八年级数学下册 讲义（北师大版）第一章第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)（原卷版）

第06讲解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 1【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 6【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】 18【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在中，平分，，是的中点．

(1)求证：是等腰三角形(2)若，求的度数．【变式训练】1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，．(1)如图1，求证：是等腰三角形；(2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长．2．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．

(1)当，则___________；(2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由．3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分的形状是_______．(2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交于点，试探究线段之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形中，为边的中点，平分，连接，求证：．【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．

(1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________；(2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)(3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【变式训练】1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足．(1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长．(2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．(1)【感知】如图1，当点E为的中点时，则线段与的数量关系是______；(2)【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E作，交于点F．）(3)【拓展】在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，则的长是______．3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，中，，，点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点P同时停止．已知点P，Q移动的速度相同，连接与线段相交于点D(不考虑点P与点A，B重合时的情况)．(1)求证:；(2)求证:；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．4．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级齐齐哈尔市第三中学校校考期末）综合与实践：已知：等边．【观察猜想】如图①：D为线段上一点，，交于点E．可知为______三角形．【实践发现】如图②：D为线段外一点，连接，以为一边作等边三角形．连接．猜想与数量关系为______，直线与相交所产生的交角中的锐角为______．【深入探究】：D为线段上一点，F为线段延长线上一点，且．（1）特殊感知：当点D为的中点时，如图③，猜想线段与的数量关系为______；（2）特例启发：当D为上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段与的数量关系？并说明理由．（3）拓展延伸：在等边三角形中，点D在直线上，点F在直线上，且．若的边长为2，，则的长为______．【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且．(1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长．【变式训练】1．在中，，点在边上，，点在线段上，．(1)如图，若点与点重合，则______；(2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由．2．（2023上·辽宁大连·八年级