数学归纳法(1)课件高二上学期数学选择性

第4章数列4.4数学归纳法*4.4.1数学归纳法(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2.掌握数学归纳法的步骤．3.通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．活动方案情境1：有一种多米诺骨牌游戏，在一个平面上摆一排骨牌(每块骨牌都竖起)，假定这排骨牌有无数块，我们要使所有的骨牌都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块骨牌倒下；第二，保证前一块骨牌倒下后一定能击倒下一块骨牌．活动一了解数学归纳法的背景思考1►►►这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【解析】①第一张骨牌倒下；②任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下．要证明这个猜想，同学们自然就会想到从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．故需要寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．思考2►►►【解析】相似．①易知，当n＝1时，猜想成立；即n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②知，猜想成立．一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法原理：(1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．活动二了解数学归纳法的原理用框图表示为：思考3►►►用数学归纳法证明时的注意点有哪些？【解析】要分两个步骤，两者缺一不可．(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．(2)证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础，而只有第一步却没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n＝k＋1，n＝k＋2，…，是否正确．在第二步中，n＝k时命题成立，可以作为条件加以运用，而

n＝k＋1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一、二步后，最后对命题做一个总的结论．例1用数学归纳法证明：若等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为an＝a1＋(n－1)d.活动三掌握数学归纳法的简单应用——证明一些简单的数学命题【解析】①当n＝1时，a1＝a1＋0×d＝a1，结论成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即

ak＝a1＋(k－1)d，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋d＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d，所以当n＝k＋1时，结论也成立．综上，an＝a1＋(n－1)d，对任意n∈N*都成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，则当n＝k＋1时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2所以当n＝k＋1时，等式成立．综上，对任意n∈N*，等式都成立．

用数学归纳法证明：当n∈N*时，(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn－1)＝1－xn.【解析】①当n＝1时，左边＝1－x，右边＝1－x＝左边，等式成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk－1)＝1－xk，则当n＝k＋1时，(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk)＝(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk－1)＋(1－x)xk＝1－xk＋(1－x)xk＝1－xk＋1，故当n＝k＋1时，等式成立，由①②可知，原等式对于任意n∈N*都成立．思考4►►►用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项有哪些？【解析】①明确初始值

n0并验证真假．(必不可少)；②“假设当n＝k

时命题成立”并写出命题形式；③分析当n＝k＋1时命题是什么，并找出与当n＝k时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．活动四用数学归纳法证明不等式即当n＝k＋1时，不等式成立．综合①②可知，原不等式对所有的n∈N*都成立．用数学归纳法证明不等式的四个关键：(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1；(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不运用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设；(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明；(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．那么当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，该不等式也成立．检测反馈24513【答案】C24513A.f(k＋1)＝f(k)＋3k－5 B.f(k＋1)＝f(k)＋3k－2C.f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1 D.f(k＋1)＝f(k)＋3k＋4【解析】由题意，得当n＝k时，f(k)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2)，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]，则f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1.【答案】C2453A.若a1＝1，则数列{an}是等比数列

1C.若a1＝2，则数列{an}中存在最大项与最小项

D.若1<a1<2，则1<an＋1<an<2245312453124531【答案】ABD2453【答案】2k124531【解析】设f(n)＝