2021年高中数学必修四知识点大全

知双点卒游

升降皿第f常；三角函数

1.1.1佞度角

1、角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

②角的名称：

③角的分类:

2、象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除外）

在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

终边一样的角的表示：

所有与角。终边一样的角，连同。在内，可构成一个集合S={£|=a+

k-360°,

公,即任一与角。终边一样的角，都可以表示成角a与整个周角的和.

注意:

(1)kCZ(2)。是任一角；

⑶终边一样的角不一定相等，但相等的角终边一定一样.终边一样的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷角。+k•720°与角。终边一样，但不能表示与角。终边一样的所有角.

3、写出终边在y轴上的角的集合佣0°到360。的角表示).

解：{。|a=90°+n•180°,〃EZ}.

Ct

4、已知。角是第三象限角，则2%—各是第几象限角？

2

解：・••a角属于第三象限，k•360°+180°<a<k^360°+270°(AeZ)

因此，2k•360°+360°<2a<2k-360°+540°(A£Z)

即(24+1)360°<2a<(2A+1)360°+180°(AGZ)

故2。是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角.

a

又A・1800+90°<—<k-180°+135°(A£Z).

2

a

当々为偶数时，令A=2〃(〃£Z),则〃・360°+90°<—</?-360c+135°(nez),

2

a

当〃为奇数时，令A=2"l(〃£Z),则刀・360°+270°<—<n*3600+315°(n€Z),

2

因此上a属于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

1、弧度制

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧

度制.在弧度制下，1弧度记做lrad.在实际运算中，常常将rad单位省略.

2、弧度制的性质：

7rr_2w

----=27c.

①半圆所对的圆心角为〃’②整圆所对的圆心角为r

③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的弧度数的绝对值|a|二r•

3、弧长公式

lai=-=>/=r-|a|

r弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.

例6.利用弧度制证明扇形解只公郑=出其中/是扇形弧长R是圆的半径

2—TlR2

证法一二•圆的面积为成，，圆心角为Irad的扇形面积为2兀,又扇形弧长为1,半径

为R,

—S=--R7=-lR

・・.扇形的圆心角大小为Rrad,・・.扇形面积R22

ll-7vR'

证法二:设圆心角的度数为n,则在角度制下的扇形面积公式为360,又此时弧长

n7iR

/=w

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得

多.

扇形面积公式:S=^lR=^\a\R2

1.21隹直角的三角国政

1、三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点尸(除了原点)的坐标为

(x,y),它与原点的距离为r(r=J|x|2+|y|2=^x2+y2>0),那么

(1)比值)叫做a的正弦，记作sina,即sina=»；

XX

(2)比值二叫做a的余弦，记作cosa,即cosa=—；

y

(3)比值)叫做a的正切，记作tana,即tana=一；

xx

YX

(4)比值上叫做a的余切,记作cota,即cota=—；

yy

2.三角函数的定义域、值域

・函数定义域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaRL-1,U

71

y=tana{a|aw—+GZ}R

。*N典COS^tanxM后

3、求函数>----L+,----的值域

cosx|tanx|［

解：定义域：cosx^O・,.x的终边不在x轴上又〈tanxM.,.x的终边不在y轴上

・'•当x是第I象限角时，x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|/.y=2

..............II...............,x<0,y>0|cosx|—cosx|tanx|—tanxAy—2

..............HIIV...........,x>0,yv0Icosx|—cosx|tanx|=tanxAy=0

4、诱导公式

sin(2kr+a)=sina(keZ)

cos(24万+a)=cosa(keZ)

tanQZi+a)=tana(ZGZ)

5、三角函数线的定义:

设任意角a的顶点在原点。，始边与工轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y),

过尸作工轴的垂线，垂足为M；过点A(l,())作单位圆的切线，它与角。的终边或其反向延

长线交与点7.

(III)

由四个图看出:

当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y,于是有

vvxxVMPAT

sina=2=2=y=MP,cosa=-=-=x=OMftana=2=——=——=AT

r1r1JOMOA

我们就分别称有向线段MROM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

(1)三条有向线段的位置：正弦线为0的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在

x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条

有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向0的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与二的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与龙轴或)'轴同向的为正值，与1轴或丁轴反向

的

为负值。

(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：

一.2%一.4万22兀-4冗

1°sin——与sin——2°tan——与tan——

3535

解：如图可知:

.2%.4%7.7147r

sm——>sin——tan—<tan—

3535

1.22周角三角函数的基本免系

1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

(1)商数关系：tana=0■"(2)平方关系：sin2a+con2a=1

cona

12_

2、已知sina=—,并且。是第二象限角，求cosa,tana,cota.

13

解：sin~tz+cos-a=l/.cos2a=\—sin2a=\—(—)2=(—)2

1313

又是第二象限角，cosavO,即有cosa=,从而

13

sina1215

tana=------=-----cota=------=------

cosa59tana12

，、sina-4cosa

3、已知sina=2cosa,求--------------2

5sintz+2cosa2sin2a+2sinacosacosa.

cosx_1+sinx

4、求证:

1-sinxcosx

证法一：由题义知COSXW0,所以1+5皿工工0,1-5皿工工0.

・cosx(l+sinx)cosx(l+sinx)1+sinx...

•・左边二--------------------=---------：-------=----------=右边.

(1-sinx)(l+sinx)cos~xcosx

・•・原式成立.

证法二：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO,l-sinxwO.

又V(1-sinx)(l+sinx)=l-sin2x=cos2x=cosx•cosx,

cosx_1+sinx

1-sinxcosx

证法三：由题义知cosxw0,所以1+sinxw0,1-sinxw0.

cosx1+sinxcosx-cosx-(14-sinx)(l-sinx)_cos2x-l+sin2x

=0,

1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx

.cosx_1+sinx

►•—

1—sinxcosx

1.3房寻公式

1、诱导公式（一）

sin(360%+a)=sinacos(360Qk+a)=cosatan(360Qk+a)=tana

诱导公式（二）

sin(180°+cr)=一sinacos(180°+a)=-cosatan(l80°+a)=tana

诱导公式（三）

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tana

诱导公式（四）

sin（冗一a）=sinacos(K—a)=~cosatan(九一a)=­tana

诱导公式（五）

sin(y-a)=cosa

诱导公式（六）

sin(]+a)=cos。

sin(21一a)cos(r+a)cos(—+a)cos(------a)

2、化简：-----------------------2----------2——

9万

COSCT-a)sin(3乃-a)sin(-a-万)sin(----Fa)

3、已知sin(a+%)=且sinacosav2sin(a乃)+3tan(3%^2的值

54cos(a—3%)

4、化简:

tan(360°+a)

•sin(a-2%)・cos(2^-a);(2)cos2(-a)-

sin(-a)

5、

co：

I.4I正弦、余弦画数的图象

1、

正弦函数丫=55*的图象和余弦函数丫飞05*的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：

正弦函数y=sinx,xe[0,2冗]的图象中，五个关键点是：(0,0)(y,1)(兀，0)

(孚，-1)(2九，0)

2

余弦函数产cosxxe[0,2扪的五个点关键是哪几个？(0,1)(；,0)(n,-1)(当，0)

22

(2K,1)

3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

(l)sinx>—;(2)cosx<—,(0<x<—).

1.4.2正弦、余弦函数的IB质

奇偶性:y=cosx是偶函数y=sinx是奇函数。

单调性

正弦函数在每一个闭区间[一巳+2々/-+2kn~\UGZ)上都是增函数，其值从一1

22

TT

增大到1；在每一个闭区间[一+2",二+2"](A£Z)上都是减函数，其

22

值从1减小到一1.

余弦函数在每一个闭区间［(2—1)冗，2A%］(A£Z)上都是增函数，其值从一1增加到1；

在每一个闭区间［24孙(24+1)乃］(AGZ)上都是减函数，其值从1减小到一

1.

3、有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

冗

y=sinx的对称轴为x=k/TT——k£Zy=cosx的对称轴为x=k兀kGZ

2

4、判断下列函数的奇偶性

n

(1)/(x)="s|"c°S"；(2)f(x)=lg(sinx+Jl+sin%);

l+sinx+cosx

1.43正切图数的嵯质与图象

TT

1、正切函数》=tanx的定义域是什么？x\x^—+k7r,kez►

2、y=tanxxeR,且不工乙+匕r(Awz)的图象，称“正切曲线

定义域：卜|X工5+&肛&Gz};

3、正切函数的性质(1)

(2)值域：R观察:当无从小于公r+^kwz),x——>E+］时，tanx---->+oo

当x从大于£.卜府(攵wz),x---->E+QT时，tanx---->-oo

2o

(3)周期性：T=c

(4)奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函数是奇函数；

(5)单调性：在开区间/_工+攵匹工+/区卜WZ内，函数单调递增。

(22

4、求下列函数的周期：

(九、/乃、71

(1)y=3tanx+—答：T=*,(2)y=tan3x---答：T=—。

k5J16；3

说明：函数的周期7

H,

5、求函数y=tan（3x-[]的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，

\3）

7TJTK7T5乃

解：1、由3x------wk汽4—得XW-------1---所求定义域为

32318

1I-J口k冗54.

<X|XWR,且RW---1----，女WZ>

318

2、值域为R,周期丁=工，3、在区间丝-2,三+3获z）上是增函数。

31318318P，

I.5图数方凡就®c+侬次摘w>0）的BE象

1、函数y=Asin（wx+（p）,（A>0,w>0）的图像可以看作是先把y=sinx的图像上所有的点

向左。>0）或向右（<pVO）平移|中|个单位，再把所得各点的横坐标缩短（w>l）或伸长（0<w〈l）

到原来的,倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（AX）或缩短（O<A<1）到原来的A

CD

倍，（横坐标不变）。即：平移变换一周期变换一振幅变换。

2、⑴函数y=sin2x图像向右平移型个单位所得图像的函数表达式为y=sin2（x-—）

1212

⑵函数y=3cos（x+2）图像向左平移T个单位所得图像的函数表达式为y=3cos（x+皆）

⑶函数y=21oga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式y=2k>g.2（元+3）

⑷函数y=2tan⑵+中图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为

冗

y=2tan[2(x-3)+y

3、函数y=Asin(wx+(p)表示一个振动量时：

A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.

T：T=二往复振动一次所需的时间，称为“周期”

co

f：/=4=多单位时间内往返振动的火数，称为“频率”

T2不

以十°:称为“相位”.

(P：后0时的相位，称为“初相”.

4、y=Asin(ajx+g)(|(p|<乃)的表达式

解析：由图象可知看2,

77乃)

T=----(---)=冗、

88

即二=肛.・.0=2.

CD

又(-g,0)为五点作图的第一个点

O

jrTT

因此2K(-三)+3=0,:.3二

o4

因此所求函数的表达式力，=2sin(2%+f).

4

1.6三角西政佛堂的画单位用

1、画出函数尸Isinxl的图象并观察其周期.

萍二章：平面向宣

2.1.1-2.1.2向It的物理背景与概念及向黄的几何着帚

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；B

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2、向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量A8的大小一长度称为向量的模，记作

\AB\.

3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，这两个向量就是

一样的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同

的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作〃。的方向是任意的.注意。与0的含义与书写

区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.我,

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向一样或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定。与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、6、c平行，记作a

//b//c.

2.1.3相等向量与共线向置

1、相等向量定义:

长度相等且方向一样的向量叫相等向量.

说明：（1）向量a与6相等，记作a=6；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点

无关

2、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无

去）•

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、判断：

（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向一样）

（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

4、下列命题对的是（）

A.&与6共线，6与c共线，则1与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有一样起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两

个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边

形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向一样或相反即可，与起点是否一样无关,

所以D不正确；对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b

不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b

共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.

5、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量43与是共线向量，则AB、C、〃四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形的是平行四边形当且仅当AB=DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向一样或相反即可，并不要求两个向量A3、

元在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.

——4彳E

⑥不正确.如图AC与3c共线，虽起点不同，但其J---------1---------终点却一样.

2.2.1向叠的加法运牌友其几何意义

1、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A,作43=a,BC=b,则向量4c叫做

a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC,规定：a+0-=0+a

2、已知向量Z、bt求作向量3+1

作法：在平面内取一点，作。4=。AB=ht则OB=a+Z.

22.2向量的臧法运算及其几何意义

、作法：在平面内取一点Q

作方二3~AB=b则或二a-b

即a-b可以表示为从向量，的终点指向向量a的终点的向量.

注意：1。而表示a-5.强调：差向量“箭头”指向被减数

2。用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a^(-》

2.2.3向叠的数乘运算及几何意义

1、实数与向量的积的定义：

一般地，实数4与向量3的积是一个向量，记作；13,它的长度与方向规定如下:

（1）|疝=|刈£|；

（2）当；1>0时，的方向与2的方向一样；

当4<0时，的方向与［的方向相反；

当2=0时，Aa=6.

2、实数与向量的积的运算律：

（1）40。）=（，/）〃（结合律）；

（2）（丸+〃）。=九。+（第一分配律）；

(3)"a+b)=Aa+Ab(第二分配律)

3、计算：(1)(-3)x4〃；(2)3(a+5)-2(a-b)-a；

(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

解：(1)原式二-12。；(2)原式=5万；(3)原式二一a+5^-2c.

4、已知向量⑪满足亨-?=2+2初求证：向量静旗线.

5、证明三点共线的问题

跖=4记（正wO）=A、B、C三点共线.

231-2平面向it基本定理、平面向的正交分解

和坐标裹帚

1、平面向量基本定理：加入［,1是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的

任一向量,，有且只有一对实数入I,入2使2=入1%+入2g.

2、(1)我们把不共线向量e1、入叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e】、的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.入2是被落

G,e2唯一确定的数量

3、如图，苏、而不共线，且

AP=tAB(teR\用而，方表示丽.

本题实质是已知O、A、8三点不共线，

若点尸在直线A8上，则而二加次+〃而，且加+九=1・

4、向量的夹角：已知两个非零向量2、b,作。5=〃，OB=b,则NA0B=6,叫向量后、

B的夹角，当8=0：a＞很同向，当。二180。，2、B反向，当。=90。，M与石垂

直，记作行，〃。

6、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

7、在直角坐标系内，我们分别取与工轴、）轴方向一样的两个单位向量八，作为基底.任

作一个向量4,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数久、yf使得a=xi+yj.......

O

我们把（ay）叫做向量。的（直角）坐标，记作。=（乂y）...............（2

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2・3.3平面向量的坐标运算

1、平面向量的坐标运算

(1)若。=(项，必),/?=(/,为)，贝汁a+b=a+々，必+为)，

a-b=(x]-x29y]-y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

(2)若。=(x,y)和实数2,则及=(旗,办0.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为i>j,贝！1/izz=〃疝+切)=疝，+彻，即九r=

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

(3)若A(X[,yJB(x2,y2),则48=(冗2-%,为一%)

A.B—OB—OA=(X2,y2)—(xi,yi)=(X2—xi,y2—yi)

2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

3、思考：你能标出坐标为(X2-%,VLyi)的P点吗？

向量薪的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是一样的。

'».....—♦

4、已知三个力耳(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力6+K+K=0,求

元的坐标.

.■■—

解：由题设片+尸2+歹3=。得：⑶4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

3+2+x=0x=-5

即：《・・・F3(-5,1)

4-5+y=0Iy=[

5、若A@1),B(l,2),C(3,4),贝=

2.3.4平面向量若线的坐裤袤示

1、设,二(X1,yi),b=(x2,y2)其中

一x1—/Lx2

由2=入B得，(xi,yi)=A,(x2,y2)=>\消去入，xiy2-x2yi=0

IM=办2

a//b的充要条件是x1y2-x2yi=0

2、若向量7=(-1,x)与B=(-x,2)共线且方向一样，求x

解：•；2=(T,x)与Z?=(-x,2)共线A(-1)X2-Af(-jr)=0

.\x=±V2•；G与B方向一样***x=V2

2.4.1平面向量的数It机的物理背景及其含义

1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与6,它们的夹角是。，

则数量|a|㈤cos。叫a与6的数量积，记作ab,即有a・6二|a||“cos。,（0W6近"）.

并规定0向量与任何向量的数量积为0.

•探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成a6；今后要学到两个向量的外积aXb,而aA是两

个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，

也不能用“X”代替.

(3)在实数中，若*0,且3以0,则反0；但是在数量积中，若今且8方。，不能推

出b=0.因为其中cosS有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(屏0),则ab=bc=a=c.但是a-b=be号

a=c

如右图：a-b=|a\|Z?|cosp=12>||0A|,be=\b\|c|cosa=|b\|0A|

=>a-b-b-c但a工c

⑸在实数中，有(a6)c=a也。，但是但力)c工a(b-c)

显然，这是因为左端是与。共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与。不

共线.

2、“投影”的概念：作图

定义：|b|cos。叫做向量5在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量;

当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时投影为0；

当。=0。时投影为|引；当9=180。时投影为-1引.

3、向量的数量积的几何意义:

数量积ab等于a的长度与8在&方向上投影|b|cosO的乘积.

探究：两个向量的数量积的性质：设a、6为两个非零向量，

1、aLb=a"=0

2、当a与。同向时，&b=|a||^|；当a与。反向时，a-b=-\a\\b\.

特殊的aa二或|。|=\a-b\W\a\\b\cos9=“'

I«11*1

4、平面向量数量积的运算律

1.交换律：a-b=b'a

证：设a,b夹角为0,则a•力二||引cosO,b•a-\b\\a|cos9:・a,b=b•a

2.数乘结合律：（九a）/=入（a・b）=a（九力）

证：若入〉0,（入a）-b=\\a\|引cos。，X（ab）=Z|a||2?|cos0,a•（入b）

=X|a||ZJ|COS8,

若九＜0,（Xa）-b=|Xa||2?|COS（K-G）=-X|a||Z?|（-cos0）=X|a||b\cos0,九（ab）

=XIa||b\cos0,

a•（九力）=|a||XZ»|cos（7C-0）=-X\a\\b\（-cos0）=Z|a||^|cos0.

3.分配律：（a+8）-c=a-c+be

在平面内取一点0f作Q4=a,AB=b,OC=c,'.•a+方（即。5）在c方向上的

投影等于3、b在c方向上的投影和，即|a+b|cosO=\a\cosOi+\b\cos02

/.Ic|\a+b\cosO=|c\\a\cosO.+|c\\b\cos02,Ac-（a+8）=c-a+ob即:（a

+b)-c-a-c+be

说明：（1）一般地，（a•b）c#a（6•c）

(2)a•c=b•cfcWOaa=b

(3)有如下常用性质：a2=।，।2,

(a+b)(。+〃)=a•c+a•d-\-b•c+b•d

5、已知|a|=12,|引=9,M・B=-54后，求五与B的夹角。

6、已知|a|=6,|引=4,w与。的夹角为60°求：(1)(a+2b)•(a-3b).（2）|小•引与

\a-b\.

（利用1。1=后高）

7、已知|a|=3,|Z?|=4,且a与力不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

2.4.2平面向董数量机的坐裤衰示、稹、夹角

1、平面两向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即〃・〃=x/2+My2

2、平面内两点间的距离公式

（1）设则|。|2=%2+）,2或g|=+12.

（2）加入表示向量〃的有向线段的起点和终点的坐标分别为（%2，%），

那么IQ|=-々）2+（必—%）2（平面内两点间的距离公式）

3、向量垂直的判定

设。二(»，必)，b=(x2,y2)t则。_1人<=>xtx2+y^y2=0

4、两向量夹角的余弦（0<644）

ab可出+必力

COS0=

5、已知a=(l,V3),b=(A/3+1,V3-1),则a与b的夹角是几？

分析：为求a与6夹角，需先求a•占及Ial•|加，再结合夹角。的范围确定其值.

解：由a=(l,V3),b=(73+1,V3—1)

有a・b=V^+l+Q(g—1)=4,IaI=2,\b\=242.

jr

记a与b的夹角为8,又•：eWn,：.e=—

4

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

6、在△37中，43=(2,3)AC=(1,A),且△放的一个内角为直角，求A值.

—>—-3

解：当4=90。时，ABAC=0,A2X1+3Xk=0：.k=--

2

当8=90。时，AB,BC=0,BC=AC-AB=(1-2,h3)=(-1,狂3)

，2X(-1)+3X(h3)=0：.k=—

—1,3+A/13

当C=90。时，ACBC=0,+A(h3)=0：.k—

25I平面几何中的向量方法

例1.已知力。为。。的一条直径，4ABe为圆周角.求证：ZABC=90°.

证明：设前=%=诟而=上p=w，

AB=AO+OB=。+8BC=a-b.

AB•BC=(a+b)•(a—b)=a—b=0,

・・.AB±BC,ZABC=90"

2.5.2向童在物理中的应用举四

1、如图，一条河的两岸平行，河的宽度4500叫一艘船从Z处出发到河对岸.已知船的速

度|彳|=10km/h,水流速度|彳|=2km/h,问行驶航程最短时，所用时间是几（精确到0.1

min)?

A

图2.5-4

图2.5-5

解：ItiI=解vi|"一Isl'>/§5(km/h).

所以Z=T^7=--=；X60^3.l(min).

ps/96

答:行驶航程最短时.所用时间是3.lmin.

第三束；三角懊等究除

3.1.1两角差的余弦公式

1、两角和差的余弦公式：cos(a±/8)=cosacosP+sinasin/7

2、利用和、差角余弦公式求cos75°、cos15的值.

解：分析：把75°、15构造成两个特殊角的和、差.

cos75°=cos(450+30°)=cos45°cos30-sin45°sin30°=—x--—x—=~——

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cos15°=cos(45°-30°)=cos450cos300+sin45°sin30°=旦旦［L卫

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