八年级数学下册 讲义（北师大版）第六章第03讲 三角形的中位线(5类热点题型讲练)（原卷版）

第03讲三角形的中位线(5类热点题型讲练)1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)知识点01三角形的中位线定理（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）（2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，.题型01与三角形中位线有关的求解问题【例题】（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在中，，点，，分别是、、的中点，连接、，则四边形的周长为．【变式训练】1．（2024·山东淄博·一模）如图，在中，，，，E，F分别为边上的点，M，N分别为的中点．若，则的长为．2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）中，，，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，交于G，连接，则线段的长为．题型02三角形中位线与三角形面积问题【例题】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点分别是的中点，若四边形的面积是，则的面积是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练】1．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，是的中位线，M是的中点，的延长线交于N，那么，．题型03三角形中位线的实际应用【例题】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为米，则的长为米．【变式训练】1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离．可以在外选一点连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则．2．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为．题型04与三角形中位线有关的证明【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知在中，，为中点，为边的中线且，连接、．

(1)求证：；(2)若，求的周长．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；(2)如图2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：．2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：在中，，，是边上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；(2)如图2，连接，取线段的中点，连接，直接写出的大小并证明；(3)若是的中点，，直接写出的最小值为______．题型05平行四边形与中位线综合问题【例题】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，于点D，E、F分别是、的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连接、、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当，时，的长为______．【变式训练】1．（23-24九年级下·江西宜春·开学考试）如图，是的中位线，延长至点，使，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，试判断的形状，并说明理由．2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．(1)若，，求的度数；(2)求证：四边形为平行四边形；(3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度．一、单选题1．（2024·陕西咸阳·一模）如图，点D，E分别是，的中点，的平分线交于点F，，，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E是的中点，若，，，则的周长是（

）A．12 B．13 C．14 D．153．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）中，E是的中点，平分，于点D，若，，则（

）

A．1 B．2 C．4 D．84．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于（）A． B． C． D．5．（2024·山东菏泽·一模）如图，称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，点D、E分别是的中点，若，则．

7．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的周长是．8．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为．

9．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为．10．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在△ABC中，，，．在平面内将平移得到，其中点A和点B的对应点分别为点D和点E．若点P，Q分别是AC，DE的中点，则的最大值是．三、解答题11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，平分，，延长交于点，是的中点，求的长．12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E．(1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______．(2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点，求的长13．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，，，，分别是，，，的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求四边形的周长．14．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，，于点D，点E在边上，且，分别交于点E、F．

(1)如图1，若，，求的长；(2)如图1，若，试判断与的数量关系，并说明理由．(3)如图2，若，求证：．15．（2024·河南周口·一模）如图1，在中，点，分别在边，上，，连接，点分别为的中点．(1)观察猜想图1中，线段与的数量关系是，的度数为；(2)探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；(3)拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．16．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】（1）李老师给出如下问题：中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长．小鹏同学考虑到点是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点