两个平面平行的判定和性质

面面平行的判定和性质一.面、面平行的定义与表示方法平行平面的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面.记作α//β.1.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点符号表示图形表示没有公共点有一条公共直线2.平行平面的画法：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线.一般画法错误画法

思考题：1、如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行，能否说明平面与平面平行？2、要求一个平面内的多少条直线与另一个平面平行才可判定两个平面平行呢？通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一个平面内的直线之间具备某种关系。二、两个平面平行的判定

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．MA②图形语言：③符号语言：已知：在平面内有两条直线、相交且和平面平行．

求证：

证明：(用反证法)

假设．

同理这与题设和是相交直线矛盾．判定定理简而言之为：一交，两在，两平行。线面平行面面平行A

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。mn练习：判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；（2）若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则α与β平行；（3）平行于同一直线的两个平面平行；×××（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（5）a、b为异面直线，且分别在平面α和β内，若

a//β,b//α,则α//β。

(6)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．××√例题1.已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC。证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，

PB的中点，所以DE//AB，因此DE//平面ABC，又知DE平面ABC，FEDCBAP同理EF//平面ABC，又因为DE∩EF=E，所以平面DEF//平面ABC。例1.如图，在长方体中，求证：平面平面.ABDCD'C'B'A'证明：是平行四边形平面平面又平面平面同理：平面平面思考：如果两个平面平行，那么（1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？由思考一可以得到证明线面平行的另一种方法，即可以用面面平行证明线面平行（2）分别在两个平面内的两条直线是否平行？

（可以由反证法说明）（线面无交点）4.平面与平面平行的性质定理:符号语言：α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//b.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.与没有公共点与也没有公共点证明:已知：α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，求证：a//b.练习2.（1）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.已知：平面α//平面β//平面γ，两条直线l，m分别与平面α、平面β、平面γ相交于点A、B、C和点D、E、F，求证：

证明：连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF，

因为α//β，β//γ，所以BG//AD，GE//CF，于是得所以（2）.已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC。证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，

PB的中点，所以DE//AB，因此DE//平面ABC，又知DE平面ABC，FEDCBAP同理EF//平面ABC，又因为DE∩EF=E，所以平面DEF//平面ABC。（3）.已知a∥β,AB和DC为夹在α、β间的平行线段。求证：AB＝DC.证明：连接AD、BC∵AB//DC∴AB和DC确定平面AC

又因直线AD、BC分别是平面

AC与平面α、β的交线，

∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形.∴AB＝DC性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等。性质：经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。两个平面平行的其它性质：性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行。1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有_________对.2.如图,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点.求证:平面ED1∥平面BF1ABCDA1B1C1D1EE1FF1分析:在其中一个平面内找两条相交直线平行另一个平面即可.43.已知a、b为异面直线，求证过a、b分别存在平面α和β，且α//β.提示：在a上取一点A，过A作直线b’//b，同样在b上取一点B，作直线a’//a，则a和b’确定平面α，b和a’确定平面β，且α//β.例1.如图，在长方体中，E为