高二数学必修五数列

第3讲等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；若等比数列{an}的第m项为am，公比是q,则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比数列及前n项和的性质(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．考点一等比数列的判定与证明【例1】(2015·济宁测试)设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求an.规律方法证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】(2013·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．考点二等比数列基本量的求解【例2】(2013·湖北卷)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,am)≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．规律方法等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【训练2】(1)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为________．(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.考点三等比数列性质的应用【例3】(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()．A．7B．5C．－5 D．－7(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，则公比q＝________.规律方法熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．【训练3】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ()．A．－3 B．±3C．－3eq\r(3) D．±3eq\r(3)(2)(2014·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，则aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝()．A．4B．6C．8 D．8－4eq\r(2)1．等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：eq\f(an＋1,an)＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)等比中项法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．基础巩固题组一、选择题1．(2013·六安二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则 ()．A．{an}是递增的等比数列B．{an}是递增数列，但不是等比数列C．{an}是递减的等比数列D．{an}不是等比数列，也不单调2．(2016·广州模拟)已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn.若S3＝eq\f(7,2)，则S6等于 ()．A.eq\f(31,2)B.eq\f(63,2)C．63 D.eq\f(127,2)3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝ ()．A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)4．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为 ()．A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或eq\f(1,2)5．(2014·浙江十校联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n值为 ()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2 D．4二、填空题6．(2016·江西九校联考)实数项等比数列{an}的前n项的和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，则公比q等于________．7．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.8．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．三、解答题9．在数列{an}中，已知a1＝－1，且an＋1＝2an＋3n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{an＋1－an＋3}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.10．(2013·济南期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，a3＋a4＝17.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋2，证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.第4讲数列求和1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(5)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.3．常见的拆项公式(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).辨析感悟数列求和的常用方法(1)当n≥2时，eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n＋1).(×)(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(√)(4)(2014·南京调研改编)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(√)[感悟·提升]两个防范一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)．二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a需要分a＝0，a＝1，a≠1且a≠0三种情况求和，只有当a≠1且a≠0时可用错位相减法求和.考点一分组转化法求和【例1】已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.规律方法(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．【训练1】(2014·湖州质检)在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.

考点二裂项相消法求和【例2】(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜eq\f(5,64).规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【训练2】(2013·滨州一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋eq\f(1,2)an＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝logeq\f(1,3)(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)，求Tn.考点三错位相减法求和【例3】(2013·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋eq\f(an＋1,2n)＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n，(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.所规律方法(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．【训练3】(2013·嘉兴二模)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2.(1)记bn＝an＋1，求证：数列{bn}为等比数列；(2)求数列{nan}的前n项和Sn.数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．基础巩固题组一、选择题1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项的和为 ()．A．120 B．70C．75 D．1002．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为 ()．A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－23．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()．A．9 B．8C．17 D．16