八年级数学人教版（上册）11.3.2 多边形的内角和

11.3.2多边形的内角和第十一章三角形11.3多边形及其内角和1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）学习目标新课导入教学目标教学重点

如图，从多边形的一个顶点A

出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一共转过了多少度呢？新课导入讲授新课典例精讲归纳总结1知识点多边形的内角和思考

我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？讲授新课任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？ABCD讲授新课ABCD2×180º=360º4×180º－360º=360º四边形的内角和是360º3×180º－180º=360ºABCDABCDEP讲授新课多边形的边数图形从一个顶点引出的对角线条数分割出的三角形的个数多边形的内角和3456…………………………n(n－2)×180º4×180º2×180º3×180º1×180º01122334n－3n－2讲授新课一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为（n

－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2).把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？讲授新课

如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：

如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.典例精析讲授新课例题1【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．运用了整体思想讲授新课一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？1已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数．2解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×120°，解得n＝6.所以它是六边形．解：设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝156°×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15.练一练讲授新课〈四川遂宁〉若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是________．设这个多边形的边数为n，由题意知，(n－2)×180°＝1260°，解得n＝9.导引：9例题2讲授新课(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内

角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程

求出n，即得多边形的边数；(2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据

多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解

方程求出n，即得多边形的边数．讲授新课总结归纳

一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．典例精析讲授新课例题3

已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4；讲授新课例题4（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．解：依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．讲授新课【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间.讲授新课

如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．可运用了整体思想讲授新课例题5解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB,∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°．讲授新课241324132413241324132413241324132413241324132413

用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？

你知道吗？讲授新课如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123

45A互补5×180°=900°2知识点多边形的外角和讲授新课EBCD123

45A五边形外角和=360°=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？讲授新课在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n个平角-n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关讲授新课问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120°,那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是

______边形.六正八讲授新课典例精析

已知一个多边形，它的内角和等于外角和的

2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360º.解得

n=6.∴这个多边形的边数为6.讲授新课例题6

已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x°,外角为2x°,根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？例题7讲授新课解法二：设这个多边形的边数为n

,根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.讲授新课【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．讲授新课

如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．解：由题意得AB=AE,所以∠AEB=(180°-∠A)=36°，所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.讲授新课例题8当堂练习当堂反馈即学即用1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等．()2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．120°当堂练习3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．150当堂练习4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°B当堂练习6.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.当堂练习能力提升：如图，求∠