2024-2025学年新教材高中数学第七章三角函数7.2.3同角三角函数的基本关系式课时素养检测含解析新人教B版必修第三册

PAGE课时素养检测五同角三角函数的基本关系式(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若α为锐角,sinα=QUOTE,则cosα= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为sinα=QUOTE,且α为锐角,所以cosα=QUOTE=QUOTE.2.化简:(1+tan2α)·cos2α等于 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.原式=QUOTE·cos2α=cos2α+sin2α=1.【补偿训练】已知sinα+sin2α=1,则cos2α+cos6α+cos8α的值为 ()A.1B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选A.因为sinα+sin2α=1,所以sinα=1-sin2α=cos2α,所以cos2α+cos6α+cos8α=sinα+sin3α(1+sinα)=sinα+sin2α(sinα+sin2α)=sinα+sin2α=1.3.(多选题)下列说法中,可能成立的是 ()A.sinα=QUOTE且cosα=QUOTEB.sinα=0且cosα=-1C.tanα=1且cosα=-QUOTED.α为第四象限角,tanα=-QUOTE【解析】选BC.因为sin2α+cos2α=1所以选项A肯定不成立.选项B满意sin2α+cos2α=1,可能成立.选项C中,tanα=1,所以sinα=cosα,所以cosα=sinα=-QUOTE,可能成立.选项D中,应有tanα=QUOTE,故tanα=-QUOTE不成立.4.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=QUOTE,则sinθcosθ的值为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=QUOTE,所以sin2θcos2θ=QUOTE,因为θ是第三象限角,所以sinθcosθ=QUOTE.【补偿训练】已知cosα=QUOTE,则sin2α等于 ()A.QUOTEB.±QUOTEC.QUOTED.±QUOTE【解析】选A.sin2α=1-cos2α=QUOTE.5.若π<α<QUOTE,则QUOTE+QUOTE的化简结果为 ()A.QUOTE B.-QUOTEC.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.原式=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.因为π<α<QUOTE,所以原式=-QUOTE.6.已知sinα-cosα=QUOTE,α∈(0,π),则tanα= ()A.-1 B.-QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选A.由sinα-cosα=QUOTE两边平方,得1-2sinαcosα=2,所以sinαcosα=-QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以tan2α+2tanα+1=0,所以(tanα+1)2=0,所以tanα=-1.【补偿训练】若QUOTE=2,则sinθcosθ= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.±QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由QUOTE=2,得tanθ=4,sinθcosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知角α的终边在直线y=x上,则tanα=;sin2α+sinαcosα=.

【解析】tanα=QUOTE=1,sin2α+sinαcosα=QUOTE=QUOTE=1.答案:118.在△ABC中,QUOTEsinA=QUOTE,则∠A=.

【解析】因为2sin2A所以2(1-cos2A即(2cosA-1)(cosA+2)=0,所以cosA=QUOTE或cosA=-2(舍去),所以A=60°.答案:60°三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知3sinα-2cosα=0,求下列各式的值.(1)QUOTE+QUOTE.(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α.【解析】因为3sinα-2cosα=0,明显cosα≠0,所以tanα=QUOTE,(1)QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.已知tanα=QUOTE,且α是第三象限角,求sinα,cosα的值.【解析】由tanα=QUOTE=QUOTE,得sinα=QUOTEcosα,①又sin2α+cos2α=1,②由①②得QUOTEcos2α+cos2α=1,即cos2α=QUOTE.又α是第三象限角,所以cosα=-QUOTE,sinα=-QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知α是三角形的一个内角,且sinα+cosα=QUOTE,那么这个三角形的形态为()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.(sinα+cosα)2=QUOTE,所以2sinαcosα=-QUOTE<0,又因为α∈(0,π),sinα>0.所以cosα<0,所以α为钝角,则这个三角形的形态为钝角三角形.【补偿训练】已知sinα-cosα=-QUOTE,则sinαcosα等于 ()A.QUOTEB.-QUOTEC.-QUOTED.QUOTE【解析】选C.将所给等式两边平方,得1-2sinαcosα=QUOTE,故sinαcosα=-QUOTE.2.已知2cosα+sinα=QUOTE,α是第四象限角,则tanα= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.3 D.-3【解析】选B.因为α是第四象限角,所以cosα>0,sinα<0,设x=cosα>0,y=sinα<0,则QUOTE解方程组得QUOTE所以tanα=QUOTE=-QUOTE.【补偿训练】已知x∈QUOTE,sinxcosx=-QUOTE,则tanx=.

【解析】因为x∈QUOTE,所以sinx-cosx>0,sinx+cosx>0,所以sinx+cosx=QUOTE=QUOTE=QUOTE,sinx-cosx=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinx=QUOTE,cosx=-QUOTE,所以tanx=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE3.(多选题)(原创)已知θ为随意角,sinθ+cosθ=QUOTE,则tanθ的可能值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选AD.将sinθ+cosθ=QUOTE两边平方,得1+2sinθcosθ=1-QUOTE,即sinθcosθ=-QUOTE,易知θ≠QUOTE+2kπ(k∈Z).故sinθcosθ=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,解得tanθ=-QUOTE或tanθ=-QUOTE.4.若α∈[0,2π),且有QUOTE+QUOTE=sinα-cosα,则角α的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=sinα-cosα,所以sinα≥0,cosα≤0,又因为α∈[0,2π),所以α∈QUOTE.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在△ABC中,若tanA=QUOTE,则sinA=.

【解析】因为tanA=QUOTE>0,则∠A是锐角,则sinA>0,解方程组QUOTE得sinA=QUOTE.答案:QUOTE6.已知θ为第四象限角,sinθ+3cosθ=1,则tanθ=.

【解析】因为(sinθ+3cosθ)2=1=sin2θ+cos2θ,所以6sinθcosθ=-8cos2θ,因为θ为第四象限角,cosθ≠0,所以上式两边同除以cos2θ,得tanθ=-QUOTE.答案:-QUOTE7.已知tanα=cosα,那么sinα=.

【解析】由于tanα=QUOTE=cosα,则sinα=cos2α,所以sinα=1-sin2α,解得sinα=QUOTE.又sinα=cos2α≥0,所以sinα=QUOTE.答案:QUOTE8.已知sinθ=QUOTE,cosθ=QUOTE,则m=,

tanθ=.

【解析】由sin2θ+cos2θ=1得,m=0或8.当m=0时,sinθ=-QUOTE,cosθ=QUOTE,tanθ=-QUOTE;当m=8时,sinθ=QUOTE,cosθ=-QUOTE,tanθ=-QUOTE.答案:0或8-QUOTE或-QUOTE三、解答题(共38分)9.(12分)(2024·柳江高一检测)已知sinθ=QUOTE,0<θ<QUOTE.(1)求tanθ的值;(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因为0<θ<QUOTE,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因此,tanθ=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.(12分)求证:sinα(1+tanα)+cosαQUOTE=QUOTE+QUOTE.【证明】左边=sinαQUOTE+cosαQUOTE=sinα+QUOTE+cosα+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=右边.即原等式成立.11.(14分)已知sinθ,cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,且QUOTE<θ<2π,求角θ.【解析】由题意,得QUOTE将①②代入(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,得m=QUOTE.又因为QUOTE<θ<2π.所以sinθcosθ=QUOTE<0,所以sinθ+cosθ=m=QUOTE,所以sinθ=-QUOTE,cosθ=QUOTE.又因为QUOTE<θ<2π,所以θ=QUOTE.【补偿训练】设A是三角形的内角,且sinA和cosA是关于x的方程25x2-5ax-12a=0的两个根.(1)求a的值.(2)求