2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共有8小题，各题均附有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）2023年9月23日，第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市隆重举行．下面选取的图标是按轴对称图形设计的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算式子正确的是（）A．（a3）3＝a9 B．（2a）3＝6a3 C．（﹣a3）2＝﹣a6 D．（﹣a2）3＝a63．（3分）在△ABC中，D是BC上一点，一定能使得△ABD与△ACD面积相等的一个条件是（）A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．BD＝CD4．（3分）已知am＝2，则a2m+a3m＝（）A．10 B．12 C．13 D．325．（3分）如图，△ABC≌△DBE，D点在AC边上，若∠A＝70°，则∠CDE的度数为（）A．40° B．35° C．70° D．45°6．（3分）如图，△ABC，BE⊥AC边的延长线于E点，CD⊥AB边于D，下列结论不一定成立的是（）A．AC×BE＝AB×CD B．∠ACD＝∠ABC+∠CBE C．∠ACB﹣∠BCE＝90° D．AD+DB＞AC+CE7．（3分）如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（）A．腰是底的2倍 B．底是腰的2倍 C．顶角是90° D．底角是45°或72°8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）若4m•23＝85，则m＝．10．（3分）比较大小：22023×7202332023×52023.（填“＞”、“＜”或“＝”）11．（3分）已知点A（2，3）、B（0，1）、C（3，1）．写出点A关于直线BC的对称点的坐标．12．（3分）正多边形的每一个内角比相邻的外角大90°，则这个多边形的边数是．13．（3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，AC＝DF，还需要添加条件.（填写一个条件即可）14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E，交AB于F，则CE+ED+DF+FB＝．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，已知AC＝4cm，AB＝5cm，则S△ACD：S△ABD＝．16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（用含α的代数式表示）．三、解答题（第17-24题共8题各5分.第25-26题共2题各6分，共52分）17．（5分）计算：（﹣ab2）3+ab2•（ab）2•（﹣2b）2．18．（5分）计算：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）．19．（5分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．20．（5分）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，求a2022b2023的值．21．（5分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．22．（5分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝25，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）补全图．（2）写出∠COD＝°．∠MPN＝°，△PMN的周长为．23．（5分）数学课上，黄老师出了这样一道题：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，已知CD＝AB+BD，求证：∠B＝2∠C．小徐的思路是：在CD上截取DE＝BD，连接AE．请你根据小徐的思路，补全图形并完成以下推理（数学依据只需注明①②）．∵AD⊥BC，DE＝DB∴AB＝AE，（依据①：）∴∠B＝∠AED，（依据②：）继续证明如下：24．（5分）已知：如图，线段AB∥直线l．（设AB到直线l的距离为d，满足AB＞d）求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写出作法）．解：（1）满足条件的点共有个；（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点P；（保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：P1，P2，…）（3）其中，使得△PAB的周长最小的点是．25．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＜60°，D点是BC边中点，连接AD，在△ABC的外部，以AC为边作等边三角形ACE，连接BE，交AD于F，交AC于G．（1）依题意补全图形；（2）求∠EBC的度数；（3）用等式表示FA，FD，FE这三条线段之间的数量关系，并证明．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，经过点T（t，0）作垂直于x轴的直线l，点A（t﹣2，2）与点B关于直线l对称．（1）点C是直线l上一点，连接AB，AC，BC得到△ABC．①当t＝3时，点B的坐标为；②当t＝1且直线AC经过原点O时，点C的坐标为；③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是．（2）在AB下方以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b的取值范围．

2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有8小题，各题均附有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）2023年9月23日，第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市隆重举行．下面选取的图标是按轴对称图形设计的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列计算式子正确的是（）A．（a3）3＝a9 B．（2a）3＝6a3 C．（﹣a3）2＝﹣a6 D．（﹣a2）3＝a6【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、（a3）3＝a9，故A符合题意；B、（2a）3＝8a3，故B不符合题意；C、（﹣a3）2＝a6，故C不符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．（3分）在△ABC中，D是BC上一点，一定能使得△ABD与△ACD面积相等的一个条件是（）A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．BD＝CD【分析】由三角形中线的性质可得出答案．【解答】解：若BD＝CD，则△ABD与△ACD面积相等．故选：D．【点评】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．4．（3分）已知am＝2，则a2m+a3m＝（）A．10 B．12 C．13 D．32【分析】利用幂的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：当am＝2时，a2m+a3m＝（am）2+（am）3＝22+23＝4+8＝12．故选：B．【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（3分）如图，△ABC≌△DBE，D点在AC边上，若∠A＝70°，则∠CDE的度数为（）A．40° B．35° C．70° D．45°【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝DB，∠BDE＝∠A＝70°，根据等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠A＝70°，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴AB＝DB，∠BDE＝∠A＝70°，∴∠ADB＝∠A＝70°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠BDE＝40°，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（3分）如图，△ABC，BE⊥AC边的延长线于E点，CD⊥AB边于D，下列结论不一定成立的是（）A．AC×BE＝AB×CD B．∠ACD＝∠ABC+∠CBE C．∠ACB﹣∠BCE＝90° D．AD+DB＞AC+CE【分析】由题意易证△ACD∽△ABE，根据相似三角形的性质即可判断A，B，由外角的性质可判断C，由三角形三边的关系可判断D．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE，∴，∠ACD＝∠ABE，∴AC×BE＝AB×CD，故A正确；∴∠ACD＝∠ABE＝∠ABC+∠CBE，故B正确；∵∠ACB＝∠CBE+∠E＝90°+∠CBE，∴∠ACB﹣∠CBE＝90°，∵∠BCE≠∠CBE，故C错误；∵AD+DB＝AB＞AC+BC，BC＞CE，∴AB＞AC+CE，即AD+DB＝AB＞AC+CE，故D正确；故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识是解题关键．7．（3分）如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（）A．腰是底的2倍 B．底是腰的2倍 C．顶角是90° D．底角是45°或72°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分两种情况解答即可．【解答】解：设等腰三角形的底角为2x，2x，顶角为x，可得：2x+2x+x＝180°，解得：x＝36，底角为72°；设等腰三角形的底角为x，x，顶角为2x，可得：2x+x+x＝180°，解得：x＝45，底角为45°，顶角为90°，故选：D．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质分两种情况解答．8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°【分析】首先求出∠BAC＝108°，则∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分别根据四个选项中的条件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再进行比较即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，对于选项A，当∠1＝2∠2时，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，∴∠AED＝∠ADE，故选项A能确定△△ADE是等腰三角形；对于选项B，当∠1+∠2＝72°时，则∠1＝72°﹣∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，∴∠DAE＝∠AED，故选项B能确定△△ADE是等腰三角形；对于选项C，当∠1+2∠2＝90°时，则∠1＝90°﹣2∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，故选项C不能确定△△ADE是等腰三角形；对于选项D，当2∠1＝∠2+72°时，则∠1＝∠2+36°，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（∠2+36°）＝72°﹣∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（∠2+36°）﹣∠2＝72°﹣∠2，∴∠DAE＝∠ADE，故选项D能确定△ADE是等腰三角形．综上所述：选项C不能确定△△ADE是等腰三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度计算是解决问题的关键．二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）若4m•23＝85，则m＝6．【分析】根据幂的乘方运算法则可得4m＝22m，再根据同底数幂的乘法法则求解即可．【解答】解：因为4m•23＝22m•23＝22m+3＝215，所以2m+3＝15，解得m＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．10．（3分）比较大小：22023×72023＜32023×52023.（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】利用及的乘方将两数变形后比较大小即可．【解答】解：22023×72023＝（2×7）2023＝142023，32023×52023＝（3×5）2023＝152023，∵14＜15，∴142023＜152023，即22023×72023＜32023×52023，故答案为：＜．【点评】本题考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．11．（3分）已知点A（2，3）、B（0，1）、C（3，1）．写出点A关于直线BC的对称点的坐标（2，﹣1）．【分析】由轴对称的性质，可点A关于直线BC的对称点的坐标．【解答】解：∵B（0，1）、C（3，1），∴BC∥x轴，直线BC为y＝1，∴点A（2，3）关于直线BC的对称点的坐标（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质是解决本题的关键．12．（3分）正多边形的每一个内角比相邻的外角大90°，则这个多边形的边数是8．【分析】根据正多边形的内角与外角的性质列式计算可求解．【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得，解得n＝8，故答案为8．【点评】本题主要考查正多边形的内角与外角，掌握多边形内角与外角的性质是解题的关键．13．（3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，AC＝DF，还需要添加条件∠A＝∠D（答案不唯一）.（填写一个条件即可）【分析】由AB∥DE，得到∠B＝∠E，由AAS即可得到答案．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC≌和△DEF中，，∴△ABC≌和△DEF（AAS）．∴还需要添加条件∠A＝∠D（答案不唯一）．故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E，交AB于F，则CE+ED+DF+FB＝6．【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质可得AB＝4，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝ED，FA＝FD，然后利用等量代换以及线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∵EF垂直平分AD，∴EA＝ED，FA＝FD，∴CE+ED+DF+FB＝CE+AE+AF+BF＝AC+AB＝2+4＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，已知AC＝4cm，AB＝5cm，则S△ACD：S△ABD＝4：5．【分析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质得DE＝DC，再由三角形面积公式得即可得出结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵S△ACD＝AC•DC，S2△ABD＝AB•DE，∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝4：5．故答案为：4：5．【点评】本题考查了三角形面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式是解题的关键．16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为90°﹣α（用含α的代数式表示）．【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，故答案为90°﹣α．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三、解答题（第17-24题共8题各5分.第25-26题共2题各6分，共52分）17．（5分）计算：（﹣ab2）3+ab2•（ab）2•（﹣2b）2．【分析】先算积的乘方，再按照单项式乘单项式的计算方法计算．【解答】解：原式＝﹣a3b6+ab2•a2b2•4b2＝﹣a3b6+4a3b6＝3a3b6．【点评】本题考查了单项式乘单项式，能熟记整式的运算法则是解此题的关键，注意运算顺序．18．（5分）计算：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）．【分析】利用单项式乘多项式，平方差公式进行计算，即可解答．【解答】解：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣ab﹣（4a2﹣b2）＝4a2﹣ab﹣4a2+b2＝b2﹣ab．【点评】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．（5分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：当x＝时，原式＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x＝﹣2x2+x＝﹣+＝0【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．20．（5分）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，求a2022b2023的值．【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|+（b+）2＝0，∴a﹣2＝0或b+＝0，解得a＝2或b＝﹣，则a2022b2023＝22022×（﹣）2023＝（﹣×2）2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝1×（﹣）＝﹣．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和偶次幂的非负性．21．（5分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECD，然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE．在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．∴AC＝ED．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出∠B＝∠ECD是证明三角形全等的关键．22．（5分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝25，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）补全图．（2）写出∠COD＝60°．∠MPN＝120°，△PMN的周长为25．【分析】（1）依据点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N，进行作图；（2）连接OC，OD，OP，依据轴对称的性质即可得到∠COD＝2∠AOB，△PMN的周长等于CD的长．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图，连接OC，OD，OP，∵点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，∴∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝2∠AOB，又∵∠AOB＝30°，∴∠COD＝60°，∵OA＝OP＝OD＝25，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝OP＝25，∠OCD＝∠ODC＝60°，∵∠OCM＝∠OPM＝60°，∠ODC＝∠OPN＝60°，∴∠MPN＝120°，∵AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，∴PM＝CM，PN＝DN，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝25．故答案为：60；120；15．【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及等边三角形的判定与性质，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．23．（5分）数学课上，黄老师出了这样一道题：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，已知CD＝AB+BD，求证：∠B＝2∠C．小徐的思路是：在CD上截取DE＝BD，连接AE．请你根据小徐的思路，补全图形并完成以下推理（数学依据只需注明①②）．∵AD⊥BC，DE＝DB∴AB＝AE，（依据①：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）∴∠B＝∠AED，（依据②：等边对等角）继续证明如下：【分析】根据等腰三角形的判定定理和三角形的外角定理进行证明．【解答】证明：如图：∵AD⊥BC，DE＝DB，∴AB＝AE，（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴∠B＝∠AED，（等边对等角），∵CD＝AB+BD＝AE+DE＝CE+DE，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∴∠B＝∠CAE＝∠C+∠CAE＝2∠C．故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角．【点评】本题考查了基本作图，掌握三角形的外交定理和等腰三角形的性质是解题的关键．24．（5分）已知：如图，线段AB∥直线l．（设AB到直线l的距离为d，满足AB＞d）求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写出作法）．解：（1）满足条件的点共有5个；（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点P；（保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：P1，P2，…）（3）其中，使得△PAB的周长最小的点是点P3．【分析】（1）（2）以点A为圆心，AB为半径画弧交直线l于P1点和P4点，再以点B为圆心，AB为半径画弧交直线l于P2点和P5点，然后作AB的垂直平分线交直线l于点P3；（3）5个等腰三角形中△P3AB的周长最小．【解答】解：（1）满足条件的点共有5个；故答案为：5；（2）如图，点P1、P2、P3、P4、P5为所作；（3）使得△PAB的周长最小的点是点P3．故答案为：点P3．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．25．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＜60°，D点是BC边中点，连接AD，在△ABC的外部，以AC为边作等边三角形ACE，连接BE，交AD于F，交AC于G．（1）依题意补全图形；（2）求∠EBC的度数；（3）用等式表示FA，FD，FE这三条线段之间的数量关系，并证明．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）证△ABF≌△ACF（SSS），得∠ABF＝∠ACF，再证∠CFG＝∠EAC＝60°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）延长AD至点P，使DP＝DA，连接CP，由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得AC＝PC，则∠P＝∠CAF，然后证△EFC≌△PFC（SAS），得FE＝FP，即可解决问题．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1，（2）如图2，连接CF，∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD所在直线是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，∴∠EBC＝∠FCB，∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC＝∠ACE＝∠AEC＝60°，AC＝AE．∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABF＝∠AEF，在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠ABF＝∠ACF，∴∠AEF＝∠ACF，∵∠AGF＝∠CFG+∠ACF＝∠EAC+∠AEF，∴∠CFG＝∠EAC＝60°，又∵∠EBC+∠FCB＝∠CFG＝60°，∴∠EBC＝∠FCB＝30°，即∠EBC的度数为30°；（3）FE＝2FD+FA，证明如下：如图3，延长AD至点P，使DP＝DA，连接CP，∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∵DP＝DA，∴AC＝PC，∴∠P＝∠CAF，由（2）可知：∠AEF＝∠ACF，∴∠FCD＝∠EBC＝30°，∠EFC