新人教A版必修一 函数的单调性 教案

2019-2020学年新人教A版必修一函数的单调性教案

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为了,如果对于定义域/内某个区间〃上

的任意两个自变量的值X\,X2

定义当X1〈用时，都有(X2),那当不〈加时，都有f(xj〉f(xj,

么就说函数f(X)在区间〃上是增那么就说函数f(x)在区间。上是

函数减函数

y=f(x)

图象1^1)：fix-2)

0£X

描述Opi~~%.—x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间，上是增函数或减函数,那么就说函数(x)在这一区间具有

(严格的)单调性，区间〃叫做尸生x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=F(x)的定义域为I,如果存在实数〃满足

(1)对于任意的xe/,都有(3)对于任意的xe/,都有？

条件f(x)WM；

(2)存在司6/,使得f(x。)=M(4)存在苞eI,使得f(x。=M

结论〃为最大值〃为最小值

概念方法微思考

1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论？

提示对V荀，X2^D,错误！〉00f(x)在〃上是增函数，减函数类似.

2.写出对勾函数y=x+错误！(a〉0)的增区间.

提示(-8,一错误!］和［错误!，+8).

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若定义在R上的函数/"(x),有/1(一1)"(3),则函数f(x)在R上为增函数.(X)

(2)函数尸/(X)在［1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,+8).(x)

(3)函数y=错误!的单调递减区间是(-8,o)U(0,+8).(x)

(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增

函数.(X)

(5)所有的单调函数都有最值.(X)

题组二教材改编

2.函数/■(x)=V—2x的单调递增区间是.

答案［1,+8)(或(1,+8))

3.函数y=错误!在［2,3］上的最大值是.

答案2

4.若函数f{x)=/—在［2,+8)上是增函数,则实数7的取值范围是.

答案(一8,2］

解析由题意知，［2,+°°)c\_m,+8),

题组三易错自纠

5.函数尸log［(V—4)的单调递减区间为.

2

答案(2,+8)

6.若函数/'(x)=\x-aI+1的增区间是［2,+8)，则a=.

答案2

解析・."(x)=|x—aI+1的单调递增区间是［a,+8),

7.函数尸F(x)是定义在［—2,2］上的减函数，且(2a),则实数a的取值范围

是.

答案［T,l)

解析由条件知错误!解得一

8.函数f(x)=错误!的最大值为.

答案2

解析当时，函数/1(*)=错误!为减函数，

所以f(x)在x=1处取得最大值,为AD=1;

当X〈1时，易知函数/'(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，为f(0)=2。

故函数/"(x)的最大值为2。

题型分类深度剖析

------------------------------------------真题典题深度剖析重点难点多维探究-------------------------------------------

题型一确定函数的单调性

命题点1求函数的单调区间

例1(1)函数f(x)=ln(/-2X-8)的单调递增区间是()

A.(—8,—2)B.(—8,1)

C.(1,+°°)D.(4,+°°)

答案D

解析函数尸步一2x—8=(x—1)°—9图象的对称轴为直线x=l,由2x—8>0,解得

x>4或x〈一2,所以(4,+8)为函数y=f—2矛一8的一个单调递增区间.根据复合函数

的单调性可知，函数/■(性=ln(V—2x—8)的单调递增区间为(4,+8).

(2)函数y=一f+21x1+3的单调递减区间是.

答案［—1,0］,［1,+8)

解析由题意知，当时，y=—*2+2*+3=—(x—1)?+4;当K0时，y=—2x+3

=-(x+l”+4,

二次函数的图象如图.

由图象可知，函数y=-V+2|x1+3的单调递减区间为1―1,0］,［1,+8).

命题点2讨论函数的单调性

例2判断并证明函数f(x)错误！(其中l<a<3)在［1,2］上的单调性.

解函数/(x)=ax?+错误！(1〈a〈3)在［1,2］上单调递增.

证明：设IWxi〈^W2,则

广(莅)-=a播误!+错误!—a燔误！一错误！

=(xz—xi)错误！,

由lWxi〈AiiW2,得加一荀〉0,2〈为+田<4,

1〈荀范(4,—1〈一错误！〈一错误！。

又因为1〈a〈3,所以2〈a(荀+.)<12,

得a(覆+至)一错误！〉0,

从而f(兹)-f(xi)〉0,即/'(X2)〉/1(X1),

故当ae(1,3)时，f(x)在［1,2］上单调递增.

引申探究

如何用导数法求解本例？

解/(x)=2ax—错误！=错误！，

因为1WI2,所以1WfW8,又l〈a(3,

所以2a为3—1〉0,所以f(x)>0,

所以函数f(x)=ax'+错误！(其中1〈a〈3)在［1,2］上是增函数.

思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导

数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续

的单调区间不能用“U”连接.

跟踪训练1(1)下列函数中，满足"V屈，热G(0,+°°)且xiWxz,(国一X2)•［f(xi)—

f〈x。］〈0”的是()

A.A(£)=2"B.f(x)=|x—1I

C.y(x)=错误！一如.『(x)=ln(x+l)

答案C

解析由(XLX?)•［f(xi)—fix?)］〈0可知，f(x)在(0,+8)上是减函数,A,D选项

中，f(x)为增函数；B中，f(x)=Ix-1|在(0,+8)上不单调;对于/<x)=错误！一x,

因为y=错误!与尸一x在(0,+8)上单调递减，因此f(x)在(0,+8)上是减函数.

(2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增，则函数g(x)=a1*一।的单调递减区间是

答案(一8,2］

解析因为f(x)在R上单调递增，所以a—1〉0,即a〉1,因此g(x)的单调递减区间就是

y=|x—2|的单调递减区间(-8,21.

(3)函数fU=\x—2|x的单调递减区间是.

答案［1,2］

解析f(x)=错误！

画出f(x)图象，

由图知f(x)的单调递减区间是［1,2］.

题型二函数的最值...........♦自主演练

1.函数尸错误!的值域为.

答案［T,1)

解析由_/=错误!，可得了2=错误！。

由丁20,知错误！》0,解得一IWy〈1,

故所求函数的值域为［—1,1).

2.函数尸x+错误!的最大值为.

答案错误！

解析由1—可得一1W后1。

可令x=cos9,96［0,it］,

贝!J尸cos。+sin«=/sin错误!，9G［0,JI］,

所以一1WZ错误！，

故原函数的最大值为错误!.

3.函数y=|x+11+|x—2I的值域为.

答案［3,+8)

解析函数y=错误！

作出函数的图象如图所示.

根据图象可知，函数尸Ix+1I+|x—2I的值域为［3,+8).

4.函数y=错误!的值域为.

答案{川HR且月3}

解析尸错误！=错误！=3+错误!，

因为错误！W0,所以3+错误!W3,

所以函数尸错误！的值域为{川HR且月3}.

5.函数/1(x)=错误!'一logz(x+2)在区间［―1,1］上的最大值为.

答案3

解析由于y=错误!"在［-1,1］上单调递减，y=logz(x+2)在［—1,1］上单调

递增，所以f(x)在［—1,1］上单调递减，故/'(x)在［-1,1］上的最大值为『(一1)=

3.

6.若函数f(x)=V+ax+6在区间［0,1］上的最大值是弘最小值是典则此0()

A.与a有关，且与6有关B.与a有关，但与6无关

C.与a无关，且与6无关D.与a无关，但与6有关

答案B

解析方法一设荀，苞分别是函数/<x）在［0,1］上的最小值点与最大值点，

则m=一滞误！+axi+6,〃=姓t误！+a为+6。

.♦.T!/—0=行^误！一坪t误！-\-a（x2—xi）,

显然此值与a有关，与6无关.故选B.

方法二由题意可知，函数/<x）的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定.随着

6的变动，相当于图象上下移动，若6增大孑个单位,则最大值与最小值分别变为人人加+上

而（〃+"）—（ffl+A）—M—m,故与6无关.随着a的变动，相当于图象左右移动，则〃一切

的值在变化，故与a有关，故选B.

思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路

（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

（4）分离常数法：形如求了=错误！（ac#0）的函数的值域或最值常用分离常数法求解.

（5）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式

求出最值.

题型三函数单调性的应用

探

命题点1比较函数值的大小

例3已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当e>荀〉1时，（加一

/（历）］­（田一刘）〈0恒成立，设a=福误!"=六2）"=f（3）,则a",c的大小关系为（）

A.c）a〉LS>.c）b）a

C.a>c>Z?D.b>a>c

答案D

解析根据已知可得函数f（x）的图象关于直线x=l对称，且在（1,+8）上是减函数，因

为误！=遮误！，且2〈错误!<3,所以垃a>c.

命题点2解函数不等式

例4（2018•四川成都五校联考）设函数f（x）是奇函数，且在（0,+8）内是增函数，又/•（一

3）=0,则/'（X）（0的解集是（）

A.{x|—3〈x<0或x>3}

B.{x|正一3或0〈木3}

C.{x|x〈一3或x>3}

D.{xI-3〈x〈0或0〈x<3}

答案B

解析,.,/■(X)是奇函数，f(—3)=0,

.,.f(—3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.

•函数/"(x)在(0,+°°)内是增函数，

当0〈x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.

:函数f(x)是奇函数，...当一3〈X〈0时，f(x)>0；

当x(—3时，f(x)<0.

则不等式f(x)<0的解集是{xI0〈x<3或x〈一3}.

命题点3求参数的取值范围

例5(1)(2018•全国II)若f(x)=cosx—sinx在［0,a］上是减函数,则a的最大值是()

A.错误!B。错误!C.错误!D.n

答案C

解析•；/>(X)=<205丫一5：111矛=一错误!5111错误！，

当X—错误！G错误!，即XG错误!时，

y=sin错误!单调递增，

f(x)=一MLin错误!单调递减，

.•.错误!是广(x)在原点附近的单调减区间，

结合条件得［0,a］=错误!，

3JI,

/.a<—p,即31Kx=错误！。

(2)已知函数次x)=错误!若/(x)在(0,+8)上单调递增,则实数a的取值范围为.

答案(1,2］

解析由题意，得/十错误!a—2W0,则aW2,又y=8a(x〉1)是增函数，故a>l,所

以a的取值范围为l〈aW2。

(3)(2018•安徽滁州中学月考)已知函数f(x)=logzCax+3a)在⑵+8)上是增

函数，则实数a的取值范围是.

答案(一4,41

解析设g(x)=V—ax+3a,根据对数函数及复合函数的单调性知,g(x)在［2,+°°)±

是增函数,且晨2)>0,.,.错误！，一4〈aW4,

二实数a的取值范围是(—4,4］.

思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小.

(2)解不等式.利用函数的单调性将“产符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函

数的定义域.

(3)利用单调性求参数.

①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间[a,加上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

跟踪训练2(1)如果函数/>(X)=错误!满足对任意xiWxz,都有错误!〉0成立，那么a的

取值范围是.

答案错误！

解析对任意无/也都有♦*)一0对〉0,

X1-X2

所以(X)在(-8,+8)上是增函数.

所以错误!解得错误！Wa〈2。

故实数a的取值范围是错误!.

(2)已知函数F(x)是定义在区间[0,+8)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x

-1)〈福误!的x的取值范围是.

答案错误！

解析因为函数/1(*)是定义在区间[0,+8)上的增函数，且满足f(2x—1)〈/错误!，

所以0W2x—14，解得错误!Wx〈错误!。

课时作业

叶基础保分练

1.下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A.尸ln(x+2)B.尸一错误！

C.尸错误！D.尸叶错误！

答案A

解析函数尸ln(x+2)的增区间为(一2,+8),所以在(0,4-oo)上一定是增函数.

2.已知函数/'(x)=、x2—2x—3,则该函数的单调递增区间为()

A.(一8,1]B.[3,+00)

C.(—°°,—1]D.[1,+°0)

答案B

解析设力=f—2x—3,由220,即3一2x—320,解得xW—1或x23,所以函数/l(x)

的定义域为(-8,—1]U[3,+°°).因为函数方=/—2x—3的图象的对称轴为x=l,所

以函数力在(一8,—1]上单调递减，在[3,+8)上单调递增，所以函数Mx)的单调递增区间

为[3,+°°).

3.设偶函数/'(x)的定义域为R,当xG[O,+8)时，f(x)是增函数，则f(—2),f(m),

A-3)的大小关系是()

A.y(Jt)>I-(-3))f(一2)B./(Ji)〉f(—2)>f(-3)

c.y(Jt)(/(-3)"(—2)D./(JtXr(-2)<r(-3)

答案A

解析因为f(x)是偶函数，

所以/■(-3)=f(3),f(-2)=f(2).

又因为函数/'(x)在[0,+8)上是增函数，

所以)〉r(3)>f(2),

即f(.n)〉『(一3)〉r(-2).

4.已知函数/'(x)=错误！当xiWxz时，错误！〈0,则a的取值范围是()

A.错误!B.错误！

C.错误!D。错误！

答案A

解析当xiWx?时，错误！〈0,

••"(X)是R上的减函数.

=错误！错误！

；.0〈aW错误！。

5.设f(x)=错误!若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()

A.[—1,2]B.[—1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

答案D

解析,当启0时，fix)=(x—a):『(。，是/^^)的最小值，；.a20.当才〉0时，f

(x)=x+」+a22+a,当且仅当x=l时取"=".要满足f(0)是/'(x)的最小值，需2+

X

(0)=a,即a—a—2W0,解得一lWaW2。

的取值范围是0WaW2。故选D.

6.已知函数f(x)=错误!则“c=—1”是“函数/■(x)在R上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若函数f(x)在R上单调递增，

则需logzlNc+1,即cW—1.

由于c=-1,即cW—1,但cW—1不能得出c=-1,

所以“c=—1”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.

7.已知奇函数/Xx)在R上是增函数.若@=一/错误!"=谓误！，c=f(2*),则a,b,c

的大小关系为.

答案a〉b}c

解析(x)在R上是奇函数，

，a=—谓误！=福误！—f(log25).

又f(x)在R上是增函数，

08

且logz5〉log24o1)log24=2>2,,

0,8

Alog25))Alog24.1))f(2),a>tt>Co

8.如果函数/'(x)=ax?+2x—3在区间(一8,4)上单调递增，则实数a的取值范围是

答案错误！

解析当a=0时,/~(x)=2x—3在定义域R上是单调递增的，故在(一8,4)上单调递增；

当aWO时，二次函数F(x)的对称轴为x=—错误！，因为f(x)在(一8,4)上单调递增，

所以a<0,且一错误！》4,解得一错误！Wa<0。

综上,实数a的取值范围是错误!.

9.记min{a,b}=错误!若f(x)=min{x+2,10—x}(x20),则f^x)的最大值为.

答案6

解析由题意知，f(x)=错误！

易知f(x)»ax=F(4)=6o

10.设函数F(x)=错误!若函数y=F(x)在区间(a,a+1)上单调递增，则实数a的取

值范围是.

答案(一8,1]U[4,+°°)

解析作函数的图象如图所示，

>=logjx(x>4)

尸一/+叙

(E)

由图象可知F(x)在(a,a+1)上单调递增，

需满足a》4或a+lW2,

即aWl或心4.

11.已知『(x)=错误！(xWa).

(1)若a=-2,试证f(x)在(-8,—2)上单调递增;

(2)若a〉0且f(x)在(1,+8)上单调递减，求a的取值范围.

(1)证明当a=-2时，『(入)=错误!.

设荀〈*2〈一2,

则f(xj—f(就=错误!一错误！=错误!.

因为(xi+2)(用+2)>0,Xi一欠2〈0,

所以/1(xi)—F(田)<0,即/"(xi)"(X2),

所以f(x)在(-8,—2)上单调递增.

(2)解设1〈荀〈晶

则」(荀)一/■(向=错误!一错误!

=错误!.

因为a>0,X2—xi>0,所以要使/■(荀)一『(济)〉0,

只需(xi—a)(后一a)〉。恒成立，

所以aWl。综上所述，0〈aWl.

12.(2018•河南南阳一中月考)设函数f(x)=af+6x+l(a"eR),户(x)=错误！

(1)若f(—1)=0,且对任意实数x均有/1(才)20成立，求网x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，当xe[—2,2]时，g(x)=f(x)—而是单调函数，求实数次的取值

范围.

解(1)1)=0,b=a+\o

由f(x)20恒成立,知a>0且方程ax+bx-\-1=0中/=Z)2—4a=(a+1)2—4a=(a—1)Mo,

•・Q,--1.

从而f(x)=x"+2x+1o

:.F(x)=错误！

(2)由(1)可知f(x)=x-\-2x-\-1,

(x)=F(x)~kx=y+(2—A)x+1,

由g(x)在[—2,2]上是单调函数，知一错误!W—2或一错误！》2,得Z—2或A26.

即实数A的取值范围为(-8,—2]U[6,+°°).

叶技能提升练

13.已知函数/>(X)=错误!若/"(2—V)〉f(x),则实数x的取值范围是()

A.(一8,—1)u(2,+°°)B.(一8,—2)U(1,+8)

C.(-1,2)D.(-2,1)

答案D

解析..•当x=0时，两个表达式对应的函数值都为0,

函数的图象是一条连