高中数学与数学竞赛校本教材

高二年级

数学

宣

囿谆竞赛

序言

数学竞赛是发现人才的有效手段之一。现代意义上的数学竞

赛是从匈牙利开始的。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们

后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞

赛活动。十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越

来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥

林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中

华民族的聪明才智和数学才能。了解国际赛史，熟悉国内赛况，

认识数赛意义是必要的，也是有益的。

在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛

活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中

取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，

热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段，为了使我校数

学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大师生的要求，

特编制此书以适应我校的需要。

高中数学与数学竞赛

目录

第一讲二次函数与命题............1

第二讲数列....................6

第三讲复数......................13

第四讲三角函数..................19

第五讲不等式...................27

第六讲立体几何.................34

第七讲整数问题.................42

第八讲平面向量.................47

第九讲集合与简易逻辑...........54

第十讲组合......................62

第十一讲极限与导数【二课时】.....66

主编：

本册主编:

编写人员:

第一讲二次函数与命题

一、基础知识

1.二次函数：当。彳0时，ymsd+hx+c或称为关于x的二次函

hh

数，其对称轴为直线户---，另外配方可得兀r）=a（x-xo）2+*xo）,其中xo=-------,

2a2a

下同。

2.二次函数的性质：当a〉0时，/U）的图象开口向上，在区间（-8,沏］上随

自变量x增大函数值减小（简称递减），在［次,-8）上随自变量增大函数值增

大（简称递增）。当。<0时，情况相反。

3.当a>0时，方程式x）=0即加+法+。=0…①和不等式Gt2+^x+c〉。…②及

af+bx+cvO…③与函数*x）的关系如下（记△=Z?2-4ac）。

1）当△〉（）时，方程①有两个不等实根，设为.（尤142），不等式②和不等式③

的解集分别是｛xk<xi或X>X2｝和｛x|xi<X0；2｝,二次函数图象与X轴有两个

不同的交点，“X）还可写成«x）=a（x-xi）（X-X2）.

2）当△=（）时，方程①有两个相等的实根汨=X2=X0=-2,不等式②和不等式③

2a

的解集分别是｛x|x#-2｝和空集0,7U）的图象与x轴有唯一公共点。

2a

3）当△<（）时，方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R和。«x）

图象与x轴无公共点。

当。<0时，请读者自己分析。

4.二次函数的最值：若。>0,当x=xo时，犬犬）取最小值/（xo）=网一/，若。<0,

4a

则当x=x（）=-"2•时，犬x）取最大值凡r（））=4"。°.对于给定区间［m,网上的二次

2a4a

函数/（x）=a『+〃x+c（a>0）,当乂亡［m,川时，於）在［m,〃］上的最小值为危（））；当

xo<m时。段）在［m,〃］上的最小值为/（m）；当xo>n时，於）在［m,〃］上的最小值

为人〃）（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命

题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题

与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1“p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假，否则为真命题；“p

且/'复合命题只有当P，4同时为真命题时为真，否则为假命题；〃与“非p”

即恰好一真一假。

定义2原命题：若〃则夕（p为条件，q为结论）；逆命题：若夕则p；否命

题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。

注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3如果命题“若p则为真，则记为pnq否则记作pwq.在命题“若

1

〃则q”中，如果已知则〃是q的充分条件；如果q=>p,则称〃是夕

的必要条件；如果pnq但q不np,则称p是q的充分非必要条件；如果p

不ng但贝Jp称为夕的必要非充分荼件；若pnq且</np，则〃是g

的充要条件。

二、方法与例题

1.待定系数法。

例1设方程f-x+l=O的两根是a,8,求满足/(&)=8<8)=&<1)=1的二

次函数凡r).

【解】设j{x)=ar+bx+c{a+0),

则由已知人a)=8<B)=a相减并整理得(a-B)[(a+B)a+Hl]=0,

因为方程/-x+1=0中△/(),

所以a#B,所以(a+B)a+/j+l=0.

又a+B=1,所以a+b+}=Q.

又因为/U)=a+8+c=1,

所以c-1=1,所以c=2.

又b=-(a+1),所以於:)=加-5+l)x+2.

再由a)=B得。a2-(a+l)a+2=B,

所以aa2-qa+2=a+B=1,所以aa2_〃a+1=0.

即a(a2-a+l)+l-a=0,即l-a=0)

所以a=l,

所以fix)-^-2x+2.

2.方程的思想。

例2已知/0尸以2-。满足-4W/U)W-1,-1W_A2)W5,求人3)的取值范围。

【解】因为-4W>U)=a-cW-l,

所以lW/(l)=c-aW4.

Q5

又-1W/⑵=4a-cW5,犬3)=加)-沙)，

Q525

所以qX(-1)+—W/(3)W—x5+—x4,

所以-1W*3)W20.

3.利用二次函数的性质。

例3已知二次函数式彳)=加+法+以&力,cWR,a#0),若方程/(x)=x无实根，求

证：方程欢x))=x也无实根。

【证明】若a〉0,因为人龙)=%无实根，所以二次函数g(x)书x)-x图象与光轴无

公共点且开口向上，所以对任意的xWR<x)-x>0即.*x)>x,从而胆x))次x)o

所以用"))"，所以方程胆x))=x无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

4.利用二次函数表达式解题。

2

例4设二次函数加:+c(4>0),方程“T)二X的两根尢1,X2满足0<Xl<X2<—,

a

(I)当x£(0,为)时,求证：x<f(x)<x\；

(II)设函数«r)的图象关于x=xo对称，求证：x0<^-.

【证明】因为即,X2是方程.危)-尸0的两根，所以,凡¥)・广〃0汨)0X2)，

即fix)=a(x-x\)(x-X2)+x.

(I)当x£(0,汨)口寸，x-xi<0,x-%2<0,a>0,所以於)>x.

其次火光)・X1=(X-X1)[〃(X-X2)+1]=a(X-X\)[x-X2^--]<0,所以/(x)<xi.

a

综上，x勺(X)<X1.

(II)J(x)=a(x-x\)(<x-X2)+x=ax2+[1-a(x\+x2)]x+axix2,

所以覆产〃区+%2)T=*1+*2_J_,

2a22。’

所以工

°222a212al

所以与吟.

5.构造二次函数解题。

例5已知关于x的方程(ox+l)2=/(a-f),a>l,求证：方程的正根比1小，负

根比-1大。

【证明】方程化为2a2f+2以+l-a2=0.

构造fix)=2a2x1+2cix+l-a2,

x1)=3+1)2>0,於1)=31)2>0,10)=1-a2<0,即△>0,

所以7U)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

6.定义在区间上的二次函数的最值。

例6当x取何值时，函数产土二匚二取最小值？求出这个最小值。

(—+1)2

【解】------------1-----------------令-----=u,则0<u^lo

X2+1(X2+1)2'X2+1

21Y19、19

V-5u-u+1—5u---H------N—,

”(10J2020

i1。

且当〃=一即九=±3时，y=一.

1020m(n

2

例7设变量x满足％+勿W-x(b<-l),并且f+bx的最小值是-,求人的值。

2

【解】由/+bxW-xS<-l),得0W九W-S+1).

3

Ah2h21

i)--W-(〃+l),即Z?W-2时，的最小值为---,---=——，所以〃2二2,

2442

所以〃=±五(舍去)。

即力>-2时，/+及在［0,-3+1)］上是减函数，

2

1Q

所以f+Zzx的最小值为〃+1力+1=--.

22

综上，b=--.

2

7.一元二次不等式问题的解法。

例8已知不等式组［/—x+a-/<°①②的整数解恰好有两个，求。的

x+2。>1

取值范围。

【解】因为方程f-x+a-/：。的两根为无|=“,X2=l-a,

若aW0,则xi<*2.①的解集为a<x<\-a,由②得x>\-2a.

因为l-2a21-a,所以aWO,所以不等式组无解。

若a>0,i)当0<a<L时，xi<X2,①的解集为a4<l-a

2

因为0<a<x<l-a<l,所以不等式组无整数解。

ii)当时，a=\-a,①无解。

2

iii)当a>L时，a>l-a,由②得x>l-2a,

2

所以不等式组的解集为

又不等式组的整数解恰有2个，

所以且a-(l-a)W3,

所以l<aW2,并且当l<aW2时，不等式组恰有两个整数解0,1。

综上，a的取值范围是l<aW2.

8.充分性与必要性。

例9设定数A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)20①

对一切实数x,y,z都成立，问A,B,C应满足怎样的条件？(要求写出充分必

要条件，而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)

【解】充要条件为A,B,OOKA2+B2+C2^2(AB+BC+CA).

先证必要性，①可改写为Aa-y)2-(3-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)220②

若A=0,则由②对一切x,y,zGR成立，则只有B=C,再由①知B=C=O,若Aw0,

则因为②恒成立，所以A>0,△NRA-Cyu-zRMCG-zAWO恒成立，所以

(B-A-C)2-4ACW0,即A2+B2+C2^2(AB+BC+CA)

同理有820,C20,所以必要性成立。

4

再证充分性，若A20,820,C20且A2+B2+C2W2(A8+8C+CA),

1)若A=0,则由B2+GW2BC得(B-bwo,所以B=C,所以△=(),所以②成

立，①成立。

2)若A>0,则由③知△W0,所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

9.常用结论。

定理1若a,bGR,|aH〃W|a+b|W|a|+|b|.

【证明】因为-|a|WaW|a|,-|b|W匕W|b|,所以-(|a|+|6|)Wa+bW|a|+|b|,

所以|a+b|W|a|+|b|(注：若m〉0,则-mWxWm等价于(x|Wm).

又同=|a+b-b|W|a+b|+卜臼,

即|“HMW|a+例.综上定理1得证。

定理2若a,/?eR,则标+/》?。。；若x,ydR+,则％+)22^^.

(证略)

注定理2可以推广到〃个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

三、基础训练题

1.下列四个命题中属于真命题的是，①“若x+产。，则x、y互为相

反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若gWl,

则f+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆

否命题。

2.由上列各组命题构成“p或q”，“p且“非p”形式的复合命题中，p

或q为真，。且q为假，非p为真的是.①p；3是偶数，q：4是奇

数；②p:3+2=6,q:③p:aW(a力),q:{a}(Z伍力};④p:2(xR,q\N=Z.

3.当|x-2|<a时，不等式*-4|<l成立，则正数a的取值范围是.

4.不等式加+(。/?+1)%+比>0的解是l<x<2,贝Ua,b的值是.

5.“1且xw2是x-1工V7=T的条件，而-2<m<0且0<n<l是关于

x的方程x2+nu:+〃=0有两个小于1的正根的条件.

6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是.

7.若S={x|mf+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_______.

8.R为全集，A={x|3-x24},+>lj,则(CRA)CW=.

9.设a,b是整数,集合4={(x,y)|(x-a)2+3bW6y},点(2,1)94,但点(1,

0)史A,(3,2)则。力的值是.

10.设集合A={X||X|<4},B={X*_4X+3>0},则集合{小WA且

x^AQB}=.

11.求使不等式加+4/12-2*2一。对任意实数尸恒成立的。的取值范围。

12.对任意xG[0,l],有1,①②成立，求人的取值范围。

x2-kx-k+3>0

5

第二讲数列

一、基础知识

定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1,2,3,…，〃，数列分有穷

数列和无穷数列两种，数列｛斯｝的一般形式通常记作m,。2,“3,…，小或。，。2,

的,…，如…。其中0叫做数列的首项，如是关于〃的具体表达式，称为数列

的通项。

定理1若S”表示｛斯｝的前〃项和，则Si=ai,当〃>1时，a„=Sn-Sn-i.

定义2等差数列，如果对任意的正整数〃，都有。m-斯=（1（常数），则｛斯｝

称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,九c成等差数列，EP2b=a+c,则称｝

为a和c的等差中项，若公差为d,则a=A-d,c=A+d.

定理2等差数列的性质：1）通项公式a.=a+（〃-l）d；2）前〃项和公式：

7a+a

S„=-^'—=na]+——J；3）an-am-（n-m）d,其中〃,m为正整数；4）

22

若〃+m=p+q,则0"+%=。?+。,/；5）对任意正整数p,q,恒有劭-他=（/?-4）（。2-。1）；

6）若A,8至少有一个不为零，则｛a“｝是等差数列的充要条件是S〃=A〃2+B〃.

定义3等比数列，若对任意的正整数〃，都有也=q,则｛圆｝称为等比数

列，q叫做公比。

定理3等比数列的性质：1）2）前〃项和S”，当行1时，

Sn=^-■――；当g=l时,Sn=na\i3）如果a,8c成等比数列,即lr=ac（b^0）,

i-q

则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n-p+q,则aman-apaqo

定义4极限，给定数列｛如｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的

〃>M（〃WN）,都有|a"|<£，则称A为7L+8时数列｛斯｝的极限，记作liman=A.

定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛斯｝的公比q满足⑷<1,则称之为无

穷递增等比数列，其前〃项和S”的极限（即其所有项的和）为上」（由极限

i—q

的定义可得）。

定理3第一数学归纳法：给定命题p（〃），若：（1）〃（〃（））成立；（2）当p（〃）

时〃=4成立时能推出p（〃）对“=攵+1成立，则由（1）,（2）可得命题p（〃）对一

切自然数如成立。

竞赛常用定理

定理4第二数学归纳法：给定命题p（〃），若：（1）p（加）成立；（2）当p（〃）

对一切〃W女的自然数”都成立时（女2处）可推出p伙+1）成立，则由（1）,（2）

可得命题.（〃）对一切自然数〃2〃o成立。

6

定理5对于齐次二阶线性递归数列X"=OX"」+云*2,设它的特征方程

n

的两个根为a,B:⑴若aH,则xn=c\a''+C2B"」，其中ci,C2由初始条件无i,

XI的值确定；（2）若a=B,则Xn=（cm+C2）a,其中C\,Cl的值由Xl,X2的值

确定。

二、方法与例题

1.不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正

确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊f猜想

f数学归纳法证明。

例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0,3,8,15,24,35,…；

2）1,5,19,65,-；3）-1,0,3,8,15,…。

nn

【解】1）an=n2-l;2）an=3-2；3）a,,=n^-2n.

例2已知数列｛小｝满足ai=；,ai+a2+…+m=〃2斯,求通项a”.

【解】因为ai=L，又ai+z=22•a2,

2

11

所以。2=市,猜想％(〃21).

3^2n(n+1)

证明；1）当皿时，叩击猜想正确。2）假设当』时猜想成立。

当〃=攵+1时，由归纳假设及题设，ai+ai+…+0=［（左+1）2-1］为+i,,

11

所以++--•+-~~-~~-=%伏+2)诙+1,

2713^2后x(4+1)

BP1--+--—+•••+------=k(k+2)ak+\,

223kk+l

k1

所以=k(k+2)ak+1,所以以+1=

7+T(A+1)(左+2)

由数学归纳法可得猜想成立，所以凡=——

n｛n+1）

例3设0<a<l,数列｛an｝满足q=1+4,a”-i=a+',求证:对任意〃WN+,有

an>\.

【证明】证明更强的结论：1<小〈1+。

1）当〃=1时，l<ai=l+a,①式成立；

2）假设片攵时，①式成立，即l<a”Wl+a,则当片好1时，有

11l+a+a~1+a

1+a>%+i=1-a之----\-ci---------->-----1.

ak1+a1+。1+a

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

7

2.迭代法。

数列的通项为或前〃项和S”中的n通常是对任意〃右N成立，因此可将

其中的〃换成〃+1或"-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4数歹（］］&｝满足为+。斯-1+效"-2=0,心3,qwO,求证：存在常数c,使得

n

+P%•an+qa；+cq=0.

【证明】+pan+l•an+i+qa^+l=an+2（pan+i+an+2）+qa^+l=an+2•（邵力二始=

q（a；+「a“a”+2）=仇+%。4"+|+期"）］=虱。,"+pan+ia„+«；）.

若a；++4。；=°，则对任意〃，a^l+i+pan+lan+qa^=0,取c=0即可.

若a；+「％勾+的；r0,则｛+”“+1%+网；｝是首项为+；+.a2al+qa；,

公式为q的等比数列。

n

所以a；+i+pan+lan+qa；=（a；+pa2al+qa；）•q.

取c=一（a；+p%a2+qa；）,上即可.

q

综上，结论成立。______

例5已知ai=0,aa+i=5斯+J24a；+1,求证：斯都是整数，〃GN+.

【证明】因为41=0,42=1,所以由题设知当〃21时跖什1>。".

又由斯+i=5a“+J24a；+1移项、平方得

*-10aM用+a；T=（）.①

当〃22时，把①式中的“换成”-1得a；-10a/,i+a3T=°，即

始-10%%+%-1=0.②

因为an.\<an+\,所以①式和②式说明a„-i,m+i是方程f-10%x+a〉l=0的两个

不等根。由韦达定理得tfn+l+m-1=10斯（〃22）.

再由0=0,42=1及③式可知，当〃6N+时，斯都是整数。

3.数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例6已知小不*（〃=1'2,…）,求$99=。1+。2+…+。99.

【解】因为

112x2"1°+4"+产"1

-------+-----------------------------------=----

4〃+z1004,00-n+21004100x2+2100(4w+4100~w)2100

附”、19999

所以S99-+«ioo-«)=2X2^=2^

例7求和：S=---------------1-----------------1------F--------------------

n1x2x32x3x4〃(/?+1)(〃+2)

8

1_k+2-k

【解】一般地,

k(k+1)(%+2)-2k(k+1)(%+2)

1O____________]

51%(左+1)伏+1)也+2)

H1

所以sn=t----------

念左伏+1)伏+2)

1「111111

-....-----------------------------1-----------------------------F•••H---------------------------------------------------

21x22x32x33x4n(n+1)(几+1)(〃+2)

1

-

2-

25+1)(〃+2)

」_______]

42(〃+1)(〃+2)

例8已知数列｛斯｝满足ai=a2=l,a2=a+\+a,S„为数列,—>的前n项和,

ll+ltn2"

求证：S/(<2o

【证明】由递推公式可知，数列｛斯｝前几项为1,1,2,3,5,8,13。

o112358a公

因m为Sc"=2+FWW+"，+Fn,①

所以gs,,=*+最+录+/+…+券。②

由①-②得为“=工+41+4+…+三】一4，

222?(2222"~2)2,,+1

所以_LS“=_L+_LS“2_4。

2242n+1

又因为S,；-2<S„且券>0,

所以gs“<；+；s”，所以;S“

所以S“<2,得证。

4.特征方程法。

例9已知数列｛a”｝满足0=3,«2=6,斯+2=4”+1-4斯，求知.

【解】由特征方程X2=4X-4得x।=*2=2.

故设斯=(a+B〃)・2"L其中尸="+夕，

6=(«+2/?)x2

所以a=3,B=0,

9

所以a„=3•2"4.

例10已知数列｛小｝满足ai=3,s=6,。“+2=2。"+1+3小，求通项a”.

【解】由特征方程f=2x+3得XI=3,*2=-1,

所以如=a・3"+B•(/)",其中「=3a—4,

6=9a+/?

解得a=3,B=—3,

44

所以勺n+ln+,

=l[3+(-l)-3]o

5.构造等差或等比数列。___________

例正数列…满足。，吃且

11ao,a1,a”,an_2-J=2%-1(〃22)ao=ai=1,

求通项。

注：f[G=。•C2........Cn

i=l

r2+?

例12已知数列｛x〃｝满足即=2,%+产」---,"GN+,求通项。

2七，

士^的不动点，由立^得

【解】考虑函数人尤尸=4A

2x2x

%2+2

因为汨=2,从+1=%士，可知｛m｝的每项均为正数。

2x“

又旺+222缶“，所以招+|2痣(〃21)。又

X„+l-V2=-V2=J-一扬2,①

2x“2x,

10

…必要+反三,②

由①+②得也o③

及|_Z+行」

又土二半＞o,

玉+J2

上口且「也W

由③可知对任意n£N+,

X“+J2]x“+i+J2

2-V2

是首项为lg公比为2的等比数列。

2+V2

所以1g上W=2"i•1g2-V2所以流

x.+及2+V2'

Q+近)*+(2—行)2"'

解得招=痣

(2+V2)2""-(2-V2)2'"

注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

三、基础训练题

1.数列｛为｝满足为=2,%+尸S”+(〃+l),其中S”为｛%｝前〃项和，当〃22时,

12元

2.数列｛x〃｝满足xi=—,x,1+i=-——々,则｛九/的通项九"=.

3.数列｛X〃｝满足乃=1,X"=；x“_i+2〃-l(〃22),则｛%｝的通项X”=.

4.等差数列｛斯｝满足3a8=5a”，且0>0,S”为前n项之和，则当S”最大时,

〃=.

5.等比数列｛斯｝前〃项之和记为S“,若Sio=lO,S3O=7O,贝”40=.

6.数列｛4｝满足X"+i=x”-X"-i(〃22),xi=a，九2=。,S"=xi+x2+…+乩，则

S1oo~•

7.数列｛斯｝中,Sn=ai+a2+…+斯=〃2-4〃+1则|。1|+|汲|+…+|aio|=：________.

8.若」!一=*-=*--..=一4一，并且沏+及+…+x“=8,则

%j+1x2+3$+5+2〃-1

X\=.

9.等差数列｛斯｝，｛5｝的前〃项和分别为S〃和T〃，若」L则

T3n+1

11

a

lrim—n=________.

”一>8

n

M072,

10.若”!…2•1,则2（-l）M"------=_________.

n=l〃！

11.若｛%｝是无穷等比数列，斯为正整数，且满足火+。6=48,/og2a270g2a3+

log2a2,log2a5+log2a2,log2a6+log2as,/og2a6=36,求<L>的通项。

lan\

12.已知数列｛斯｝是公差不为零的等差数列，数列｛q｝是公比为4的等比数

列，且>1=1,历=5,8二17,求：（1）夕的值;（2）数列｛仇｝的前〃项和S”。

12

第三讲：复数

一、基础知识

1.复数的定义：设i为方程X?=-l的根，i称为虚数单位，由i与实数进行

加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi(a,b£R)的数，称为复数。所有

复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。

2.复数的几种形式。对任意复数z=a+bi(a,b£R),a称实部记作Re(z),b

称虚部记作Im(z)。z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将

(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而

可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复

数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原

点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z

又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称

为向量形式。

3.共甄与模，若2=@+公，(a,beR)，则I=a-bi称为z的共胡复数。模与

2

共辗的性质有:(1)zx+z2=z1±z2；(2)-z2-z1-z2；(3)z-z=\z\；

(4)(豆］=皂；(5)|z,,z2KZi|-|z2I；(6)|且上⑷；(7)||Z1|-|z2||

zZ

k2；z2I2I

2222

W|zi±Zz|WlzJ+OI；(8)|zi+z21+1z-z21=21Zi|+21z21；(9)若|z|=l,

则z=L

z

4.复数的运算法则：(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范

围内一致，运算结果可以通过乘以共轲复数将分母分为实数；(2)按向量形

式，力口、减法满足平行四边形和三角形法则。

5.单位根：若w"=l,则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记

=cos—+zsin—,则全部单位根可表示为1,4，Z：,…,Z：T。单位根的基

Z1nn

13

本性质有(这里记Z*=Z：,k=l,2,…,n-l)：(1)对任意整数k,若卜二的+匕口

wZ,OWrWn-l,有Z„q.r=Zr；(2)对任意整数m,当n22时，有

1+Z；"+Z；"+…+=特别I+Z1+Z2+…+Zi=O；(3)x"'+x"2+-

当〃|m,

-1

+x+l=(x-Z,)(x-Z2)•••(x-Z„-,)=(x-Zj(x-Z；)…(x-Z)')o

6.复数相等的充要条件：(1)两个复数实部和虚部分别对应相等；(2)两个

复数的模和辐角主值分别相等。

7.复数z是实数的充要条件是z=5；z是纯虚数的充要条件是：z+z=0(且

zWO)。

8.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。

9.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若

z=a+bi(bWO)是方程的一个根，则乞=a-bi也是一个根。

10.若a,b,cWR,aWO,则关于x的方程ax,+bx+c=0,当△=b2-4ac<0时方程

的根为届2=士三哥―。

2a

二、例题分析与方法：

1.模的应用。

例1:求证：当nGN,时，方程(Z+1)2(ZT)2n=0只有纯虚根。

证明：若Z是方程的根，则(Z+D叱-(Z-1)*,所以|(z+l)*|=|-(z-l)2n|,

即|z+l2=|z-l|2,即(z+1)(z+l)=(z-l)(z-1),化简得z+z=O,

又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。

2.复数相等。

例2：设AGR,若二次方程(l-i)x?+(入+i)x+l+Ai=O有两个虚根，求人满

足的充要条件。

14

解：若方程有实根，则方程组，一有实根，由方程组得

X2-x-2=0

(入+l)x+入+1=0.若入=T,则方程x2-x+l=0中△<0无实根，所以入W

-1。所以x=T,入=2.所以当入W2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的

充要条件为人#2。

3.单位根的应用。

例3：证明：自。。上任意一点p到正多边形A3…A,、各个顶点的距离的平方

和为定值。

证明：取此圆为单位圆，0为原点，射线0A.为实轴正半轴，建立复平面，

顶点Ai对应复数设为£=e净，则顶点A2A3…A”对应复数分别为小，屋，…，

E"o

设点p对应复数Z,则z|=l,

且又=2n-£|p&『=£|z--r=2(Z-£*)(Z")=X(2-£*Z-£"Z)

A=1k=\k=]k=\

=2n_z^'ek—=2n—z^£k—z^£k=2〃.命题得证。

*=i*=i*=i*=i

4.复数与几何。

例4：平面上给定△A|A2A3及点Po,定义As=As-3,S24,构造点列p<),pi,p?,…,

使得Pk+i为绕中心Ak+1顺时针旋转120°时Pk所到达的位置，k=0,1,2,…,若

P1986=p0o

求证：AAiAA为等边三角形。

证明：令u=e号，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面

为复平面，则pi=(]+u)A|_up(),p2=(]+u)A2_upi,①p3=(l+u)A3-up2②

2

由①X/+②义(-u)得p3=(l+u)(A3-uA2+uAi)+po=w+pl)>W为与p(,无关的常数。

同理得p6=w+p3=2w+p0,­­•,pi986=662w+po=po,所以\v=0,从而Aa-uAs+u-A^O.

15

由i?=uT得A：；-A尸(A2-AI)U,这说明△AIA2A3为正三角形。

5.复数乘法的几何意义。

例5：设A,B,C,D为平面上任意四点，求证：AB・AD+BC・AD2AC・BD。

证明：用A,B,C,D表示它们对应的复数，

则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),

因为IA-B||C-D|+1B-C|•|A-D|》(A-B)(C-D)+(BY)(AT)。

所以|A-B|・|C-D|+|B-C|・|A-D|Z|A-C|・|B-D|,当"="成立时当且仅当

Arg(—_—)=Arg(―——)>BPArg(~~~—)+Arg{—~~—)=n,即A,B,C,D

D-AC-DB-AD-C

共圆时成立。不等式得证。

6.复数与轨迹。

例6：△ABC的顶点A表示的复数为3i,底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2,

求AABC的外心轨迹。

解:设外心M对应的复数为z=x+yi(x,yGR),B,C两点对应的复数分别

是b、b+2。因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为

|z-b|=|z-3i|,BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|,所以点M对应的复

数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2],消去b解得/=6(y所以△ABC的外心

轨迹是轨物线。

7.二项式定理的应用。

例7：计算：(1)脸一脸+6^一…+璃：⑵C：0G+G5no——C篇

解：(1+i)吗[(l+i)2『o=(2i)5o=-25°,由二项式定理(1+i)吗

2100

+C^i+C^i+-+C^i"+C^i=(%+*-.•.+C黑)+(

Coo_Goo+^iooG/)i，

比较实部和虚部可得G%-c盆+£%-••・+啮=-250,

16

8.复数与多项式。

例8：已知f(z)=c()z"+ciz"'+…+(\一亿+心是n次复系数多项式(coWO)□

求证：一定存在一个复数zo,|zoWl,并且|f(Zo定21coi+|c』。

nH

证明：记c()z+C|Z"+---+cn,z=g(z),令夕=Arg(c)-Arg(Zo),则方程g(Z)-coe'

"=0为n次方程，其必有n个根，不妨设为z”Z2,…，z“

从而g(z)-coe,"=(z-zi)(z-z2).......(z-zjco，令z=0得-c()e'"=(T)"ziZ2…z/o,

取模得|z&…Zn|=l。所以Zi,Z2,…,Zn中必有一个Zi使得

i，

从而f(zI)=g(zi)+cB=Coe=cn,所以|f(z)I=|coe"+Cn|=|c』超/殿

三、课堂训练：

1.复数Z满足|z|=5,且(3+4i)・z是纯虚数，则1=o

2.已知z=——”,贝Ul+z+z?+…+z^2=________。

1+V3/

3.若则________o

(1-012

Z2

4.已知zee,则命题“z是纯虚数”是命题“二weR”的________条件。

1-Z

5.已知关于x的实系数方程X2-2X+2=0和x2+2mx+l=0的四个不同的根在复平

面上对应的点共圆，则m取值的集合是o

22

6.已知点P为椭圆二+二=1上任意一点，以0P为边逆时针作正方形OPQR,

95

则动点R的轨迹方程为o

7.二次方程ax2+x+l=0的两根的模都小于2,求实数a的取值范围。

8.复平面上定点Z。，动点4对应的复数分别为z°,z”其中ZoNO,且满足方

程|z「Zo|=|z』，①另一个动点Z对应的复数z满足ZJZ=T,②。

求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状和位置。

9.N个复数Z|,Z2,…,z„成等比数列，其中公比为q,|q|=l且qW±

17

1,复数Wi,W2,…，Wn满足条件：Wk=Zk+1~+h,其中k=l,2,…，n,h为已知实数。

Zk

求证：复平面内表示W1,W2,…,W”的点Pl,P2,…，Pn都在一个焦距为4的椭圆上。

10.设复数Zi,Z2满足zl»z2+Az,+AZ2=0,其中AWO,ARC。

2

证明：（1）|Z,+A|«|Z2+A|=|A|；（2）幺土4=亘土4.

z2+Az2+4

18

第四讲：三角函数

一、基础知识

1、角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针

方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为

零角。角的大小是任意的。

2、角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的

圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2兀弧度。若圆心角的弧长为L,则其

弧度数的绝对值Ia|=2,其中r是圆的半径。

r

3、三角函数，在直角坐标平面内，把角a的顶点放在原点，始边与x轴的正

半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),

到原点的距离为r,则正弦函数sina=2,余弦函数cosa=±，正切函数tana

rr

=—,余切函数cota=—,正割函数seca余割函数esca.

xyxy

4、同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tana二一--,sina=—J—,cos

cotacsca

a=—5—；商数关系：tana,cota=COS6g.乘积关系：tanaXcosa

secacosasina

=sina,cotaXsina=cosa；平方关系：sin2a+cos2a=1,tan2a+l=sec2a,cot2

a+1=CSC2a.

5、诱导公式(1)sin(a+TT)—sina,cos(兀+a)—cosa,tan(兀+a)=tana,cot(兀+

a)=cota;(