2022年四川省自贡市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

四川省自贡市初2022届毕业生学业考试

数学

本试卷卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分.答卷前，考

生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上；答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试卷卷、

草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题（共48分）

注意事项：必须使用25铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮

擦擦干净后，再选涂答案标号.

一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.如图，直线CD相交于点。，若Nl=30，则N2的度数是（）

2.自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止今年5月，共接待游客180000余人；人数180000用科

学记数法表示为（）

A.1.8xl04B.18xl04C.1.8xlO5D.1.8xl06

3.如图，将矩形纸片A3CD绕边CD所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（）

B.

4.下列运算正确是（）

A.(-7)2=-2B.(V3+V2)(V3-V2)=1

C.+/=

5.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点。重合，点A（-2,5）,则点。的坐标为（）

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

6.剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形（）

7.如图，四边形A3CD内接于。O，A5为。。的直径，ZABD=20，则/BCD的度数是（)

C

D,

A.90°B.100°C.110°D.120°

8.六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（）

A.平均数是14B.中位数是14.5C.方差3D.众数是14

9.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20。，则这个底角的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

10.P为。。外一点，PT与。。相切于点T，OP=10,NOPT=30°,则尸T的长为（）

A.573B.5C.8D.9

11.九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜

园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案

是（）

方案1

A.方案1B.方案2C.方案3D.方案1或方案2

12.已知A（-3,-2）,B（l,-2）,抛物线,=依2+6尤+式4>0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与无轴交于C,

。两点（C在。的右侧），下列结论：

①cN-2；

②当尤>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABC。为平行四边形时，a=-.

2

其中正确的是（)

A.①③B.②③C.①④D.①③④

第II卷非选择题（共102分）

注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用

铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试卷卷上无效.

二.填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

13.计算：|-2|=—.

14.分解因式：m2+m=.

a2+4a+4a-3a+2

16.为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池;

一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、

10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）

17.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A3长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半

径为____________厘米.

18.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中点，线段所在边AB上左右滑动；若石尸=1,则

GE+C户的最小值为.

三.解答题（共8个题，共78分）

3x<6

19.解不等式组：<，.C，并在数轴上表示其解集・

5x+4>3x+2

L▲1A“A

10123

20.如图，△ABC是等边三角形，D,E在直线上，DB=EC.求证:

ZD=ZE.

A

21.学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生

乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度.

22.为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间/(单位：小时)，学校采用随机抽样的方法，对部分学生

进行了问卷调查，调查结果按0Wf<3,3<r<4,4<Z<5,才25分为四个等级，分别用A、B、C、。表示；

下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

各等级人数占调查

总人数的百分比统计图

各等级人数的条形统计图

(1)求参与问卷调查的学生人数〃，并将条形统计图补充完整;

(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

(3)某小组有4名同学，A、。等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求

这2人均属〃等级概率.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=辰+6的图象与反比例函数y=°的图象交于4(一1,2),6(和,一1)

两点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)过点8作直线/〃y轴，过点A作直线于。，点C是直线/上一动点，若DC=2ZM,求点。的坐

标.

24.如图，用四根木条钉成矩形框A3CD,把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变

(四边形具有不稳定性).

(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由A3旋转得到，所以EB=AB.我们还可以

得到FC=,EF=；

(2)进一步观察，我们还会发现历〃A。，请证明这一结论；

(3)已知30=30011,0。=80cm,若BE恰好经过原矩形。C边的中点〃，求所与6C之间的距离.

p

图③图④

（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心。处，另一端系小重物G.测量时，使支杆

OM、量角器90。刻度线QV与铅垂线0G相互重合（如图①），绕点。转动量角器，使观测目标P与直径两端点

共线（如图②），此目标p的仰角NPOC=NGQN.请说明两个角相等的理由.

（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端尸的仰角

ZPOQ=60,观测点与树的距离KW为5米，点。到地面的距离OK为L5米；求树高.（若标1.73,结

果精确到01米）

（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端尸距离地面高度尸H（如图④），同学们讨论，决定先在

水平地面上选取观测点及尸（凡尸，〃在同一直线上），分别测得点P的仰角万，再测得E1间的距离加，点

01,02到地面的距离均为1.5米；求PH（用名民机表示）.

26.已知二次函数y=0x2+8+0(000).

y.

4.

3-

2.

1-

-4-3-2-1O

图①备用图

（1）若。=-1,且函数图象经过（0,3）,（2,-5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶

点的坐标;

（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值》23时自变量无

的取值范围；

(3)若〃+Z?+c=O且一元二次方程ox?+"+0=0两根之差等于〃一。，函数图象经过

p1g-c,力］,0(1+3°,为)两点，试比较％，为的大小.

四川省自贡市初2022届毕业生学业考试

数学

本试卷卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分.答卷前，考

生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上；答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试卷卷、

草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题（共48分）

注意事项：必须使用25铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮

擦擦干净后，再选涂答案标号.

一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.如图，直线A瓦CD相交于点。，若Nl=30，则N2的度数是（）

A.30°B.40°C.60°D.150°

【答案】A

【分析】根据对顶角相等可得N2=Nl=30°.

【详解】解：：Nl=30，N1与N2对顶角，

Z2=Zl=30°.

故选：A.

【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等.

2.自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止今年5月，共接待游客180000余人；人数180000用科

学记数法表示为（）

A.1.8xl04B.18xl04C.1.8xl05D.1.8xl06

【答案】C

【分析】用移动小数点的方法确定。值，根据整数位数减一原则确定”值，最后写成

ax10”的形式即可.

【详解】80000=1.8x105,

故选C.

【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点在左边第一个非零数字的后面确定。,运用整数位数

减去1确定n值是解题的关键.

3.如图，将矩形纸片A3CD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（）

【答案】A

【分析】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体示来解答.

【详解】解：矩形纸片A3CD绕边CD所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体.

故选：A.

【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握“面动成体”得到的几何体的形状是解题的关键.

4.下列运算正确是（）

A.（_/『=—2

C.

【答案】B

【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幕的除法法则，零指数幕的运算法则进行运算即可.

【详解】A.（-l）2=1,故A错误;

22

B.(73+V2)(73-V2)=(A/3)-(A/2)=1,故B正确；

633

C.a-a=fl,故C错误；

D.f——L]=1,故D错误.

I2022J

故选：B.

【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幕的除法法则，零指数幕的运

算法则，是解题的关键.

5.如图，菱形A3CD对角线交点与坐标原点。重合，点4(-2,5),则点C的坐标为()

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

【答案】B

【分析】根据菱形的中心对称性，4C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可.

【详解】,•菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，

1•A、C坐标关于原点对称，

."的坐标为(2,-5),

故选C.

【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题

的关键.

6.剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是()

B.

【答案】D

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.

【详解】不是轴对称图形，

•••A不符合题意；

不是轴对称图形,

不符合题意;

V不是轴对称图形,

，C不符合题意;

是轴对称图形,

六。符合题意;

故选D.

【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键.

7.如图，四边形ABCD内接于。。，AB为。。的直径，ZABD=20）则ZBCD的度数是（）

C

D,

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】因为A3为。。的直径，可得NAD5=90°，NDW=70，根据圆内接四边形的对角互补可得N3CD

的度数，即可选出答案.

【详解】:AB为。。的直径，

ZADB=90°，

又：NABD=20，

AZDAB^90-ZABD=9Q-20=70，

又：四边形A3CD内接于。。，

AZBCD+ZDAB=180，

AZBC£>=180-ZZMB=180-70=110，

故答案选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键.

8.六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（）

A.平均数是14B.中位数是14.5C.方差3D.众数是14

【答案】D

【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可.

【详解】解：A.六位同学的年龄的平均数为13+14+14+14+15+15=幻,故选项错误，不符合题意;

66

B.六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15,

中位数为------=14,故选项错误，不符合题意；

2

（）2（）2（）2

C.六位同学的年龄的方差为B13-—6+*314-—6，+2I15-—6」7,故选项错误，不符合题意；

6-36

D.六位同学的年龄中出现次数最多的是14,共出现3次，故众数为14,故选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的求法是解题的关

键.

9.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20。，则这个底角的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】这个底角的度数为x,则顶角的度数为（2尤+20。），根据三角形的内角和等于180。，即可求解.

【详解】解：设这个底角的度数为尤，则顶角的度数为（2x+20。）,根据题意得：

2x+2x+20°=180°,

解得：x=40。，

即这个底角的度数为40°.

故选：B

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角

和定理是解题的关键.

10.P为。。外一点，PT与。。相切于点T，O尸=10,NOPT=30°,则PT的长为（）

A.573B.5C.8D.9

【答案】A

【分析】连接。T，根据切线的性质求出求NO7P=90°,结合NOPT=30。利用含3。°的直角三角形的性质求

出OT,再利用勾股定理求得尸7的长度即可.

【详解】解：连接OT,如下图.

o

,/PT与。。相切于点T,

AZOTP=90°.

：NOPT=30°,OP=10,

：.or=-op=-xio=5,

22

PT=J。产-Or?=A/102-52=5A/3-

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键.

11.九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜

园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案

是（）

方案1方案2方案3

A.方案1B.方案2C.方案3D.方案1或方案2

【答案】C

【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可.

【详解】解:方案1,设=x米，贝iJAB=（8—2x）米，

DC

AB

方案1

则菜园的面积=x（8—2x）

=—2x~+8%

=-2（X-2）2+8

当x=2时，此时散架的最大面积为8平方米；

方案2,当/8AC=90°时，菜园最大面积=；x4x4=8平方米;

Q

方案3,半圆的半径=—,

此时菜园最大面积=乃x（»）2=32平方米＞8平方米，

271

故选：C

【点睛】本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题

的关键.

12.已知A（-3,-2）,B（l,-2）,抛物线产江+云+池乂））顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与无轴交于C,

。两点（C在。的右侧），下列结论：

①cN-2；

②当尤＞0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,点C横坐标的最大值为3；

④当四边形A8C。为平行四边形时，a=~.

2

其中正确的是（）

A.①③B.②③C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】根据顶点在线段上抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二

次函数的增减性判断②；先确定尸1时，点。的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的

横坐标，即可判断③；令y=0,利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出C。

的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=cn然后列出方程求出。的值，判断④.

【详解】解：：点A,8的坐标分别为(-3,-2)和(1,-2),

，线段AB与y轴的交点坐标为(0,-2),

又\•抛物线顶点在线段上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),

•••<>-2,(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；

•••抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，

当尤>1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；

若点D的横坐标最小值为-5,则此时对称轴为直线x=-3,

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3,故③正确；

令y=0,贝！]ax2+bx+c=0,

bc

设该方程的两根为XI，X2,则X1+X2=---，X\X2=—,

aa

CD2=(XI-X2)2=(X1+X2)2-4xiX2=(——)2—4x—=----

aaa

zlr/f—

根据顶点坐标公式，=—2,

4〃

22

.^ac-b00nb-4ac_o

aa

*.*四边形ACD8为平行四边形，

CD=AB=1-(-3)=4,

Q]

.•.—=42=16,解得〃=—,故④正确;

a2

综上所述，正确的结论有①③④.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关

系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y

轴上的情况.

第n卷非选择题(共102分)

注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用

铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试卷卷上无效.

二.填空题(共6个小题，每小题4分，共24分)

13.计算:I-2|=—.

【答案】2

【分析】根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0,即可求解

【详解】V-2<0,

-2|=2

14.分解因式：m2+m=•

【答案】m(m+1)

【分析】利用提公因式法进行因式分解.

【详解】解：m2+m-m(m+1)

故答案为：m(m+V).

【点睛】本题考查提公因式法因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键.

«=八”^ci—3a'—42

15.化传：—-------------+-----=.

a"+4a+4a-3a+2

【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可.

，、*即、a—3a~—42

［详解］----------------+-----

a+4a+4a-3a+2

ci—3(u+2)(ci—2)2

二------------------------------------------------------------1-----

(a+2)2a—34+2

a—22a

-...-.-.--1----1-----=------

a+2a+2a+2

故答案为

a+2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键.

16.为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池;

一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、

10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）

【答案】甲

【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得

到结论.

【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则

鱼的概率近似=二=侬，解得x=2000；

100%

设乙鱼池鱼的总数为y条，则

10100

鱼的概率近似=7^7=，解得了=1000；

100y-

2000>1000,

二可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，

故答案为：甲.

【点睛】本题主要考查了频率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关

系.

17.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A3长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半

径为____________厘米.

【答案】26

【分析】令圆。的半径为。2=厂，则OC=r-2,根据勾股定理求出进而求出半径.

【详解】解：如图，由题意，得。。垂直平分AB,

令圆。的半径为OB=r,则OC=r-2,

在RtABOC中

OGBC^OB?,

(r-2)2+102=r2,

解得r=26.

故答案为：26.

【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键.

18.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中点，线段ER在边AB上左右滑动；若所=1，则

GE+CF的最小值为.

【答案】3拒

【分析】如图，作G关于的对称点G,在C£）上截取C4=l,然后连接HG交AB于E,在上截取EF=1,

此时GE+CB的值最小，可得四边形是平行四边形，从而得到GH=EG+EH=EG+CR再由勾股定理求出

8G的长，即可求解.

【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G,在C。上截取C»=l,然后连接8G交AB于区在班上截取

EF=1,此时GE+CF的值最小，

:.GE=GE,AG=AG,

:四边形ABC。是矩形,

J.AB//CD,AD=BC=2

J.CH//EF,

\"CH=EF=l,

/.四边形EFCH是平行四边形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG+CF,

,：AB=4,BC=AD=2,G为边A。的中点，

：.AG=AG'=1

：.DG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

HG'=1DH。+DG@=V32+32=372，

即GE+C户的最小值为3五.

故答案为：3行

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E,F

位置是解题关键.

三.解答题（共8个题，共78分）

19.解不等式组：L,并在数轴上表示其解集.

5x+4>3x+2

【答案】-l<x<2,数轴表示见解析

【分析】分别解两个不等式，找出其解集的公共部分即不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来

即可.

3x<6①

详解】解:

5x+4>3x+2②)

解不等式①，得：尤<2,

解不等式②，得：尤>-1,

则不等式组的解集为-1〈尤<2,

将不等式的解集表示在数轴上如下:

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握解不等式组的方法是解决本

题的关键.

20.如图，是等边三角形，D,E在直线上，DB=EC.求证：ZD=ZE.

【答案】详见解析

【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△AOB之△AEC,由全等三角形的性质可得ND=/E.

【详解】证明：:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZABC=ZACB,

：.ZABD=ZACE,

在△ADB和△&£■(?中，

AB=AC

<ZABD=ZACE

DB=EC

/.AADB^AAEC(SAS),

:.ZD=NE.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大.

21.学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生

乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度.

【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时

【分析】实际应用题的解题步骤“设、歹U、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小

时，结果同时达到列分式方程，求解即可.

【详解】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车速度是3%千米/小时，

4545

根据题意得：—=—+2,

x3x

解之得兀=15,

经检验％=15是分式方程的解，

答：张老师骑车的速度为15千米/小时.

【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问

题的关键.

22.为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间/(单位：小时)，学校采用随机抽样的方法，对部分学生

进行了问卷调查，调查结果按0Wf<3,3<r<4,4<t<5,『25分为四个等级，分别用A、B、C、。表示;

下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

各等级人数占调查

总人数的百分比统计图

各等级人数的条形统计图

(1)求参与问卷调查的学生人数〃，并将条形统计图补充完整；

(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

(3)某小组有4名同学，A、。等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求

这2人均属。等级的概率.

【答案】(1)100,图形见解析

(2)900(3)-

6

【分析】(1)利用抽查的学生总数=4等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求。等级的人数，即

可求解；

(2)用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；

(3)设A等级2人分别用4,4表示，D等级2人分别用。1,6表示，画出树状图，即可求解.

【小问1详解】

40

解：根据题意得：n=——=100；

40%

工。等级的人数为100-40-15-10=35A,

补全条形统计图如下:

各等级人数的条形统计图

解：学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数为

2000x10+%=90。人;

100

【小问3详解】

解：设A等级2人分别用Ai,4表示，。等级2人分别用。1,。2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的

树状图如下：

452

/|\/|\/|\/|\

WD\D2A\D1D2A\A2D2A\A2D1

一共有12中等可能结果，其中这2人均属。等级的有2种，

.•.这2人均属。等级的概率为

126

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数＞=6+人的图象与反比例函数y=〃的图象交于4(—1,2),8(〃—1)

两点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)过点8作直线/〃y轴，过点A作直线于。，点C是直线/上一动点，若DC=2ZM,求点。的坐

标.

2

【答案】(1)>=—,y=-x+1；

x

(2)(2,8)或(2,-4)

Yl

【分析】(1)把点A(-1,2)代入y=—求出w的值，即可得到反比例函数的解析式，把8(m,-1)代入求得

x

的反比例函数的解析式得到根的值，把A、2两点的坐标代入一次函数丫=履+"求出七。的值，即可得出一次

函数的解析式；

(2)根据已知条件确定的长及点。的坐标，由。C=2A。得到。C=6,从而求得点C的坐标.

【小问1详解】

解：把点A(-1,2)代入y=—得，

x

n

2=—,

-1

解得n=-2,

...反比例函数的解析式是y=--,

X

2

把5(m,-1)代入y=---得，

x

2

-1=---，

m

解得m=2,

・••点B的坐标是(2,-1),

把A(-1,2),B(2,-1)代入丁=丘+万得,

-k+b=2

'2k+b=-l

一次函数的解析式为y=-x+1；

【小问2详解】

解：•..直线/y轴，点A的坐标是(-1,2),点8的坐标是(2,-1),

.•.点。的坐标是(2,2),

A£)=2—(-1)=3,

DC=2DA,

：.DC=6,

设点C的坐标为(2,加)，

则Itn—2|=6,

m-2=6或77?—2=-6,

解得机=8或-4,

点C的坐标是(2,8)或(2,-4)

【点睛】此题是一次函数与反比例函数综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合思想的应

用是解答此题的关键.

24.如图，用四根木条钉成矩形框ABCD,把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变

(四边形具有不稳定性).

(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由A3旋转得到，所以EB=AB.我们还可以

得到FC=,EF=；

(2)进一步观察，我们还会发现所〃A。，请证明这一结论；

(3)已知30=30011,。。=80cm,若BE恰好经过原矩形。C边的中点H,求所与6C之间的距离.

【答案】(1)CD,AD；

(2)见解析；(3)跖于BC之间的距离为64c〃葭

【分析】(1)由推动矩形框时，矩形A2C。的各边的长度没有改变，可求解；

(2)通过证明四边形BE/C是平行四边形，可得结论；

(3)由勾股定理可求的长，再证明得到些=受，代入数值求解EG,即可得到答案.

BEEG

【小问1详解】

解：•••把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变(四边形具有不稳定性).

A由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，

：.AB=BE,EF=AD,CF=CD,

故答案为：CD,AD；

【小问2详解】

解：：四边形ABCD是矩形，

：.ADBC,AB=CD,AD=BC,

；AB=BE,EF=AD,CF=CD,

:.BE=CF,EF=BC,

四边形8EFC是平行四边形，

：.EFBC,

：.EFADx

【小问3详解】

解：如图，过点E作EGL8C于点G,

C=AB=BE=80c〃z,点X是CD的中点，

CH=DH=40cm,

在MABHC中，/BCH=90。,

BH=^BC2+CH2=A/402+302=50(cm),

丁EGLBC,

：.ZEGB=NBCH=9。。,

/.CHEG,

：.ABCHSABGE,

.BHCH

"BE-EG)

.50_40

,•丽一耘’

；.EG=64,

•?EF.BC,

•：EF与BC之间的距离为64cm.

【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活

运用这些性质解决问题是解题的关键.

图③图④

(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心。处，另一端系小重物G.测量时，使支杆

OM、量角器90。刻度线QV与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点。转动量角器，使观测目标尸与直径两端点

A3共线(如图②)，此目标尸的仰角NPOC=NGQN.请说明两个角相等的理由.

(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K

处测得顶端尸的仰角NPOQ=60,观测点与树的距离KH为5米，点。到地面的距离OK为1.5米；求树高

PH-结果精确到01米)

(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端尸距离地面高度尸H(如图④)，同学们讨论，决定先在

水平地面上选取观测点石,歹(及产,//在同一直线上)，分别测得点P的仰角a,分，再测得瓦歹间的距离冽，点

a，Q到地面的距离均为L5米；求PH(用名民机表示).

【答案】(1)证明见解析

(zwtan^tan/7,八

(2)10.2m(3)------------------+1.5m

(tana—tan/?)

【分析】(1)根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；

(2)根据锐角三角函数和题意，可以计算出产”的长，注意最后的结果；

(3)根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含。、〃、机的式子表示出PH.

【小问1详解】

证明：：ZCOG=90°,ZAON=90°

ZPOC+ZCON=AGON+ZCON

：.ZPOC=ZGON

【小问2详解】

由题意得：KH=OQ=5m,OK=QH=1.5m,ZOQP=90°,ZPOQ=60°,

在RtAPOQ中

3々。。嗡=等3

•••PQ=5百

PH=PQ+QH=5y/3+1.