【数形结合思想在中学数学的应用实例探究2900字（论文）】

第5页共11页第4页共11页数形结合思想在中学数学的应用实例研究目录TOC\o"1-2"\h\u12577一.引言 14218二.数形结合的基本理论和思想方法概述 22962三.数形结合思想的应用举例 3130683.1在方程问题中的应用 351623.2在三角函数问题中的应用 4220503.3不等式组问题 5236693.4在曲线方程问题中的应用 5123433.5在集合问题中的应用 6241743.6空间向量解决立体几何问题 7323213.7复数用图象表示其几何意义 927277四.结论 118396参考文献 11摘要:简单来说，数学科学就是形和数字的课题。数学科学是对几何空间中的对象与代数体系中数量表式的研讨。课本包含许多能反映数形结合思想的课题，图形和数字一直都是在初、高中学时期的教材、教学中的两个难重点。形是数几何的表现，数是形的抽象概述。数形结合的应用当中，有数的周密，还有形的直接体现，将直观性极强的图表语言和包含抽象符号的数学语言相互贯穿。一言以之，抽象、形象两点兼俱了数形结合的特性，所以此篇小文将在初、高中学范畴内，举例阐释和探求数与形之间的微妙思想与方法。关键词：几何意义；曲线方程；目标函数；最小值；代数计算快；过程麻烦繁琐；转换思想；域内取到；学好和学精数学；目标值坐标；一.引言作为数学教学的基础思想，知识学习和能力发展需要数学思想去加以结合，在辅以数学方法的实践。这种练习方式加强了学生的思维能力，可以发掘学生的潜能，对锻炼学生的数学思维有很大的帮助。在教学中运用数字与图的结合教学，可以促进以使学生更强地解决遇到的问题。数学的学习不仅仅是指对课本知识的掌握，没有任何疑问，数学课题的学习对于大多数的学生来说都将是非常重要的更重要的是学习如何运用相关知识来解决问题。使数学的“数”与“形”相互贯穿、相互融合。让学生在解题时，过程和步骤更加可视化、直观性和简洁、思维的逻辑性和步骤的清晰性是体现解决数学问题的“美”必要条件，符合教学要求的思想是“数形结合”，要养成“数”与“形”可以相互转化的思维习惯。二.数形结合的基本理论和思想方法概述数形结合的应用几乎贯穿整个数学的学习过程，使学生学好和学精数学必不可少的一个重要思想和思维习惯，并且可以加深对数学的学习热情，而不是仅仅当作解题的简便方法来粗糙的运用。我们在应用数形结合思想时要注意做到以问题的等价转化为基本依据，这里主要是指，要有一些基本理论思想，主要有：能把代数问题等价转化为有几何背景的问题下面我们就这三个原则分别举3个能体现这些基本思想的例子例：和满足不等式组：，则的最大值是。A、11B、10C、9D、8.5图1分析：根据上图2所示，将等式化为。分析上面的图像很容易得出在A处得到最大的值。则联立解得，.于是，此题选B。例：如果（，）有两个根，则。图2图3（,），，。有2个互异根，观察上述两图，我们很容易便知道，时符合此条件。例：在实数范围内有多少零点：。A、3B、5C、7D、9解：这里可以直接在下图中所示范的，看出问题的是选，D的。图4三.数形结合思想的应用举例3.1在方程问题中的应用我们知道等价于，所以函数与方程的关系十分密切，而函数又有图像特征，往往我们经常将不好解的方程问题，转化为函数图像上的问题，这就是借助了数形结合的思想。例题1零点个数是。分析：作出与的函数图像，如图5所示XXYY=lnxY=cosx图5利用代数方法求解：已知的有意义则而,有意义时取值为，在内有意义则，在这个范围内分别取最大、小值：、值，如是一定只有一个实数零点。分析：两种方法对比，可以明显看出由图像得出答案更加快速便捷，而代数方法过程麻烦繁琐。发现作图直接直观，做题时学生要学会发现图像的简单性。3.2在三角函数问题中的应用三角函数是一种超越函数，代数函数的方法不适用，但三角函数的图像清晰明了，所以我们经常使用数形结合的思想，利用三角函数的图像性质来解决相关问题。例题2函数在闭区间（）A是单调增加函数B是单调增加函数C是单调增加函数D是单调增加函数解析：这道题先根据图象6进行直观的判断，函数图象如下图：图6由上图可得该函数的增区间为,C选项满足题意。3.3不等式组问题例题3：假设满足不等式组求的取最大值的坐标。图7解析：在这道题中我们仿照本文的第（二）部分中列举的第一个例子的方法，采用数形结合，在图7中很容易直接观察出函数的目标值坐标。3.4在曲线方程问题中的应用曲线方程是高中教材比重较高的部分，其中包括圆、椭圆的曲线方程、双曲线、抛物线的方程，这些方程中数形结思想应用使解题过程简单明了，大部分过程都能发现数形结合思想的痕迹例题4：x，y满足等式，求值最大的情况解析：发现题中给出的形式是代数，值最大的情况不能直接得到，数形结合是我们要立即想到的，画出的图坐标系，图8，是作为圆心，作为半径的圆，任意一点与原点连线与点的斜率为，相切于圆，，有值最大的情况44POyxq1图83.5在集合问题中的应用描述法、文氏图法、例举法等是集合主要采用的方法例题5：，（）解析：（1）得出的条件为是的真子集（2）当的关系是，是的真子集或，所以是的真子集用文氏图表示如下：UUA=BBAU图9满足的条件有或是的真子集,故非必要条件。但是的真子集就一定满足，故为充分条件。3.6空间向量解决立体几何问题空间向量在线段相等、直线垂直和立体几何中的空间角和空间距离都可以使用，我们要把几何情况转变为代数，数形结合可以不必去进行空间的构想。例6：如图10，是对角线上一点，又是正方形的对角线，四边形为矩形，图10证明:（1）.（2）.解析：坐标系图10中，我们将正方形的边长设为1，,则得（1）（2）如图11求证：与所成角的余弦值的长解：如图11所示，，为空间直角坐标系（1）.证明（2）∴由（1）得(3).∵是∴即又∵3.7复数用图象表示其几何意义我们可以在坐标系图像利用复数的意义和复平面两点之间的距离公式求解问题，比代数计算快的多。例8．,解析：的轨迹是图中线段,的距离，在图12中画出,图12结论通过以上题型的总结，数学授课教学时，数形结合的思想必不可缺。尤其是中学，数学教材中，有着普遍性和较高频率的运用。当前，课程改革以及素质教育将提高学生思维逻辑能力、计算能力以及创新能力摆在重要位置，教师在课堂中不再扮演知识传授者的角色，同时也是新式教学方法的教授者，因此，为学生讲解数学知识时，不再将重点放在讲解最基础理论知识上，而是采用新式数形结合教学方法为学生讲解相关内容，这样学生才会喜爱数学，让学习数学变的更有积极性和主动性，同时，该方法适用范围广泛，有助于基础不同的同学共同进步。在分析问题和了解问题时我们要有意识的应用数形结合的思想方法去审题，养成这样的思维模式，让数形结合思想应用的意识提高，培养自己具有数学眼光和头脑。但在应用中我们要注意数形结合思想的合理性、等特性、合理性等特。参考文献[1]李林.浅议数形结合在中学数学教学中的应用[J].经验交流,2012(3):273-274.[2]贾怀明.浅析数形结合在中学数学中的应用[J].数学研究,2017(9)：179

[3]卢洋.浅谈中学数学中数形结合思想的应用[J].理科考试研究,2017(10):4[4]兰雪平.数形结合在中学数学中的应用[J].教学探蹊,201