第8章立体几何5 相关概念定理命题的判断-新教材高中数学必修（第二册）常考题型练习

相关概念定理命题的判断

【知识总结】

1、线、面平行的判定定理与性质定理:

文字语言图形语言符号语言

判不在平面内的一条直线与

此平面内的一条直线平--1IQa]

定

行，则该直线与此平面平aua>n/〃a

定

行（简记为线线平行今线面L_/I//a.

平行）

直线与平理

面平行

性一条直线与一个平面平

行，则过这条直线的任一a//a

质

平面与此平面的交线与该0alib

定直线平行（简记为线面平行

理台线线平行）

判aua、

一个平面内的两条相交直

bua

定线与另一个平面平行，则

/^7aC\b=P

定这两个平面平行（简记为线

a//P

面平行n面面平行）

理b//p>

平面与平

面平行

性%『

如果两个平行平面同时和a///3、

质

第三个平面相交，那么它(jSyy~~ci=4〃b

定

们的交线平行

理7

2、线、面垂直的判定定理与性质定理:

X文字语言图形语言符号语言

判

一条直线与平面内的两条相交a,bua

直

定aC\b=O

直线都垂直，则该直线与此平面

线>=>/_La

定l-La

垂直

与

理

平

面性

垂质垂直于同一个平面的两条直线

>=>〃〃b

直定平行

理

判

平

定一个平面过另一^T*平面的一条/u夕

=>a_Ln

面定垂线，则这两个平面互相垂直/_L«

与

理

平

性

面两个平面互相垂直,则一个平面

质/u夕

垂内垂直于交线的直线垂直于另

定an°=:a

直

一个平面

理

【巩固练习】

1、(Db是平面a外的一条直线，下列条件中可得出6口々的是()

A.6与a内的一条直线不相交B.b与a内的两条直线不相交

C.b与a内的无数条直线不相交D.6与a内的所有直线不相交

⑵直线/是平面a外的一条直线，下列条件中可推出〃/a的是()

A./与a内的一条直线不相交B./与a内的两条直线不相交

C./与a内的无数条直线不相交D./与a内的任意一条直线不相交

【答案】(1)D(2)D

【解析】(1)8是平面a外的一条直线，要使6口1,则b与平面1无公共点，即人与a内

的所有直线不相交.故选D

(2)对于选项A,/与平面1内的一条直线不相交，则直线/ua、/与a相交以及〃/tz都有

可能，A选项不正确；

对于B选项，/与a内的两条直线不相交，则直线/ua、/与a相交以及〃/a都有可能,

B选项不正确；

对于C选项，若/与。内的无数条平行直线平行时，则/ua或〃/a,C选项不正确；

对于D选项，〃/a,根据直线与平面平行的定义，可知直线/与平面a内的任意一条直线

都不相交，D选项正确.故选：D.

2.已知两个不同的平面a,B和两条不重合的直线m,n,有下列四个说法：

(l)若m〃a,n〃a,则m〃n；(2)若m〃a,n〃a,m,nuB,则&〃8；

(3)若m〃n,nca,则m〃a；(4)若a〃B,mua,则m〃B.

其中正确说法的个数为个.

【答案】1

【解析】说法(1)中，m/7a,n〃Q,则m〃n或m与n相交或m与n异面，故(1)错；说法

(2)中，由面面平行的判定定理，当m与n相交时，可得a〃B,故(2)错；说法⑶中，由

线面平行的判定定理，当m在a外时，可得m〃a,故⑶错；说法⑷中，由面面平行的性

质知，(4)正确，即正确说法只有一个，故填1.

3.下列三个命题在“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中

/,加为直线，a,〃为平面)，则此条件是.

lUmmuaI.Lm

①加口口卜=/口°；②/□加卜=/口°；③机

【答案】Iaa

【解析】①/〃加，机//an///。或/ua,由

②lya,mua,I//m^l/la-

③/_L机，m1a=111a或Iua,由/n=>Illa.

故答案为：lUa.

4、平面。〃平面少的一个条件是()

A.存在一条直线ma//a,a〃B

B.存在一条直线a,〃ua,a//P

C.存在两条平行直线〃、b、aua,bu0,a〃.，b//a

D.存在两条异面直线〃、b,aua,Z?u夕，a//P，b//a

【答案】D

【解析】对于选项A,当a、尸两平面相交，直线a平行于交线时，满足要求，故A不对；对于B,两

平面a、£相交，当a在平面a内且a平行于交线时，满足要求，但a与,不平行；对于C,同样在a

与,相交，目a,。分别在a、£内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因为a、。异面，故在

B内一定有一条直线a'与a平行且与匕相交，同样，在a内也一定有一条直线V与匕平行且与a*皎，

由面面平行判定的推论可知其正确.

5、已知a,£是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定a〃6的是（）

A.a,4都平行于直线/

B.a内有三个不共线的点到£的距离相等

C./,/w是a内两条直线，且/〃£,机〃£

D./,7"是两条异面直线，旦1〃3,m〃B，I//a,m//a

【答案】D

【〜】对选项在6有两条直线/,“满足/'/〃，m'tlm,又Ma,mHa,：.r

Ila,m,lla,又/与册异面，所以♦与加相交，所以a〃£.

6、过平面a外的直线/,作一组平面与a相交，如果所得的交线为a、b、c、…，那么这些

交线的位置关系为（）

A.都平行

B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点

D.都平行或交于同一点

【答案】D

【解析】若〃/平面a,则交线都平行；若6平面a=A,则交线都交于同一点A.

【易错易混】（1）定理中有三个条件：①"〃3②an即b；③au/3.三个条件缺一不

可.

(2)若“〃a,则。平行于a内的无数条直线，但。不能与。内所有直线平行.

(1)如果直线。〃平面a,在平面a内，除了与直线。平行的直线外，其余的任一直线

都与。是异面直线.

(2)线面平行的性质定理的条件有三：①直线。与平面a平行，即〃〃如②平面a、P

相交于一条直线，即an/=b；③直线。在平面厅内，即。p.三个条件缺一不可.

(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行.

7、已知桃〃是两条不同的直线，怎乃是两个不重合的平面，给出下面三个结论：

①)若a〃/3jnua,nu)3,则〃，口〃；

②若m,nua,m///3,n///3,则a///3；

③若桃〃是两条异面直线，旦m〃a,m〃B，n//,则。〃夕.

其中正确结论的序号为()

A.①②B.①③C.②③D.③

【答案】D

【解析】由题意，若。〃用，mua,nu0,则相与〃平行或异面，故①错误；

若m，nua,m///3,n///3,则a与6可能平行也可能相交，故②错误；

若7",〃是两条异面直线，且加〃a,m///3,n//a,n///3,则tz〃尸，故③正确.

故正确的结论只有③，故选D.

8、a,B,丫为三个不重合的平面，a,b,c为三条不同的直线，则有下列说法，不正确

的是()

aDcaDy

®bnc=a〃b；②>=a〃b；

b□上

aQcaDy

>=a〃8④>=>a〃B

pQcpay.

aOcaQv

⑤>a〃a；1=>a〃a

aDcaDy

A.④⑥B.②③⑥

C.②③⑤⑥D.②③

【答案】C

【解析】

由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,

还可以异面；③中a,B可以相交；⑤中a可以在a内；⑥中a可以在a内；故选C.

9.平面a与平面，平行的条件可以是（）

A.a内有无数多条直线都与月平行

B.直线aua,0u〃，且a///7,A//tz

C.直线a//a,a//月，且直线a不在a内，也不在，内

D.一个平面a内两条不平行的直线都平行于另一个平面，

【答案】D

【解析】对于A,a内有无数多条直线都与，平行，则。、分可能相交，A错;

对于3,直线au。，bu0,且。〃〃，bUa,则。、〃可能相交，B错;

对于C,直线。口《,。口。，且直线a不在a内，也不在，内，，则。、〃可能相交，C错；

对于。，一个平面内两条不平行的直线必相交,根据平面与平面平行的判定定理可知D正确.

故选D.

11.平面a〃平面，，直线aua,，那么直线a与直线6的位置关系一定是（）

A.平行B.异面C.垂直D.不相交

【答案】D

【解析】由题平面a〃平面P,直线au。，bu/3

则直线a与直线匕的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.故选D.

12.设平面a与平面/相交于直线a,平面，与平面7相交于直线b,则“”是“a///3”

的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.

【答案】必要不充分

【解析】因为平面a与平面7相交于直线平面，与平面/相交于直线b,

若则a〃尸或a与£相交,即由“。〃0”不能推出“。〃尸”；

若。〃〃，根据面面平行的性质，即可得出。〃人，即由“。〃尸”能推出

故答案为：必要不充分

13、已知a是平面a外的一条直线，过a作平面仅使万口。，这样的夕（）

A.只能作一个B.至少有一个C.不存在D.至多有一个

【答案】D

【解析】由题意，直线。是平面a外的一条直线，所以。口。或a与a相交.

当。口1时，根据面面平行的判定定理，可得只有一个平面夕，使得分口。，

当。与a相交时，不存在平面夕，使得一口。.故选D.

14、a,b,c为三条不重合的直线，a,（3,7为三个不重合的平面，现给出下面六个命题:

①若。〃c,c,则。〃匕；

②若a//Y，b//y,则。〃b；

③若tz〃c,c,则（Z〃尸；

④若a〃7,p//y,则。〃£；

⑤若a〃c,a//c,则。口1；

⑥若a〃7，a//y,贝iJaDa.

其中真命题是（填序号）.

【答案】①④

【解析】由题意，根据平行于同一直线的两直线是平行的，可知①正确；

两条直线同时平行于一平面，这两条直线可能相交、平行或异面，故②错误；

两平面同时平行于一直线，这两个平面可能相交或平行，故③错误；

由平行于同一个平面的两个平面是平行的，可知④正确；

直线a和平面a同时平行于直线c,则。口1或au。，故⑤错误；

直线。和平面a同时平行于平面7,则0口0或auo,故⑥错误.

15、设。、尸为两个不同平面，若直线/在平面&内，则“。■!/”是“/，尸”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】结合面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

若直线Jua,且由判断定理得

所以直线lua,且£可得aLP.即必要性成立.

若a，£，直线Jua,则直线£,或直线1//£,或直线1与平面£相交，或直线1在平

面£内.即充分性不成立.

所以“是“的必要不充分条件.

故选：B.

16.如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径;

④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是（）

A.①③B.②

C.②④D.①②④

【答案】A

【解析】①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可

能是平行的.

17、已知a,b,c是直线，a,P是平面，下列条件中，能得出直线a_La的是（）

A.aVb,a_Lc,且匕ua,cuaB.a_Lb,b//a

C.a_L/,a//PD.a//b,b_La

【答案】D

【解析】如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选

D.

18、己知a,匕是平面1内的两条直线，/是空间中的一条直线.则''直线/La且/1b”

是“Ua”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】/_Lc,a,bua=>"/_La,/_!_b"，反之不一定成立，例如a//b时.

“直线/la且是“/La”的必要而不充分条件.故选：B.

19.如果直线/,“2与平面。，尸，/满足/=分？/,/口。，mua,mVy,那么必有（）

A.且/_£mB.aP7且机口小

C.HI口分且D.a〃/?和a_17

【答案】A

【解析】：加鞠/"Zy,：.aLy「：m人y,/3?yI,：.mLI,故选A.

20.设a,力为两个不同的平面，7篦，〃为两条不同的直线，则下列判断正确的是（）

A.若〃_La,mLa,贝U"?_L"

B.若。〃〃，mla,则根_L〃

C.若cr_L尸，aC\j3=l,mil,则小_L，

D.若mUa,贝（|九口1

【答案】B

【解析】A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得加口〃；B选项正确，

若（/〃0,则存在aua,Z?ua,acZ?,在平面方内存在。'〃。力'〃。,。'八|//,由加_La,

可得〃7_1_。,相」匕=>〃7_1优,机_1_”,由线面垂直的判定定理可得a_L/?；C选项不正确，

因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“加在平面。内或者平行于这个条件，才能

判定机，尸；D选项不正确，直线〃可能在平面戊上.

21、已知a,6是两条不重合的直线，。，力是三个两两不重合的平面，则下列假设成立的是

（）

A.若a_L〃，则a〃£

B.若a_L7,丫，。，则a〃〃

C.若m//a,m//P,则a//P

D.若aCl6=/，aua,buB,a_L/,则a_L6

【答案】A

【解析】垂直于同一条直线的两个平面平行.

22、已知三条相交于一点的线段P4,PB,PC两两垂直，尸打，平面ABC于点H,则垂足X

MAABC的（）

A.外心B.内心

C.垂心D.重心

【答案】C

【解析】'：PA1PB,PA1PC,PBCPC=P,二力1平面PBC,：BCu平面PBC,：.PA1BC.,：PH

1平面HBC,...■PH1BC.又PACPH=P,：.BC_L平面PAff,：.BCL1H.同理可证XBlCff,AC1

BH,为A4BC的垂心.

23、如图所示，在四棱锥P—ABC。中，出，底面48C。，且底面各边都相等，M是PC上

一动点.当点M满足时，平面平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条

件即可）

题图答图

【答案】

【解析】连接.4C,贝”BOJUC.由R41底面.4BCD,可知3O1R4,所以BDj_平面R4C,所以

PC,所以当DMlPC（或3A/J_PC）时，即有PC1平面M8D.而PC平面PCD,所以平面一1以。1平面

PCD.

24、下列命题中错误的是（）

A.如果平面a_L平面那么平面a内一定存在直线平行于平面产

B.如果平面a不垂直于平面那么平面a内一定不存在直线垂直于平面£

C.如果平面aJ_平面丫，平面6_L平面丫，aCB=l,那么/_L平面丫