新高考数学一轮复习讲与练第15讲 等差数列及前n项和（练）（解析版）

第02讲等差数列及前n项和一、单选题1．已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则n的值为（

）A．8 B．11 C．13 D．17【答案】D【分析】根据为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，两式相加，再利用等差数列的性质得到SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0①，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②，①+②得：SKIPIF1<0，由等差数列的性质可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D2．已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据等差数列的性质求出公差，再由前n项和公式求出首项，即可得解.【详解】设等差数列的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故选：B3．设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最小时，SKIPIF1<0（

）A．4045 B．4044 C．2023 D．2022【答案】D【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得出结论．【详解】SKIPIF1<0等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最小．故选：D4．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【答案】D【分析】根据等差数列SKIPIF1<0的通项公式以及前SKIPIF1<0项和公式即可求解.【详解】设8个儿子依次分绵SKIPIF1<0斤，SKIPIF1<0斤，SKIPIF1<0斤，…，SKIPIF1<0斤，则数列SKIPIF1<0是公差为17的等差数列，因为绵的总重量为996斤，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则第八个儿子分到的绵SKIPIF1<0．故选：D．5．在1和10之间插入SKIPIF1<0个实数，使得这SKIPIF1<0个数构成递增的等比数列，将这SKIPIF1<0个数的乘积记作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．11 C．44 D．52【答案】C【分析】由条件结合等比数列通项公式求出SKIPIF1<0，再根据指数运算性质及等差数列求和公式求出SKIPIF1<0，由此可求SKIPIF1<0，再由等差数列求和公式求SKIPIF1<0的值.【详解】设这SKIPIF1<0个数构成的等比数列为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．故选：C．6．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在SKIPIF1<0点处里程碑上刻着“〣〤”，在SKIPIF1<0点处里程碑上刻着“〩〢”，则从SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0点的所有里程碑上所刻数字之和为（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【答案】B【分析】根据规定确定SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两处的里程碑的数值，再由等差数列通项公式确定里程碑的数量，并利用等差数列前SKIPIF1<0项和公式求从SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0点的所有里程碑上所刻数字之和.【详解】根据题意知，SKIPIF1<0点处里程碑上刻着数字34，SKIPIF1<0点处里程碑上刻着数字92，里程碑上刻的数字成等差数列，公差为2，因此从SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0点的所有里程碑个数为SKIPIF1<0，从SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0点的所有里程碑上所刻数字之和为SKIPIF1<0，故选：B．7．已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列，且公差分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用SKIPIF1<0即可整理求得公差.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为等差，设其公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.二、填空题8．在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】200【分析】先由等差数列的定义求得数列SKIPIF1<0是等差数列，进而求得SKIPIF1<0的通项公式，即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：200.9．数列{an}满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列{an}的通项公式为___________.【答案】SKIPIF1<0．【分析】已知式两边同除以SKIPIF1<0，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．【详解】∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等差数列，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．10．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用数列的递推式可得SKIPIF1<0，构造等比数列，求得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，构造等差数列，求得答案.【详解】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项、2为公比的等比数列，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是以1为首项、1为公差的等差数列，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0三、解答题11．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求满足不等式SKIPIF1<0的最大正整数SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)62【分析】（1）求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）利用第一问求出的通项公式，利用累乘法化简得到SKIPIF1<0，得到不等式，求出最大正整数解.（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以满足不等式SKIPIF1<0的最大正整数为62.12．为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；(2)问：该企业污水处理设备使用几年时年平均污水处理费用最低？最低年平均污水处理费用是多少万元？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低，最低年平均污水处理费用是21.5万元【分析】（1）由已知，可设设该企业第x年使用该设备的维护费为SKIPIF1<0万元，根据题意，可以得到SKIPIF1<0的递推关系，然后利用等差数列的定义判定数列SKIPIF1<0是等差数列，然后利用等差数列的前n项和公式即可完成对总维护费的求解，进而表示出总费用和平均费用；（2）由第（1）问求解出的平均费用的表达式，借助基本不等式即可求解最值.（1）设该企业第x年使用该设备的维护费为SKIPIF1<0万元，依题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项、2为公差的等差数列，故该企业使用该设备x年的总维护费为SKIPIF1<0万元，则总费用为SKIPIF1<0万元，因此SKIPIF1<0．（2）由（1）及SKIPIF1<0，可得，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，即当SKIPIF1<0时，y取得最小值．∴该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低，最低年平均污水处理费用是21.5万元．一、单选题1．对于数列SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的“好数”，已知某数列SKIPIF1<0的“好数”SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，将SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0，相减可得SKIPIF1<0，通过SKIPIF1<0．说明数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求解即可．【详解】解：由题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对上式也成立，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等差数列，故SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D．2．已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，且SKIPIF1<0，则数列的SKIPIF1<0前n项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据给定条件，结合数列前n项和的意义求出SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，再利用等差数列前n项和公式计算作答.【详解】因SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0满足上式，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首项为4、公差为4的等差数列，所以SKIPIF1<0．故选：B3．已知SKIPIF1<0是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，结合等差数列的通项公式可得出答案.【详解】设SKIPIF1<0的公差为d，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：C4．设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项和是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系式，可得出数列SKIPIF1<0是等差数列，从而得出数列SKIPIF1<0的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公差为4的等差数列，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前10项和为SKIPIF1<0．故选：C5．SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据条件可得SKIPIF1<0，再结合余弦定理SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0【详解】解：因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D6．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公差为1的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：D．7．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，则此数列各项之和为（

）A．1666 B．1676 C．1757 D．2646【答案】A【分析】根据题意判断出SKIPIF1<0是12的倍数，进而得到SKIPIF1<0是以2为首项，以12为公差的等差数列，最后通过等差数列的通项公式及求和公式得到答案.【详解】由题意可知SKIPIF1<0既是4的倍数，又是6的倍数，即SKIPIF1<0是12的倍数，因此数列SKIPIF1<0是以2为首项，以12为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以该数列有17项，各项之和为SKIPIF1<0．故选：A.二、填空题8．已知首项均为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0与等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的各项均不相等，设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，则SKIPIF1<0的最大值与最小值之差为__________．【答案】SKIPIF1<0##0.75【分析】由题意可求得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0为奇数、偶数讨论SKIPIF1<0的单调性并求出其最大、小值即可.【详解】解：设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，等比数列SKIPIF1<0的公比为q，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0的各项均不相等，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当n为奇数时，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0单调递减，最大值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；当n为偶数时，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0单调递增，最小值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值与最小值之差为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.9．在平面直角坐标系中，已知SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，将其绕着原点按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，再将SKIPIF1<0绕原点按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，如此继续下去，则点SKIPIF1<0的坐标为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由条件求出数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式，由此确定点SKIPIF1<0的坐标.【详解】设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由规律可得当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕原点按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，SKIPIF1<0为首项为1，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.10．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且其前n项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则正整数SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0为等比数列，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再求得SKIPIF1<0，分m为奇数和m为偶数，两种情况讨论，列出方程，即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．①当m为奇数时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；②当m为偶数时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0只能为奇数，所以m为偶数时无解．综上所述，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题11．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为SKIPIF1<0，以后学生人数年增长率为SKIPIF1<0.该校今年年初有旧实验设备SKIPIF1<0套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%增加新设备，同时每年淘汰SKIPIF1<0套旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的旧设备是多少套？(2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0套(2)16（年）【分析】（1）利用配凑法求得明年起第SKIPIF1<0年学校的实验设备的套数SKIPIF1<0，根据“10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番”列方程，从而求得每年淘汰的旧设备套数.（2）根据SKIPIF1<0的值以及旧设备的套数求得需要的年数.（1）今年学生人数为SKIPIF1<0，则10年后学生人数为SKIPIF1<0．设明年起第SKIPIF1<0年（明年为第1年）学校的实验设备的套数为数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为1.1的等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以每年淘汰的旧设备为SKIPIF1<0套．（2）更换所有需要更换的旧设备共需SKIPIF1<0（年）．12．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）分SKIPIF1<0为奇数和SKIPIF1<0为偶数，求解通项公式；（2）利用分组求和求解SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，所以所有奇数项构成以SKIPIF1<0为首项，公差为－1的等差数列，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，所以所有偶数项构成以SKIPIF1<0为首项，公比为3的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，SKIPIF1<0是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中SKIPIF1<0是举，SKIPIF1<0是相等的步，相邻桁的举步之比分别为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0成公差为0.1的等差数列，且直线SKIPIF1<0的斜率为0.725，则SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，则可得关于SKIPIF1<0的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，依题意，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D2．（2022·北京·高考真题）设SKIPIF1<0是公差不为0的无穷等差数列，则“SKIPIF1<0为递增数列”是“存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0为不超过SKIPIF1<0的最大整数.若SKIPIF1<0为单调递增数列，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，“SKIPIF1<0是递增数列”SKIPIF1<0“存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0”；若存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与题设矛盾，假设不成立，则SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是递增数列.所以，“SKIPIF1<0是递增数列”SKIPIF1<0“存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0”.所以，“SKIPIF1<0是递增数列”是“存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0”的充分必要条件.故选：C.二、填空题3．（2022·全国·高考真题（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和．若SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0_______．【答案】2【解析】转化条件为SKIPIF1<0，即可得解.【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：2.三、解答题4．（2022·天津·高考真题）设SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(3)SKIPIF1<0【解析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合解析法即可得证；（3）先求得SKIPIF1<0，进而由并项求和可得SKIPIF1<0，再结合错位相减法可得解.（1）设SKIPIF1<0公差为d，SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），所以SKIPIF1<0；（2）证明：因为SKIPIF1<0所以要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0显然成立，所以SKIPIF1<0；（3）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.5．（2022·全国·高考真题）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求集合SKIPIF1<0中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．【解析】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得SKIPIF1<0，即可解出．（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即可解得，SKIPIF1<0，所以原命题得证．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以满足等式的解SKIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0中的元素个数为SKIPIF1<0．6．（2022·全国·高考真题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【解析】（1）利用等差数列的通项公式求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用和与项的关系得到当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,进而得：SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0，检验对于SKIPIF1<0也成立，得到SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到SKIPIF1<0，进而证得.（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然对于SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<07．（2022·全国·高考真题（理））记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和．已知SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)若SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列．（2）解：由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0．8．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若对于每个SKIPIF1<0，存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成等比数列，求d的取值范围．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知方程SKIPIF1<0的判别式大于等于0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<09．（2021·天津·高考真题）已知SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，其前8项和为64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比数列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（II）记SKIPIF1<0，（i）证明SKIPIF1<0是等比数列；（ii）证明SKIPIF1<0【解析】（I）因为SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0