诱导公式与对称教学设计 高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

教材：北师大版（2019）版高中数学必修第二册课题：4.3 诱导公式与对称一. 课时教学内容由三角函数的定义及终边的对称性抽象诱导公式，公式的简单应用二．课时教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程；2.经历自主探究发现问题，提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过程，并对任意角三角函数化简、求值；3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，落实数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.三． 教学重点与难点教学重点：借助单位圆的对称性，利用定义推导出前四组诱导公式；教学难点：从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法四.教学过程设计（一）创设情境•明确对象师：同学们，我们已经将角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题：问题1：已知sin6π=12，如何求sin13π6的值？生：学生利用结合任意角三角函数定义及sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα（k∈ℤ）公式自主探究并回答问题.师：sin(α+2kπ)=sinα ，cos(α+2kπ)=cosα(k∈Z）实质：终边相同，三角函数值相等，用途：“大”角化“小”角π 1 π 7π 5π问题2：已知sin6=2，如何求sin(−6),sin6,sin6的值？那如何把任意角的三角函数转化为锐角三角函数呢？设计意图：前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求.于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值1时抓坐标、抓角终边之间的关系.（二）探究新知•构建公式探究一：任意角α与−α三角函数值的关系.问题3：（1）α与−α的终边关系如何？（2）α与−α角的终边分别交单位圆与P1,P2,则P1与P2位置关系如何？（3）设点P1的坐标为(x,y)，则点P2的坐标如何表示？（4）在单位圆中，如何用α与−α表示P1与P2的坐标？（5）sinα与sin(−α)，cosα与cos(−α)的关系如何？α−αxα−αx生：与的终边关于轴对称，与的终边关于轴对称，若P1(u,v)，则P2(u,−v)，P1(cosα,sinα)，P2(cos(−α),sin(−α))可以得出sin(−α)=−sinα生：sinα是奇函数,cosα是偶函数，他的作用是“负角化正角”.师：这里的α是第一象限角，是否可以扩充到任意角？这里的核心是什么？教师用GGB演示角α可以是任意角，引导学生体会从特殊角到一般角的变化，验证普适性.设计意图：将研究目标分层，降低学生思考的难度。5个问题之间的逻辑关系就是解决方案的框架.师：刚才我们是怎样获得公式的？解决问题的思路是什么？预设：发现两角的中年与单位圆的交点关于原点对称，借助三角函数定义发现两角的同名三角函数值的关系，进而获得公式.师：起点在哪里？如何简约、凝练地描述？生：合作提炼：圆的对称性→角的终边对称关系→点的坐标关系→三角函数值得关系（诱导公式）sin(−6π)=−sin6π=−12师：圆和角是形，三角函数值是数，这样我们就把数与形联系在一起，也就是数形结合思想，设计意图：阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“圆的对称性→角的终边对称关系→点的坐标关系→三角函数值得关系”的研究路线图.探究二：任意角 与 + 三角函数值的关系.π 1 7π师：回归到问题2：已知sin6=2，如何求sin6的值？2问题4：（1） 与+的终边关系如何？（2）α与α+π角的终边分别交单位圆与P1,P3,则P1与P3位置关系如何？（3）设点P1的坐标为(x,y)，则点P3的坐标如何表示？（4）在单位圆中，如何用α与α+π表示P1与P3的坐标？（5）sinα与sin(α+π)，cosα与cos(α+π)的关系如何？生：α与α+π的终边关于原点对称，P1与P3关于原点对称，若P1(u,v)，则P3(−u,−v)P1(cosα,sinα)P3(cos(α+π),sin(α+π))可以得到sin(α+π)=−sinαπ由图，逆时针旋转可以得到上述公式，若逆时针旋转，可以得到如下公式sin(α−π)=−sinα师：这组公式作用是什么？生：把~2角化~角，sin7π6=sin（6π+π）=−sin6π=−12设计意图：通过营造开放的学习氛围，整理思路，为后继探索指明方向.探究三：任意角α与π-α三角函数值的关系.师：再次回归到问题2：已知sin6π=12，如何求sin5π6的值？生：总结如下公式，并分析作用：把2π~π角化0~2π角，故sin5π6=sin（π−6π）=sin6π=12sin(π−α)=sinα师：你还有其他方法推导公式sin(π−α)=sinα cos(π−α)=−cosα吗？设计意图：借助终边关于y轴对称找出两角的关系要比终边关于原点，x轴对称难度找两角的关系大一点，前面已经有了探究的体验，研究问题的思路学生已经清楚了，只要能找出终边关于y轴对称的两角的最简表示形式即α与π−α，公式的推导就会水到渠成。在此过程中充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.问题5：你能概括所学诱导公式的共同特点和规律吗？sin(α+2kπ)=sinαsin(α±π)=sinαsin(−α)=−sinαsin(π−α)=sinα

cos(α+2kπ)=cosα（k ）cos(α±π)=−cosαcos(−α)=cosαcos(π−α)=−cosα3生：结构特征：1.角α为任意角；2.左右两端三角函数名不变，α角不变，只是前面多了一个正负号;3.符号判断方法，把α看成锐角时，原函数值不变.师：可以简化为一句“函数名不变，符号看象限”生：还可以从定义记忆设计意图：归纳总结新课知识，帮助学生更加深入理解诱导公式.（三）探究新知•辨析公式思考：（1）如果两个角的同名三角函数值相等，它们的终边一定相同吗？（×）（2）你能找出与角6π正弦值相等，但终边不同的更多的角吗？（×）（3）若sinα=−sin6π,则α一定为−6π？（×）设计意图：引导学生逆向思考，通过层层追问形成公式的反向印证。同样的公式，思考顺序相反，逻辑轨迹相反，但核心理念、思路框架结构是一样的。（四）例题分析•巩固新知例求下列三角函数值：（1）sin(−5π)；（2）cos2π；（3）sin11π；（4）cos(−31π).4366æ5pö5pæpöp解()244442èøèø(2)cos2pæpöæpöp1=cosç-+p÷=-cosç-÷=-cos=-;33332èøèøæ11pöæpöæpöp13sin=sin-+2p=sin-=-sin=-;ç6662èøèøè6øæ31pöæ31pöæ7pö7pæpöp3(4)cosç-÷=cosç÷=cosç+4p÷=cos=cosç+p÷=-cos=-;66662èøèøè6øè6ø练习：求下列三角函数值：（1）sin11π；（2）cos（−10π)；（3）sin（−10π).3334设计意图：学生独立去实践解决问题，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤奠定基础.（五）归纳梳理•升华认知你能从探究过程、生成的知识和思想方法方面谈谈本节课的收获吗？回顾本节课流程，我们从sin6π=12，探究如何求另外几个角的正弦值这个问题出发，总结出要想解决这个问题，就从定义出发，通过圆的对称性→角的终边对称关系→点的坐标关系→三角函数值得关系得到−α、α±π、π−α与角α的三角函数值的关系，也就是这几组诱导公式。本节课我们把不熟悉的问题转化为我们熟悉的问题，体现了数学中的化归思想，探究路径体现了数形结合思想.师生活动：引导学生回顾本节课所学知识和学习过程.设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法.（六）课后作业•巩固成果1.基础巩固课本21面