九年级数学人教版（上册）22.2 二次函数与一元二次方程

第二十二章二次函数22.2

二次函数与一元二次方程目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.新课导入问题

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h=20t-5t2，考虑以下问题：新课导入（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？（4）球从飞出到落地要用多少时间？讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2二次函数与一元二次方程的关系1讲授新课（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2讲授新课（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.h=20t-5t2讲授新课（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2从以上问题的解法中，可以发现：(1)求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程

解决；(2)求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程

解决.ax2+bx+c=kax2+bx+c=0讲授新课讲授新课

从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?

一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.利用二次函数深入讨论一元二次方程2思考二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？无公共点先画出函数图象：公共点的函数值为

。0对应一元二次方程的根是多少？x1

=-2，x2

=1.x1

=x2

=3.方程无解有两个不等的实根有两个相等的实根没有实数根由上述问题，你可以得到什么结论呢？方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.

反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系。二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系知识要点

如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线

运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？例1解

（1）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？例1如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得

即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.例1（3）由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？例1

已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点；例2(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有

交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.

已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．例2求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.分析：一元二次方程x²-2x-1=0

的根就是抛物线y=x²-2x-1

与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.例3利用二次函数求一元二次方程的近似解3解：画出函数y=x²-2x-1

的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.

先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.（1）用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；（2）观察估计二次函数

y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);（3）确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3，x2≈2.5.方法归纳

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1

B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则

＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B例4

解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．方法总结问题1函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是_____________;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3合作探究二次函数与一元二次不等式的关系（拓展）4拓广探索：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.

3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x<-2或x>4-2<x<4y问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(2,0)x=2问题3：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：（1）当a>0时,ax2+bx+c<0无解；（2）当a＜0时,ax2+bx+c<0的解集是一切实数.3-1Ox二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点a＞0a＜0

有两个交点x1,x2（x1＜x2）有一个交点x0没有交点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x1.y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x1.y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.y＞0，所有实数；y＜0，无解y＜0，所有实数；y＞0，无解知识要点当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1、已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是(

)A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=32、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),则这条抛物线的对称轴是(

)A.直线x=-1B.直线x=0C.直线x=1D.直线x=3BC当堂练习3、若一元二次方程无实根，则抛物线

图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限A4、二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(

)A．k<3B．k<3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0D当堂练习

判断方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C5、根据下列表格的对应值:当堂练习6、在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；(2)x取什么值时，函数值大于0；