2022-2023学年原创全国高中数学真题模拟训练-数列与数学归纳法

2022-2023学年届全国名校真题模拟专题训练03数列与数学归纳

法

三.解答题(二)

51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数

/(x)在(-1,1)上有意义八：)=-1,且任意的X、ye(-1,1)都有

2

/*)+/(>)=/(■户).

\+xy

(1)若数列区｝满区1=<，%求“I”).

(2)求l+,—-)+/(—的值.

511n+3/2+1n+2

解：(1)vl+x^>2|xJ又钎!

1+居2

9Y

1+芯

而向)=，(当)=/(r^)=)+/区)=2/6).

l+x“l+xnx„

./UHJ_2

.fM-

.•・｛/(£)｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，甄*“)=-2〃T

(2)由题设,有〃o)+/(o)=/(织)=/(0),榭(o)=o

1+0

又一(7,1)初⑶+f(-x)=/(--)=/(0)=0,

\-x?

得/(-X)=-/0),故知/⑶在上为奇函数.由

11_____1

[=[=伏+1)/+2)=

/+3%+1一(女+])(&+2)-1--i一"r~

1------------------------1-----------------------------

伏+1)(%+2)伏+1)也+2)

L）

得“2LJ=〃占）+/（-占）=/（T7-”1）

于是（2Lp））（）

MEf&b+3Z+1=/42-/〃<+2=-1-/n-+^2-

故1+足）+/（1）•••+f（2\）+f（」）=0.

511+3〃+1n+2

52、（广东省五校2022-2023学年年高三上期末联考）已知数列应｝的

前n项和s“满足：s〃=V4-i）（a为常数，且"。、"1）.（I）

a-\

求a｝的通项公式；

（n）设"二""I,若数列依｝为等比数列，求a的值;

an

（m）在满足条件（n）的情形下，设容=,数列｛%的前

i+41-%

n项和为Tn.

求证：T>2n--.

n3

解：（I）-1）,「吗=4

a—\

当〃之2时,a=S-S_=-^—a--

nnnxa-\na-I

4，即⑸｝是等比数列.・・・/=。优7=优；.............

4分

（口）由（I）知，2=—+1严：2a若电｝为等比数

aa（a-V）

列，

贝!J有片二印%，而伪=3,4=卫土2也=宜洋土2,

aa

故（些-3犷+华+2,解得〃二...........................7

aa3

分

再将〃二代入得〃=3"成立，

（in）证明：由（n）知q=（9，所以c.=T—+——工+

31./\/i1/\n+l3+1

1:=1―1+1+.----

3"+1------3fl+,-l---------3"+13rt+l-l

所以C.=2_（^Y-；]）＞2_（：一/），

J十1□—1DD

从而7；=q+C?+・・・+q>[2-《-9]+[2-（*9]+…[2-4-白]

=2"[（；-"）+（"一/）+.••+（"一击）]

14分

53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2022-2023学年年高三联考)

数列｛4｝中,4=2,an+[=an+cn(c是常数,〃=1,2,3,…),且卬%，G

成公比不为1的等比数列。

(I)求。的值；

(H)求应｝的通项公式。

(Ill)(理做文不做)由数列｛4｝中的第L3、9、27..........项构成

一个新的数列｛b，，求Hm等的值。

解：⑴4=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为q,出,%成等比数歹I」，

所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.

当c=0时,4=〃2=。3，不符合题意舍去，故c=2........理4分(文

6分)

(II)当〃22时，由于=cI=2c,......

〃“一%=(〃-De/所以—[1+2+…+5—1)]°=Dj

又％=2,c=2,故。“=2+〃(〃-1)=〃2-〃+2(〃=2,3,.-).当门=1时，上式

也成立,所以%=-+2(〃=12...)……理8分(文12分)

(III)bn=32n・2-3n-l+2,lim姐=9........理12分

8bn

54、(安徽省合肥市2022-2023学年年高三年级第一次质检)已知数

列｛%｝中,《=1,4,4+]=(；)",(〃£*)

(1)求证:数列｛%.｝与a4("£")都是等比数列；(2)求数列

｛4｝前2〃的和以；

(3错数歹(]｛q｝前2〃的和为，不等式环心生"<3(1—妨2”)又寸〃

恒成立，求k的最大值。

解：(I)——=(；)”，.•.吐2分

242

数列4/…，％，…是以1为首项，；为公比的等比数列；

数列出吗,…9•，…是以g为首项,；为公比的等比数列。

4分

i-(|rhi-dri

(2)T2n=(a]+«3+---+a2/1_1)+(iz2+«4+---+a2w)=^―+-----；

1一一1——

22

=3-3-(-)w9

分

(3)

11164

64Q•%“<3(1—砥)=64[3-3(-r](-r<3-3Z:(-r=2"+学264+左

2〃+於16当且仅当〃=3时取等号，所以64+E6,即心T8,：，k

的最大值为-48

55、(河北衡水中学2022-2023学年年第四次调考)已知等差

2

数列｛%｝的公差大于0,且内必是方程X-14x+45=0的两根，数列

也〃｝的前n项的和为，，且s“=1-.

(1)求数列)｝，也｝的通项公式;

(2)记C,二%也，求证：cn+I<cn.

解：(I)•.通,as是方程)-144+45=0的两根,且数列｛/｝的公差

d>0,

「0=5,比=9,公差公£1^1=2.

5—3

.,.an=a5+(n-5)d=2n-\........3分

又当n=l时，有bi=Si=l-=|

当〃之的有勿=s〃一s“=1依一一"),：.三=%之2).

2%3

.•数列｛>｝是等比数列，4=|，夕《

...........6分

(n)由(i)知c.”也=亨1,­=竽£.....9分

.2(2〃+1)2(2/1-1)8(l-n)

・・c“+i--------—=3记《。・

•Y+IVc〃..........................12分

56、(河北省正定中学高2022-2023学年届一模)设数列｛的｝的各项都

是正数，且对任意/7EM,都有端+姆+4+...+〃：=5；,记S,

为数列｛的｝的前n项和.

(1)求数列｛力｝的通项公式；

(2)若2=3"+(-1产％.2册(%为非零常数,"WN+)，问是否存

在整数之，使得对任意/7EAA,都有bn+l>bn.

解：(1)在已知式中，当n=l时，

・a>0/.ai=i...............................................................1分

当"22时，端+W+a；+…+端=S；①

ai+〃、+♦；+.•.+%-1=s3(?)

①-②得，C=S：TT=(S“-S〃T)(S〃+S〃T)

••a>0.・.a；=S“+S,i=2Sn-an

・•.ai=l适合上式..............3分.

，

当n>2时a\_x=2Sn-i-an-i(3)

(3)~④得-=2(Sn-Sn-1)-3n+an-l=2an-Sn+Sn-1=3n+Sn

-1

,.,an+an-i>0/.an-an-i=l

.•数列｛an｝是等差数列，首项为1,公差为1,可得an=n................5

分

Mn-ann[

(2)-：an=n:.bn=3+(-1)'2-2-=3+(-1)-2.T

n+,n+,wfl,n

bn+]-bn=[3+(-l)U-2]-[3+(-l)-2-2]

=2-3M-32(-l)n-,-2">0

/.(-I)"-1-2<(-)n",

⑤.............................................7分

当n=2k-1,4=1,2,3，……时，⑤式即为行《产2⑥

依题意，⑥式对k=l,2,3……都成立，，入

<1.........................9分

当n=2k,k=l,2,3,…时，⑤式即为4>-《产|⑦

依题意，⑦式对k=l,2,3，……都成立,

之>-3.......................................................................11分

2

3

・・・一二〈/1<1,又；1工0

2

・•・存在整数人二-1,使得对任意neN,都有

bn+l>bn..........................12分

57、已知数歹的前〃项和为，对一切正整数〃，点勺(〃,s,)都在

函数/3)=/+2］的图像上，且过点K(〃,S“)的切线的斜率为心.

(1)求数列｛“”｝的通项公式.

(2)若仇=2%…求数列的｝的前〃项和r”.

(3)设。=｛#=儿,〃€V｝,宠=｛小=2%,〃£M｝,等差数列｛C“｝的任

一项q,EQCR，其中j是。cR中的最小数，110<c10<115,

求9｝的通项公式.

解：（1）•.•点匕5，S“）都在函数f（x）=x2+2x的图像上，

S“=w2+2n(nwN"),

当nN2时,4=S“-S“T=2"L

当n=1时，〃।=H=3满足上式，所以数列K}的通项公式为

a„=2n+\.....3分

(2)由/(x)=x2+2x求导可得/(x)=2x+2

过点P〃(〃,S”)的切线的斜率为kn,:.kn=2n+2.

kn

/.bn=2a=4•(2〃+I)•4".

.\Tn=4x3x4'+4x5x42+4x7x4?+…+4x(2〃+1)x4"①

由①x4,得

4Tn=4x3x4?+4x5x4、+4x7x44+…+4x(2〃+l)x4"i②

①-②得：

-3Tn=4[3x4+2x(4?+43+...+4")-(2〃+l)x4"[

4?(1一4"T)

=43x4+2x-(2n+l)x4M+,

1-4

.T=^11.4〃+2—3

•n99................................................

7分

(3)Q={x|x=2n+2,neN,，],R={x\x=4n+2,ne,:.Qr>R=R.

又•••qwQcR,其中J是QcH中的最小数，「.q=6.

,/{ca}是公差是4的倍数，「.%=46+6QneN*).

110<4w+6<115

，解得m=27.

又•.TlO<Cio<115t

jnwN"

所以Go=114,

设等差数列的公差为d,则公音=歹=12,

:.cn=6+（w+1）x12=12/1-6,所以｛qj的通项公式为cn=12〃-6.........

12分

58、（河北省正定中学2022-2023学年年高三第五次月考）已知s“是

、，3

数列｛叫的前〃项和，4=了a2=2,且S〃+]-3s〃+2S,r_[+1=。，其

中n>2,neN”.

（1）求数列｛4｝的通项公式为；

S—n

（2）（理科）计算师二的值.（文科）求s”.

解:①•••SM-3S”+2S,i+l=0nS“z-S”=2（S”-Si）-l

=>an+t=2afl-l（n>2）----------2分

又4=5,%=2也满足上式,二.%=2a“-l（〃wN*）n4+1-1=2（々〃-1）

（neNK）

••数列k.-i）是公比为2,首项为4-1=；的等比数列

-------------4分

-1=1x2-=r-2

----------------6分

②S“=4+生+...+q=QT+1）+（2°+1）+（2+1）+...+（2‘T+1）

②S“=4+出+—+%

=（2-1+1）+（20+1）+（2'+1）+...+（2—+1）

=（2-1+2°+2'+...2M-2）+n=^^-+n---------------（9分）

1」

于是lim"=lim嘉工=痴"=2-----------------（12分）

ani2"-'+21.

2T

59、(河南省开封市2022-2023学年届高三年级第一次质量检)

1

函数/⑺对任意xWR都有f(x)+f(l-x)=-

(1)求/(：)和/(3+八巴当伽£N)的值；

2nn

(2)数列伍〃}满足心=f(o)+fd)+/(2)+…+/(上当+/⑴,求数列(〃〃}

nnn

的通项公式。

(3)令a=7一,7；=厅+医+睨+…+■S“=32-”试比较Tn与

4凡-1n

Sn的大小。

解：(1)令x=g的吗)=；

令x=1版山+/(I--)=卜/(-)+/(—)

nnn2nn

(2)=/(0)+/(I)+-..+/(—)+/(I)

nn

又为=/(1)+/(—)+-••+/(-)+/(0),两式相加

nn

1n—\

2a=[/(O)+/(I)]+[/(-)+/(—)]+•--+[/(1)+/(O)]

nnn

_n±\_

~~2~

anN*)

〃n+l故数列1是等差数列

⑶“〃=/7,

4。“-1n

T“=b；+…+b；=16(1+：+]+…+4

2jn

<16[1+---+----+…+-------)

1x22x3n(n-1)

=16[1+(1-1)+(1_1)+...+(_L__1)]

=16（2--）

n

XSn

60、已知数列｛%｝中4=3吗=5,其前n项和为满足

S,f2=2Si2〃T5N3)・

(1)试求数列｛叫的通项公式.

(2)令2=上二,7；是数列色｝的前n项和，证明：7；,<1.

4乜用6

(3)证明:对任意的帆/0,1,均存在%wM,使得(2)中的

k6)

Tn＞加成立.

解：（1）由S.+S.2=2SM+2"T5N3）得S“—SN=S“_「S〃_2+2"T（〃N3）

•・・4=S”-，T，..q=a"T+2"T（〃N3）,即41az=2"|（九N3）

又%-q=5-3=2（〃N2）,「.凡-〃“T=2"T（〃22）

4=（4-4"）+（4T-（-2）+•••+（七-4）+4

=2小+2〃-2+2"3+…+7+3=2"-2""+3=2”+1

1-2

故数列上｝的通项公式为q=2〃+1................(4分)

2〃一|_}_（_i______

（2）•.也=

一（2'+1）（2向+1）一512"+1-2向+J

(3)证明：由(2)可知小出一七

若q>〃，，则得U--一二〕>如化简得上处>—

“2（32n+l+lJ132M+,+l

1,aa

八八w+,

v/nG（O,-）/.1-6/71>0,.-.2>-------l.-.n>log2（-------1）-1

61-6m1-6〃t

当log,（------1）-1<1,即0<〃2<，时，取〃o=l即可..........

l-6/zz15

（10分）

当log2（----1）—1>1,艮口即—W〃?<一时，则

l-6/w156

记log2（—7——1）-1的整数部分为S,取%=s+l即可，

1一6〃？

综上可知，对任意的好（0,3均存在%£但使得时（2）中的

成立（12分）

61、（黑龙江省哈尔滨九中2022-2023学年年第三次模拟考

试）已知/（幻=-、门工数列｛”的前n项和为S”，点得@,-'）在

vr《山

曲线y=F（X）上N"）且％=1,4.>0.

（1）求数列｛。”｝的通项公式；

（2）数列｛a｝的前n项和为且7；满足与=4+16〃2-8〃-3,设定

an%.1

仇的值使得数列色｝是等差数列；

（3）求证：Sn>—A/4?!+1-l,nwN".

二数列｛上｝是等差数列，首项公差d=4

.•二=1+4(〃-1)

..-a2=----1---

〃n4〃-3

•・4>o

1

-an=(ne/V*)..............(4分)

(2)由an=J，珥=16/_8〃—3

得(4〃-3)7；+1=(4/14-1)7；+(4/2-3)(4〃+1)

•，+iT”_]

4/1+14/1-3

T

n7]+/?-1

4〃一3

「・7；=(4〃-3)(7；+〃-1)

若也｝为等差数列，则刀-1=0,1=1即d=1

「也=8〃-7nwN*

⑶/"

2二2

2,4〃一344rl-3+J4〃+1

_J4〃+1-J4〃-3

2

••Sn=al+a2H-----Fan>—(V5—1)+(V9—V5)

+…+(J4〃+1—j4〃-3'i=—J4〃-1-1

2

>—V4n+1=1neN*............12分

2

62、(黑龙江省哈尔滨三中2022-2023学年年高三上期末)已知二次

函数=♦+法的图象过点(-4n,0)且((o)-2〃,N*)

(1)求/⑶的解析式；

(2)若数歹满足」一=/'('■),且q=4,求数列｛勺｝的通项公式；

%4

(3)对于(2)中的数列&｝，求证5几不<2.

*=1

答案：(1)f(x)=~^+2nx,(x£N*)

(2)。〃=—

(”乎

(3)略

63、(本题满分12分)(黑龙江省哈尔滨三中2022-2023学年年高

三上期末)已知a=(cosgx),l卜=(/(x),2singx))a〃Z?,数列

⑸｝满足q=g,%=/(4)5£N*)

(1)证明：

(2)证明：%+「?%>—；

(3)设r,是数列⑷｝的前n项和，判断。与〃-3的大小，并说明理

由。

答案：(1)略

(2)略

(3)Tc>n-3

64、(黑龙江省哈师大附中2022-2023学年届高三上期末)已知

数列同｝的前n项和为Sn,并且满足ai=2rnan+i=Sn+n(n+1).

(1)求数歹」｛〃〃｝的通项公式凡；

(2)设7；为数列｛墨｝的前〃项和，求却

解：(1)nan^-(??-\)an=an+2n,an^-an=2(n>2)

ax=2,a2=.?1+2,a2—aK=2,所以｛〃“｝等差〃〃=2〃

/xa2nn23n

(2o)—n=—=^zr，7；,=1+-+—+--+—

112n-\n

/二5+乒+…+kF

/=2—(〃+2心7；=4-翳

乙乙J

65、(黑龙江省哈师大附中2022-2023学年届高三上期末)已知二

31

次函数f(x)=ax2+bx+c的图象顶点坐标是g，-N,且f(3)=2

(1)求丫=f(x)的表达式,并求出f⑴,f⑵的值；

(2)数歹U&｝,也),若对任意的实数

x都满足g(x)•/(%)=+b〃+,其中g(x)是定义在实

数集R上的一个函数，求数列｛为｝,｛"｝的通项公式；

22

(3)设圆C“:(x-an)+(y-bn)=若圆c〃与圆卜切，亿｝是各项都

是正数的等比数列，设S”是前〃个圆的面积之和，求lim%.

4->00尸

解：(1)f(x)=a(x-^)2

3i

因9(3)=2,所以。(3-耳)2-7=2n〃=1

/(X)=(X-^)2-4=X2-3A+2A/(l)=0,/(2)=0

24

M+,

(2)令x=1n〃“+b〃-1=0,x=2=>2an+bn+2=0,

b=2

(3)(a向-%尸+一用-a)2=(2*2-2向尸+(2””一2同尸=22*3

2n+32n+5

G+1+/=22,4+2+5+1=22g=2,.*.Sn=7TT；

・二S“=1亿2+4+…+乙2)=町2[]+/+/+…+/(〃T)]

]+/+…+产14

lim=lim江•=71----=一乃

66、(黑龙江省哈师大附中2022-2023学年届高三上期末)已知数列

｛an｝满足31=5,32=5,an+i=加+6an-i(n之2且nWN)

(1)求出所有使数列他向+而/成等比数列的4值，并说明理由；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)求证：—+—+eA^*).

2

解：(1)〃“+]+Aafl=(1+2)[^ZJ+-^—an_l],—^—=A^>2+2-6=0,=>2=3B£2

1+A1+4

(2)a„=3f,-(-2)fl

(3)当〃=24时，

证明_L+J_=-----!-----3314

+32-2”a\ik

-a.321+221322+工22K3-2

2

4-32A---22A

24

o31

3打_%以+，2?匕”3

22

=2?“'一62?”)>0(732A7”791、

>----->1)

2622a12124

1444491

当〃=2A时,1+H--<--1---1--1--<---=—

a9819«982

%。2n

当〃=2火+1时,」-+」_1111

+…+-<-+…+--<—

a\a2an“I2

67、（湖北省八校高2022-2023学年第二次联考）已矢啜冽｛叫，低｝

满足4=2»〃=1+的”+1也=4-1,也｝白编1〃项和为工工=§2”-S”.

（I）求数列也｝的通项公式；

（n）求证：&】＞7；；

（印）求证：当心2时，s户筌.

解（1）由仇=%-1得%=4+1代入2q=l+%%得2（4+1）=1+（々+1）（%+1）,

整理，得2%+加=0,从而有p!--1=1,=%-1=2-1=1,

如"

.•・［；］是首项为1,公差为1的等差数列，.』=〃，即

b=-

nn

(2)•s〃=i+i3,1

=----------1------------1-•••+—

n+\〃+2In

n+,〃+2〃+32n2n+l2〃+2

1

"1=-------+--------------->--------+-=---0----,--(-•-.-•-2-〃-+lv2〃+2)

2n+\2n+2n+\2n+22n+2〃+l

(8

分）

22-S.,+5^,+S1

(3):〃i：.Sr=Sr2U-S2„.2+--+S2-Sl=T2nt+T2H2+---+T2+Tl+S1.

由(2)知&2…"，...7；=如=1,7>5，

7,I

S?.=J+小+…+4+7；+s2(〃_1)7；+7；+£=-(n-l)+-+l

7〃+ll

12

...........(14分)

68、(湖北省三校联合体高2022-2023学年届2月测试)已知数列｛叫

的首项4=1，22=3,前〃项和为S”，且S.+KS八S“7分别是直线/上的

点A、B、C的横坐标，点B分无所成的比为％i1，设々=1

%

。+1=1。82（。〃+1）+4。

⑴判断数列｛/+】｝是否为等比数列，并证明你的结论；

■“-I

A〃+1〃

⑵设C”=——，证明：fG<1。

4*y

⑴由题意得建二架a―3分

a

,*n+\+1=2(4+1)

・.・数列｛见+1｝是以q+l=2为首项，以2为公比的等比数

列。.........6分

n

[贝」勺1+1=2”「・an=2-l()]

⑵由勺=2”-1及%=log2(an+1)+"得%="+〃

/.............................................8

”2

分

如「I

则c=4-=-----T----二」------!_............10分

“(2〃-1)(2向一1)2n-l2n+,-1

高<112分

69、（湖北省鄂州市2022-2023学年年高考模拟）已知函数尸1一—二

x+2

的图象按向量用=（2,1）平移后便得到函数个）的图象，数列｛叫满

足勺*(%)(n>2,nlN*).

（I）若4《，数列他｝满足“一，求证：数列⑥是等差数列;

5an-\

（n）若q=|,数列0｝中是否存在最大项与最小项，若存在，

求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；

(ni)若1<4<2,试证明：\<an+l<an<2.

解：/(x)=l--^-+1=2-1则…?（皿前*）.

x-2+2x

一一俞*）••・数列电｝是等差数列.

（n）由（I）知，数列（包｝是等差数列，首项4=七=一"公差

ai-12

为1,则其通项公式+=，

由勿=」7得。“=1+!=1+」7，故q=1+不二・

七一1"〃」2〃一7

2

构造函数y=l+/则y=-＜。.函数丫=1+在区间

「2x-7（J2x-7）22x-7

（一8三）,上为减函数.

22

.・.当时，尸1+三＜1,且在（-旧）上递减，故当〃=3时，2取最

22x-72

小值&=-1；当工二时，,且在《日)上递减，故当〃=4

2lx-12

时/“取最大值"=3.故存在.

(m)先用数学归纳法证明1<q,<2,再证明％<4.

①当时，1<q<2成立，

②假设"二Z时命题成立,即1</<2,

则当n=k+1时,^<—<i,%+产2,贝！h<%]<2,故当n

2《ak2

=Xr+l时也成立.

综合①②有,命题对任意/?iN*时成立，即i</<2.下证-<凡.

・'f=2」_q=2_(4+-!-)<2_21，=0,•综上所述：

为4V%

【总结点评】本题集数列、向量、函数、导数、不等式于一体，

充分展示了《考试大纲》〃构造有一定深度和广度的数学问题，

要注重问题的多样化，体现思维的发散性〃的题目，这需要我们

加强这一方面的训练，需要从多层次、多角度去思考问题.

70、(湖北省黄冈市麻城博达学校2022-2023学年届三月综合测试)

把正奇数数列｛2〃-1｝中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三

角形数表：

1

35

7911

设因是位于这个三角形数表中从上往下数第，行，从左往右数第J

个数。

(I)若4皿=2007,求的值；

(n)已知函数/(/)的反函数尸(x)=8”V(x>0)为,若记三角形数表

中从上往下数第〃行各数的和为2,求数列{“〃)}的前〃项和S.。

解：(I),.三角形数表中前团行共有1+2+3+...+吁皿罗个数，

•・•第加行最后一个数应当是所给奇数列中第皿产项，即

2・^^一1=疗+机

2

因此，使得〃=2007的/〃是不等式加+6-1N2007的最小正整数解。

由m2+m—}>2007得m2+m—2008>0,

小二"标四>一"匹=44。,…。

22

第45行第一个数是4+44-1+2=1981

,...W=2007-1981+1=14

2

(n)•••广(幻=8N3。>0),.・.〃刈=6}V^(x>0)o

••・第〃行最后一个数是〃2十〃—1,且有〃个数，若〃2十〃_］将看成第〃行

第一个数，则第〃行各数成公差为-2的等差数列，故

2=〃W+〃―1)+(一2严30=〃3。.*./(/?„)=麻=〃(夕。

故S«4+2^J+3^J+,,,,{H。用错位相减法可求得

/］、〃

Sn=2-(n+2)-。

71、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知各项均为正

数的数列｛满足-q+必”-2a：=0(〃£N")且&+2是％、4的等差中项

(1)求数列以｝的通项公式明；

(2)若“=々〃log1/,、=〃+%+……+b,求使“+〃・2"X>50成立的正

2n

整数〃的最小值。

解：(1)・・F3•4-2〃；=0,.•.(%+4)(%-2%)=0,

•••数列｛叫的各项均为正数，.•.(一+凡)>0,.•4+「2%)=0,

即—=2q(〃EN*)数列｛风)是以2为公比的等比数列。

v«3+2是。2吗的等差中项，••・%+。4=2%+4

/.2%+8。]=8q+4,/.%=2,

..数列｛%｝的通项公式为4=2〃

(2)由(1)及勿=%Mog[a,得a=-〃・2",(6分)

2n

•・•sn=b,+b2+……力=_2_2.22_3.23_4.24----〃.2〃①

234

2JW=-2-2»2-3»2----向②

②-①得,=2+2?+23+24+…=(1一〃)・2向一2

要使%+〃・2向>50成立，只需2向-2>50成立，gP2n+I>52,n>5

.』+九位向>50成立的正整数n的最小值为5。(12分)

72、(湖北省荆门市2022-2023学年届上期末)已知。〉0,且-1,

数列｛q｝的前〃项和为s.，它满足条件=l=i—L数列｛么｝中，

s“a

用=21g，。

(1)求数歹U依｝的前〃项和7.；

(2)若对一切〃£乂都有包<%,求〃的取值范围。

解：(1)=

5”aa-1

当〃=1时，al=Sl=^-^-=a......2分

a-\

出”>>?口升〃ss一a(an1-1),,

刍〃22时，a〃=S「S“T----------:-----------------:-=〃，

a-ia-\

n

an-a(neN")...............4分

此时勿=a"lga"=an-\^an-n-an\ga,

23n

TR="+b?+.......bn=(a+2a+3a+........+na)-\ga.....6分

2

设un=a+2a+3/+........+,

n1

/.(1-a)un=a+a?+/+.......+a_加产1=—-------na^

a-\

也向a(优-1),产田。”一1)一

。一诉’1口力一百四骸8分

nn+{

(2)由"<bn+l<=>na1ga<(n+\)aIga可得

1°当a>l时，由lga>0可得〃,v—<l(neA/*),«>l,

n+\〃+l

••.a>，-对一切〃eM都成立，.二此时的解为a>\.......10分

〃+1

2°当0<〃<1时，由IgavO可得n>(n+l)a,a<—,

〃+1

，—>—(nG?V*),O<a<l,0<a</—对一切都成立,

n+12n+\

・•・此时的解为

0<a<—.