人教A版高中数学必修2第3章《直线与方程》全部教案 同步单元测试卷(全册)

第三章直线与方程

本章教材分析

直线与方程是平面解析几何初步的第一章，用坐标法研究平面上最简单的图形——直线.

本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、

两点式、截距式等;通过直线的方程，研究直线间的位置关系:平行和垂直，以及两条直线的交点坐标、点到直

线的距离公式等.

解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是，首先

用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题，得到结果;分析代数结

果的几何含义，最终解决几何问题.

本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中，注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程

中,加强与图形的联系.

直线是最基本、最简单的儿何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地

运用解析儿何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫.

教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分

类讨论、类比、推广、特殊化、化归等），体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入

浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并

且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题）

的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用“，这一点也正符合新课标的要求和精神.

本章教学时间约9课时，具体分配如下（仅供参考）:

3.1.1倾斜角与斜率约1课时

3.1.2两直线平行与垂直的判定约1课时

3.2.1直线的点斜式方程约1课时

3.2.2直线的两点式方程约1课时

3.2.3直线的一般式方程约1课时

3.3.1两条直线的交点坐标约1课时

3.3.2两点间的距离约1课时

3.3.3及3.3.4点到直线的距离及两条平行线间的距离约1课时

本章复习约1课时

3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

整体设计

教学分析

直线是最基本、最简单的儿何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地

运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这

两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们

的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.

本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，

并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以用入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率

概念，是进一步研究直线方程的需要.

三维目标

1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程

度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想.

2.掌握经过两点P(X|,yD和P2(X2,y2)的直线的斜率公式：k=2f(X1A2),培养学生树立辩证统一的观

点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

3.培养利提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识，培养

学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.

重点难点

教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.

教学难点:斜率公式的推导.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对X轴的相对

位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.

图1

思路2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线.那么，经过一点P的直线1的位置能确定吗?这些直线有

什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率.

推进新课

新知探究

提出问题

①怎样描述直线的倾斜程度呢？

②图2中标出的直线的倾斜角a对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

图2

③直线的倾斜角能不能是0°?能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于

平角？

④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

⑤正切函数的定义域是什么？

⑥任何直线都有斜率么？

⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知

A(2,3)、B(—1,4),则直线AB的斜率是多少？

活动:①与交角有关.当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准,x轴正向与直线1向上方向之间所成的角a叫

做直线1的便斜曲.

可见：平面上的任一•直线都有唯•的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.

②考虑正方向.

③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0咚。＜180。.在此范围内，坐标平面上的任何一条

直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向

的倾斜程度.

规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0。，所以倾斜角的范围是0髭01<180。.

④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.

倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tana.

⑤教师介绍正切函数的相关知识.

⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率.

(倾斜角是90。的直线没有斜率)

⑦已知直线1上的两点Pi(xi，y(),P2(x2,y2)，且直线1与x轴不垂直，如何求直线1的斜率？教学时可与

教材上的方法一样推出.

讨论结果:①用倾斜角.

②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背.

③直线的倾斜角能是0°,能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角.

④有，常用的有坡度比.

⑤90°的正切值不存在.

⑥倾斜角是90。的直线没有斜率.

⑦过两点P1(xi,y)、P2(X2,y2)的直线的斜率公式kJ1九.

x2-X]

应用示例

思路1

例1已知A(3,2),B(-4』),C(0,-D,求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.

活动:引导学生明确已知两点坐标，由斜率公式代入即可求得k的值；

而当k=tana<0时,倾斜角a是钝角；

而当k=tana>0时,倾斜角a是锐角；

而当k=tana=0时,倾斜角a是0°.

解:直线AB的斜率k,=->0,所以它的倾斜角a是锐角；

7

直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角a是钝角；

直线CA的斜率k3=l>0,所以它的倾斜角a是锐角.

变式训练

己知A(l,3g),B(0,2Q),求直线AB的斜率及倾斜角.

3V3-2V3A

解：1<AB=------------V3,

1—0

•.•直线倾斜角的取值范围是0°—180°,

•••直线AB的倾斜角为60。.

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,l.

活动:要画出经过原点的直线4只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定.

解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=工於,所以x=y.

x-0

可令x=l,贝y=l,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点可作直线a.

同理，可作直线b,c,L

变式训练

1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(l)a=0°；(2)a=60°；(3)a=90°.

活动:指导学生根据定义直接求解.

解：(l)；tanO°=O,

...倾斜角为0。的直线斜率为0.

(2)Vtan60°=V3，，倾斜角为60。的直线斜率为M.

(3)；tan90。不存在，.•.倾斜角为90。的直线斜率不存在.

点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.

2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的()

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或兀；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

D.直线斜率的范围是(-8,+00)

答案：D

思路2

例1求经过点A(-2,0),B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.

3-0

解：kAB=----------=1,即tana=-1,

-5-(-2)

又：0°01<180°,

:.a=135°.

...该直线的斜率是-1,倾斜角是13斜.

点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角.

变式训练

求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角a.

(1)Pi(-2,3),P2(-2,8)；

(2)P|(5,-2),P2(-2,-2).

解：(1)：P|P2与x轴垂直，.•.直线斜率不存在，倾斜角a=90。.

-2-(—2)

(2)k=tana=---------=0,.,.直线斜率为0,倾斜角a=0。.

-2—5

例2已知三点A、B、C,且直线AB、AC的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上.

证明：由直线的斜率相同，可知直线AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两直线过公共点A,

所以直线AB与AC重合，因此A、B、C三点共线.

点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线.

变式训练

1.若三点A(2,3),B(3,2),C(Lm)共线，求实数m的值.

2

2-3m-3

解：kB=-----=-1»KC=-----，

A3-2A1。

—z

2

—39

A、BC二点共线，••kAB=kAc.，----=-1.••m=—.

1-22

2

2.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(al#0)共线，则'的值等于.

ab

答案：1

2

例3已知三角形的顶点A(0,5),B(l,-2),C(-6,m),BC的中点为D,当AD斜率为1时,求m的值及IADI

的长.

分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式.

解：D点的坐标为G?,"），

22

m-2

555

k=——-----=1./.m=7.：・D点坐标为（——

AD-5-022

2

变式训练

过点P（—1,-1）的直线1与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线1的斜

率和倾斜角.

答案：k=-l,倾斜角为二37r.

4

知能训练

课本本节练习1、2、3、4.

拓展提升

已知点A（-2,3）,B（3,2）,过点P（0,-2）的直线1与线段AB有公共点，求直线1的斜率k的取值范围.

分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形.

45

答案：（-8,—）U（•—,+<»）.

32

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

(1)掌握已知直线的倾斜角求斜率；

(2)直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；

(3)直线斜率的概念；

(4)已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.

作业

习题3.1A组3、4、5.

设计感想

本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学

生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间.

备课资料

已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：

当0XaV90。吐作出产tana在［0。,90。）区间内的函数图象；由图象观察可知：当aG［0°,90°）,y=tana

>0,并且随着a的增大，y不断增大，lyl也不断增大.

所以，当［0。,90。）时，随着倾斜角a的不断增大，

直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.

当90。<（1<180。时，作出y=tana在（90。,180。）区间内的函数图象；由图象观察可知：当aG

（90°,180°）,y=tana<0,并且随着a的增大，y=tana不断增大，lyl不断减小.

所以，当ad（90。,180。）时，随着倾斜角a的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断

减小.

（设计者:高建勇）

3.1.2两条直线平行与垂直的判定

整体设计

教学分析

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定

的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联

系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值

得略加说明.

三维目标

1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两

条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.

2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述

要规范，培养学生探索、概括能力.

重点难点

教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.

教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.设问（1）平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？（2）两条直线的倾斜角相等，这两条直线是

否平行？反过来是否成立？（3）“a=p”是+ana=tanp”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系，能否利用斜率来

判定两条直线平行呢？

思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能

否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.

推进新课

新知探究

提出问题

①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？

②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？

③作是"tana=tanB”的什么条件？

④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？

⑤h〃b时，心与k2满足什么关系？

⑥卜时，的与k2满足什么关系？

活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.

②数形结合容易得出结论.

③注意到倾斜角是90。的直线没有斜率，即tan90。不存在.

④注意到倾斜角是90。的直线没有斜率.

⑤必要性：如果卜〃},如图1所示，它们的倾斜角相等，即四=（12,tanai=tana2,BPki=k2.

图1

充分性：如果ki=k2,HPtanai=tana2,

•70°^<180°,0°<a2<180°,q=a2.于是h〃h

⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.

讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.

②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.

③'乐&是“tana=ta叩”的充要条件.

④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.

(§)11/712Ok|=k2.

⑥k[k2=-l.

应用示例

例1已知A(2,3),B(—4,0),P(—3,1),Q(—1,2),判断直线BA与PQ的位置关系，并证

明你的结论.

3-0

解:直线BA的斜率kA=-------=0.5,

B2-(-4)

2-1

直线PQ的斜率kpQ=-j~~,3)=85,

因为kBA=kpQ.所以直线BA〃PQ.

变式训练

若人(-2,3)氏3,-2)。(',01)三点共线，则m的值为()

2

A.-B.--C.-2D.2

22

八—2—3m+21

分析：KAB=KBC,------=------,m=—.

3+21a2

2

答案：A

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的

形状，并给出证明.

解：AB边所在直线的斜率kAB=-',

2

CD边所在直线的斜率k=--,

CD2

BC边所在直线的斜率kBc=±3,

2

DA边所在直线的斜率kDA=±3.

2

因为kAB=kcD,kBc;kDA,所以AB〃CD,BC〃DA.

因此四边形ABCD是平行四边形.

变式训练

直线I1：ax+3y+l=0,12：x+(a-2)y+a=0,它们的倾斜角及斜率依次分别为a】，a2,kPk2.

(1)a=_____________时，a,=150°；

(2)a=______时，轴；

(3)a=_________时，h〃b；

(4)a=_____________时，h、12重合;

(5)a=_________时，

答案：(1)V3(2)2(3)3(4)-1(5)1.5

知能训练

习题3.1A组6、7.

拓展提升

问题：已知P(-3,2),Q(3,4)及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交,

试分别求出a的取值范围.(图2)

解：直线1：ax+y+3=0是过定点A(0,-3)的直线系，斜率为参变数-a,易知PQ、AQ、AP、1的斜率分

3,175

别为：kpn=—,RAQ=—,1<AP=---,kj=-a.

333

71

若1与PQ延长线相交，由图，可知kpQ<k]VkAQ,解得

75

若1与PQ相交，则k】>kAQ或k|VkAP，解得aV-§或a>§；

若1与QP的延长线相交，则kpQ>k|>kAP，解得

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.

2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.

3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.

4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.

作业

习题3.1A组4、5.

设计感想

本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合

能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学

生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判

定依据，教师要及时引导、及时鼓励.

备课资料

备用习题

1.已知人(-6,0)](3,6*(0,3)@-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.

23

解:直线AB的斜率k产一，直线PQ的斜率k2=:，因为k「k2=-l,所以AB±PQ.

32

2.求m值,使过点A(m,l),B(-l,m)的直线与过点P(l,2),Q(-5,0)的直线,

(1)平行;(2)垂直.

答案：⑴一;(2)-2.

2

3.已知A(5,-l),B(l,l),C(2,3)=^,UWWfAABC的形状.

活动:先让学生作图猜想，然后给出证明.

答案：由斜率乘积为-1易知为直角三角形.

4.已知两直线hy=2k(x+2)/2：y=3k(x-2),它们与x轴围成一个三角形，若使P(3,3)在这三角形内，求k的范围.

图5

解:如图5,112分别是过定点A(-2,0),B(2,0)的动直线，易知

3,,3,3

1<AP=一,KBP=3,KAQ=--,KBQ=--.

51410

3

要使P(3,3)在三角形内必有4k™>3'k'得一<kVl.

[kAP<2k,10

(设计者:高建勇、杨海燕)

3.2直线的方程

3.2.1直线的点斜式方程

整体设计

教学分析

直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方

程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx+b(k#))引入，自

然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一

对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.

在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条

件求出直线的方程.

三维目标

1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特

例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.

2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生

形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围，培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.

重点难点

教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.

教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.方程y=kx+b与直线1之间存在着什么样的关系？

让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系，即

(1)直线1上任意一点P(xi,y。的坐标是方程y=kx+b的解.

(2)(X|,yO是方程y=kx+b的解二＞点P(x],yi)在直线1上.

这样好像直线能用方程表示，这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).

思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：

一次函数丫=1«+15的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于

函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程，所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应

关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).

推进新课

新知探究

提出问题

①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？

②已知直线1的斜率k且1经过点P1(xi,y),如何求直线1的方程？

③方程导出的条件是什么？

④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？

⑤女二———与y-yi=k(x-xi)表示同一直线吗？

x-xt

⑥已知直线1的斜率k且1经过点(0,b),如何求直线1的方程？

讨论结果:①确定一条直线需要两个条件：

a.确定一条直线只需知道k、b即可；

b.确定一条直线只需知道直线1上两个不同的已知点.

②设P(x,y)为1上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式，得k=2』,化简，得y-yl=k(x-xl).

x-xx

③方程导出的条件是直线1的斜率k存在.

④ax=O；b.x=x).

⑤启发学生回答:方程k=20表示的直线1缺少一个点P1(xi,y"而方程y-y尸k(x-xi)表示的直线1才是

整条直线.

@y=kx+b.

应用示例

思路1

例1•条直线经过点P(2,3),倾斜角a=45。,求这条直线方程,并画出图形.

解:这条直线经过点P(2,3),斜率是k=tan45o=l.代入点斜式方程，得y-3=x+2,即x-y+5=0,

这就是所求的直线方程，图形如图1所示.

点评:此例是点斜式方程的直接运用，要求学生熟练掌握，并具备一定的作图能力.

变式训练

求直线y=-6(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30。所得的直线方程.

解：设直线y=-g(x-2)的倾斜角为a,贝ljtana=・6,

又L0°,180o),

/.ff=120°.

.•.所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°；.直线方程为x=2.

例2如果设两条直线h和卜的方程分另U是L：y=kIX+b],12：y=k2X+b2,试讨论：

(1)当h〃12时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？

(2)h_L12的条件是什么？

活动:学生思考：如果ai=a2,则tanai=tana2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果li〃b，当其中一

条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果也用2且k产kz，则L与b的位

置关系是怎样的？由学生回答，重点说明凶=(12得出tana『tana2的依据.

解：(1)当直线h与卜有斜截式方程Ii：y=kix+b/2：y=k2x+b2时，直线1]〃120kl=1<2且也用冬

(2)li_Lb=k|k2=-l.

变式训练

判断下列直线的位置关系：

11

(l)l1:y=-x+3,l2：y=-x-2;

(2)l|：y=jx12：y=-jx.

答案：⑴平行；⑵垂直.

思路2

例1已知直线L：y=4x和点P(6,4),过点P引一直线1与L交于点Q,与x轴正半轴交于点R,当△0QR

的面积最小时，求直线1的方程.

活动:因为直线1过定点P(6,4),所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线1的方程.

解：因为过点P(6,4)的直线方程为x=6和y-4=k(x-6),

当1的方程为x=6时，△OQR的面积为S=72；

山q+64一4,6攵-424/:-16

当1的方程为y—4=k(x—6)时，有区(------,0),Q(------,--------),

kkk-4

6k-424k-168(3々一2产

此时△OQR的面积为S=-x____x_____—______

2kk-4k(k-4)

变形为(S—72)l?+(96—4S)k-32=0(*72).

因为上述方程根的判别式AK),所以得SN40.

当且仅当k=-1时，S有最小值40.

因此,直线1的方程为y—4=—(x—6),BPx+y—10=0.

点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求

这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.

变式训练

如图2,要在土地ABCDE上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？

并求出最大面积(精确到1n?)(单位：m).

图2

解：建立如图直角坐标系，在线段AB上任取一点P分别向CD、DE作垂线，划得一矩形土地.

YX9X

VAB方程为一+—=1,则设P(x,20--)(0<x<30),

30203

2r

贝|JS矩彩=(100-x)[80-(20--)]

3

2250

=--(x-5)-+6000+—(0<x<30),

当x=5时，y哼即P(5,苧时’-6。17k).

例2设4ABC的顶点A(l,3),边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0,y=l,^AABC

中AB、AC各边所在直线的方程.

活动:为了搞清AABC中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.

解:如图3,设AC的中点为F,AC边上的中线BF：y=l.

图3

AB边的中点为E,AB边上中线

CE：x-2y+l=0.

设C点坐标为(m,n)厕F(吐1,空2).

22

又F在AC中线上，则上〃+三3二1,

2

n=-l.

又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则m—2n+1=0.

・'.m=—3.；.C点为(―"3,-1).

、人n।.1+6(3+11+a

设B点为(a,l),则AB中点E(——,——)，a即E(——,2).

222

又E在AB中线上，则—

2

AB点为(5,1).

由两点式，得到AB,AC所在直线的方程AC：x-y+2=0,AB：x+2y—7=0.

点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：

(1)中点分式要灵活应用：

(2)如果个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.

变式训练

己知点M(1,0),N(-1,0),点P为直线2x-y-l=0上的动点，贝IJIPMF+IPNF的最小值为何？

解：点在直线2x-y-l=0上,...设P(xo,2xo-l)•

717io

22

二PMp+IPNI=10(x0--)+—>—.

•••最小值为上12.

5

知能训练

课本本节练习1、2、3、4.

拓展提升

已知直线丫=1«+1<+2与以A(0,—3)、B(3,0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围.

活动:此题要首先画出图形4,帮助我们找寻思路,仔细研究直线y=kx+k+2,我们发现它可以变为y—2=k(x

+1),这就可以看出，这是过(一1,2)点的一组直线.设这个定点为P(-l,2).

解：我们设PA的倾斜角为a”PC的倾斜角为a,PB的倾斜角为a?，且aiVaVa?.

则k।=tana।<k<k2=tana2.

则实数k的取值范围是-5VkV-2.

2

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特

例.

2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一•条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.

作业

习题3.2A组2、3、5.

设计感想

直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线

方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从初中代数中的次函数y=kx

+b(kM)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清

直线与方程的--对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.

备课资料

解析几何的应用

解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何.在平面解析几何中，除了研究有关直线的性质外，主要

是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质.在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关

性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面.椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用.

比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚

光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的.总的来说，解析几何

运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是

通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质.运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，

把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性

质用儿何语言叙述，从而得到原先儿何问题的答案.

(设计者:王清娥、杨海燕)

3.2.2直线的两点式方程

整体设计

教学分析

本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的

两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.

由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截

距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有

一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.

三维目标

1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，井能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生

数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.

2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学

态度和求简的数学精神.

重点难点

教学重点:直线方程两点式和截距式.

教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点

斜式解答如下问题：

(1)已知直线1经过两点PI(1,2),P2(3,5),求直线1的方程.

(2)已知两点PGi,yi),P2(X2,y2)(其中Xi#x2,yi^y2)，求通过这两点的直线方程.

思路2.要学生求直线的方程，题目如下：

@A(8,-1),B(-2,4)；

②A(6,-4),B(-l,2)；

③A(xpyi),B(X2,y2)(xi#2)-

(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)

这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取••个什么名字呢？

推进新课

新知探究

提出问题

①已知两点Pi(xi,yi),P?(X2,y2)(其中xI/x2,yi^y2)，求通过这两点的直线方程.

②若点Pi(xi,yi),Pz(X2,y2)中有Xj=X2或yi=y?,此时这两点的直线方程是什么？

③两点式公式运用时应注意什么？

④已知直线1与x轴的交点为A(a,O),与y轴的交点为B(O,b),其中求直线1的方程.

⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决

的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可

求出直线方程.师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a.利用直线的斜率公式求出斜率k;

b.利用点斜式写出直线的方程.

X律X2,k=———,

x2—尤|

...直线的方程为y-y产))一月(x-x)

的方程为y-y尸一月(x-xi).①

x2-X,

当yi/y2时，方程①可以写成七上=Xf.②

为一月一七

由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.

注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需xi愈2,它不能表示倾斜角为90。的直线

的方程；②式中X1/X2且力打2,它不能表示倾斜角为0°或90。的直线的方程，但②式相对于①式更对称、

形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-yi)(X2-X|)=(x-X|)(y2W),那么就可以用它来求过平面

上任意两已知点的直线方程.

②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过

画图、观察和分析，发现当xi=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x«当y尸y2时，直线与y轴

垂直，直线方程为y=yi.

③引导学生注意分式的分母需满足的条件.

④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目

中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线1的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.

因为直线1经过(a,0)和(0,b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得上於=三心.①

h-00-a

就是±+2=1.②

ab

注意：②这个方程形式对称、美观，其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称

横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.

因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式.

⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐

标，而不是距离.

⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴匕截距为0的直线的方程，即过原点

或与坐标轴平行的直线不能用截距式.

讨论结果：①若xi急2且力打2,则直线1方程为=土力一.

y2r/3

②当X1=X2时，直线与X轴垂直，直线方程为X=X|；当y尸y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.

③倾斜角是0°或90。的直线不能用两点式公式表示(因为x内2¥打2).

„xy

@-+—=1.

ab

⑤a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.

⑥截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直

线不能用截距式.

应用示例

思路1

例1求出下列直线的截距式方程:

(1)横截距是3,纵截距是5：

(2)横截距是10,纵截距是-7；

(3)横截距是4,纵截距是-8.

答案：(1)5x+3y-15=0；(2)7x-10y-70=0；(3)3x+4y+12=0.

变式训练

已知RtaABC的两直角边AC=3,BC=4,直角顶点C在原点，直角边AC在x轴负方向上，BC在y

轴正方向上，求斜边AB所在的直线方程.

答案：4x-3y+12=0.

例2如图1,已知三角形的顶点是A(—5,0)、B(3,一3)、C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方程.

活动:根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程

应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式.

解：AB所在直线的方程，由两点式，得

y-Qx-(-5)

，即3x+8y+15=0.

-3-03-(-5)

BC所在直线的方程，由斜截式，得y=-gx+2,即5x+3y-6=0.

AC所在直线的方程，由截距式，得三+上=1,即2x-5y+10=0.

—52

变式训练

如图2,已知正方形的边长是4,它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直

线的方程.

图2

活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴

PQ,MN,x轴，y轴则不能用截距式，其中PQ,MN应选用斜截式；x轴，y轴的方程可以直接写出.

4

解:因为IABI=4,所以IOAI=IOBI=亚=2V2.

因此A、B、C、D的坐标分别为(2正,0)、(0,2后)、(・2血,0)、(0,-272).

所以AB所在直线的方程是”+3=1,即x+y-2V2=0.

2V22V2

BC所在直线的方程是-7=+-^==1,即x-y+2行=0.

-2V22V2

CD所在直线的方程是—1=1,即x+y+2V2=0.

-2V2-2V2

DA所在直线的方程是3=1,即x-y-2V2=0.

2V2-2V2

对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.

思路2

例1已知4ABC的顶点坐标为A(-1,5)、B(・2,-1)、C(4,3),M是BC边上的中点.(1)求AB

边所在的直线方程；(2)求中线AM的长；(3)求AB边的高所在直线方程.

解：(1)由两点式写方程,得上二3=卫、，即6x-y+ll=0.

-1-5-2+1

一2+4-1+3

(2)设M的坐标为(x(),y()),则由中点坐标公式，得x()=---=l,y()=--—=1,

故M(1,1),AM=7(1+I)2+(1-5)2=275.

⑶因为直线AB的斜率为kAB=*L=6,设AB边上的高所在直线的斜率为k,

-3+2

贝(J有kxkAB=kx(-6)=-1,/.k=—.

6

所以AB边高所在直线方程为y-3='(x-4),即x-6y+14=0.

6

变式训练

求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程.

解：设直线方程为-+2=1,则由题意知，有-ab=3,\ab=4.

ah2

解得a=4,b=1或a=l,b=4.

则直线方程是:+-=1或-+(=