b-c)x2+bx+c=0,即(1-x)(bx+cx+c)=0.所以ax2+bx+c=0有一根为1.②必要性:由ax2+bx+c=0有一个根为1,把它代入方程即有a+b+c=0.综上可知,ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.10.已知p:x≤2,q:x≤a,分别求满意下列条件的实数a的取值范围.(1)p是q的充分条件.(2)p是q的必要条件.【解析】